В промышленных аппаратах химической технологии и энергетических установках движение газов (паров) и жидкостей практически всегда происходит при турбулентном режиме. Поэтому для поиска путей совершенствования технологического и энергетического оборудования важное значение имеет достоверный расчет турбулентных течений.
Первые фундаментальные исследования турбулентных течений были выполнены еще в 19 веке Г. Гагеном, О. Рейнольдсом, Ж. Буссинеском, Г. Лоренцем и в начале 20 века развиты многими учеными (Л. Прандтль, Т. Кармен, В. Экман, И. Бюргерс, А. Колмогоров, Х. Драйден, Г. Клаузер, Дж. Тейлор, Г. Шлихтинг, Л. Лойцянский и др). Разработаны различные полуэмпирические теории пристенной турбулентности и отрывных течений. Осреднение по Рейнольдсу уравнений динамики вязкой жидкости приводит к системе уравнений Рейнольдса, называемые уравнениями для первых моментов. В общем случае проблема замыкания этих уравнений сводится к установлению связи тензора турбулентных напряжений с тензором осредненных скоростей деформаций.
Одна из первых попыток упростить расчет турбулентных течений принадлежит Буссинеску, который ввел понятие турбулентной вязкости. Далее эта гипотеза была развита Прандтлем и Карманом. При этом делались различные допущения о характере изменения коэффициента 
. Опытами было установлено, что nт изменяется по поперечному сечению потока, возрастая по мере удаления от стенки до некоторого максимума и затем убывая на оси потока. Часто с достаточной для практических расчетов принимают среднее значение 
в ядре потока, т.е. за пределами пристенного слоя.
Целью данной работы является получить приближенные расчетные выражения для коэффициента средней турбулентной вязкости в барботажном слое.
Коэффициент турбулентной вязкости
Рассмотрим теоретический подход определения коэффициента турбулентной вязкости в ядре потока, связанный со скоростью диссипации энергии турбулентности.
Коэффициент турбулентной вязкости по определению записывается в виде:
(1)
где u′ – пульсационная скорость, м/с; l – масштаб турбулентного движения, м.
В вязком подслое 
[1]
(2)
где u′, u′ – продольная и поперечная составляющая пульсационной скорости, м/с; u* – динамическая скорость трения, м/с; u – продольная скорость в пограничном слое, м/с; y –поперечная координата, м; δ1 – толщина вязкого подслоя, м; n – коэффициент кинематической вязкости, м2/с.
а в основной зоне генерации турбулентности 
(3)
где d – толщина гидродинамического пограничного слоя, м.
Во внешней части пограничного слоя (окрестности оси канала)
(4)
Для основной зоны генерации турбулентности коэффициент турбулентной вязкости (1) с учетом (3) получит вид
(5)
Принимая модель локальной изотропной турбулентности запишем скорость диссипации энергии [2]
(6)
Из выражений (5) и (6) получим среднее значение nт при 
(7)
Как отмечено, выражение (6) имеет более широкую область применения [3-9], а не только для условий локальной однородности и изотропности потока.
Турбулентность в жидкой фазе
При исследовании гидродинамики барботажного слоя обычно определяют коэффициенты продольного и поперечного перемешивания, которые связаны с режимом работы аппарата и его конструкцией. Как правило, коэффициенты перемешивания всегда больше коэффициента турбулентной вязкости. Только при малых скоростях газа основную роль в продольном перемешивании играют турбулентные пульсации, обусловленные деформациями газовых пузырей и заполнением жидкостью покинутого им объема, то есть турбулентностью в следах за газовыми пузырями.
Рассмотрим два режима барботажа в газожидкостных аппаратах [8]:
Пузырьковый режим с малым газосодержанием 
когда расстояние между пузырьками больше их диаметра и стесненностью можно пренебречь.
При скорости газа на полное сечение барботажного аппарата (без учета жидкости) 
м/с выражение для расчета динамической скорости получено в виде [8].
(8)
а при 
м/с
(9)
где ϕг – среднее объемное газосодержание.
Газосодержание вычисляется по известным эмпирическим выражениям [8], например по формуле
, (10)
где ρг, ρж – плотности газа и жидкости, кг/м3; s –поверхностное натяжение, Н/м; ∆ρ – разность плотностей жидкости и пузырька, кг/м3.
При выводе выражений (8), (9) было принято, что газ барботирует в условно неподвижную жидкость.
В выражении (7) составляющую от средней скорости диссипации энергии в окрестности пузырька (в пограничном слое и вихревом следе) запишем в виде
(11)
τгр – среднее касательное напряжение на поверхности пузырей, Па; 
– скорость движения пузырей, м/с; uгр – скорость движения межфазной поверхности, м/с; Vж – объем жидкости, где происходит диссипация энергии, м3; F – площадь поверхности пузырька, м2.
Учитывая, что толщина гидродинамического слоя на пузырьке на порядок меньше его диаметра запишем объем в виде суммы
(12)
где Vсл – объем вихревого следа за пузырьком, м3; 
– объем пограничного слоя на пузырьке, м3; d – средняя толщина пограничного слоя, м.
Представляя объем вихревого следа в виде полуэллипсоида вращения, в центр которого вписана дисперсная частица (пузырек), запишем [10]
(13)
где R – радиус пузырька, м; S – длина вихревого следа, м.
При числах 
длина вихревого следа примерно равна [11]
(14)
Тогда 
(15)
Тогда из (11) – (15) при F = 4πR2 получим
(16)
и выражение (7) запишется в виде
(17)
Учитывая, что 
среднюю толщину пограничного слоя найдем из выражения для пластины с учетом движения межфазной поверхности [12]
(18)
где L = πR полупериметр длины обтекания пузырька, м.
Известно также выражение 
[13]; 
число Рейнольдса для пузырька.
Среднюю скорость на границе раздела можно вычислить, используя функцию Адамара – Рыбчинского
(19)
где 
отношение коэффициентов динамической вязкости дисперсной и сплошной фаз; j –угол.
В выражениях (17), (18) диаметр dп =2R и скорость всплытия пузыря вычисляются по известным зависимостям
(20)
(21)
где do – диаметр отверстия барботера, м.
Из (7), (8) и (17) в итоге получим
(22)
Режим стесненного движения пузырей.
Переход к такому режиму можно оценить по условию 
где jж – удельный объем жидкости, находящийся в пограничных слоях всех пузырей и их вихревых следах. Из геометрических выводов имеем 
Как показывают расчеты, для системы воздух – вода, такой режим начинается при 
м/с.
Если 
то имеем 
и при таком режиме энергия диссипирует во всем объеме жидкой фазы и в газовых пузырях. Тогда выражение (11) запишем, используя удельную поверхность газожидкостного слоя
(23)
(24)
где Vг.ж – объем газожидкостного слоя, м3; Vж – объем жидкости в слое, м3.
Если скорость газа в слое превышает скорость свободного всплытия пузыря, то 
Учитывая связь
(25)
уравнение (24) получит форму
(26)
Из (7) и (26) получим
(27)
где диаметр пузырьков
(28)
где Vo – расход газа через отверстие, м3/с; Sк – площадь поперечного сечения аппарата, м2; n – число отверстий в барботере.
Окончательно с u* (9) имеем
(29)
На рисунке дана зависимость nтж от скорости газа в барботажном слое.
м2/с
Зависимость коэффициента nтж от скорости газа: 1 – расчет по (22); 2 – расчет по (29). Система воздух – вода
Выводы
В статье на основе использования модели локальной изотропной турбулентности получены выражения для приближенного расчета средних значений коэффициента турбулентной вязкости в ядре жидкой фазы барботажного слоя. В результате расчетов получено, что при небольших скоростях газа 
и как следствие малых значениях газосодержания 
коэффициент турбулентной вязкости увеличивается с повышением скорости газа, примерно 
Этот режим характеризуется нестесненным движением пузырей и турбулентность вызвана, главным образом вихревым следом. При 
м/с начинается стесненное движение пузырей и с повышением скорости газа коэффициент турбулентной вязкости значительно снижается. Это можно объяснить уменьшением масштаба турбулентности l в выражении (5), так как расстояние между пузырями уменьшается. При скоростях газа 
м/с в отверстиях барботера образуются газовые струи (факелы), которые являются источниками генерации турбулентности. Для такого режима расчет ведется с учетом газовых струй [9].
Полученные выражения (22) и (29) пригодны для 
м/с и могут использоваться для расчетов высокослойных барботажных реакторов, аэротенков, флотаторов и других аппаратов с газожидкостными средами, когда концевыми (входными) эффектами можно пренебречь.