Рассмотрим дифференциальное уравнение четвёртого порядка:

(1)

с граничными условиями

, (2)

где l – спектральный параметр, коэффициенты – суммируемые функции на отрезке :

почти всюду на отрезке . (3)

В случае асимптотика решений дифференциального уравнения (1) изучена в работе [1]. В случае в монографии М.А. Наймарка [2, глава 2, с. 53] указана замена , позволяющая преобразовать уравнение (1) к более простому виду:

.

Но это замена осуществима, только если , в случае она не проходит. В [1] доказана теорема.

Теорема.

Решение дифференциального уравнения (1) имеет вид:

, (4)

где – произвольные постоянные, .

Метод последовательных приближений (см. [1]) к интегральному уравнению (4) в случае также неприменим. Вопрос: как искать асимптотику решений уравнения (1)?