Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение второго порядка с запаздывающим аргументом с гладкой весовой функцией:
(1)
с начальным условием
, (2)
где t – запаздывание, – весовая функция,
, l – спектральный параметр, причём потенциал q(x) предполагается суммируемой функцией на отрезке
:
.
Пусть – ветвь корня, для которой
. В работе получена асимптотика решения дифференциального уравнения (1)-(2) при
(в зависимости от величины t).
Теорема.
Общее решение дифференциального уравнения (1) в случае имеет следующий вид:
где C1 и C2 – произвольные постоянные,
и
– фундаментальная система решений вспомогательного уравнения
– определитель Вронского решений
и
.