Исторически сложилось так, что теория электрических цепей тесно связана с матричным математическим аппаратом. Действительно, использование двух классических законов Кирхгофа приводит к формированию системы уравнений, которые удобно решать с помощью теории матриц. Однако, уже сам основоположник теоретической электротехники предложил топологические правила анализа цепей [1], что, очевидно, стало реакцией на несовершенство математических методов при решении уравнений и неприспособленность этих методов для получения решения в аналитическом (символьном) виде. Его ученик, Вильгельм Фридрих Фойснер, пошел еще дальше и создал новый подход к расчету электрических цепей, получивший название «схемного подхода» [2, 3]. К сожалению, его работы на протяжении почти ста лет оставались мало востребованы специалистами [4]. Лишь в конце 20-го века идеи Фойснера были переосмыслены, и получили развитие, результатом которого стал инновационный математический аппарат схемных определителей.
Схемный определитель в отличие от матричного определителя принципиально не содержит взаимно уничтожающихся слагаемых, которые порождаются расположением параметра элемента схемы в двух, четырех и более позициях матрицы с разными знаками [4].
В статье рассматриваются приложения теории цепей, в которых аппарат схемных определителей обеспечивает преимущества перед существующими методиками.
Анализ электрических цепей. Для расчета искомых токов и напряжений используется непосредственно схема замещения цепи с произвольными линейными элементами, минуя составление уравнений равновесия. Результат анализа цепи представляется в виде отношения двух схемных определителей S=N/D, – где S – одна из шести символьных схемных функций (ССФ), N – числитель ССФ, D – знаменатель. Определитель рассчитывается с помощью формул выделения параметров [4, 5].
Обобщение формул выделения позволило применить схемный подход к анализу механических цепей [4], электрических цепей с резистивно-емкостными элементами с распределенными параметрами [4], параметрических цепей – цепей с переключаемыми конденсаторами [6], моделей электронных схем с аномальными элементами [7]. Метод схемных определителей обеспечивает формирование полиномиальных коэффициентов ССФ в компактной форме, не требуя развертывания и сортировки символьных выражений [4]. Представление схемных функций в дробной форме позволяет применять схемный подход для допускового анализа электрических цепей [4].
Для анализа сложных электрических цепей на базе аппарата схемных определителей был развит диакоптический подход к расчету схемных моделей, разработаны эффективные методы иерархического деления схемы на две подсхемы и объединения подсхем, позволяющие преодолеть существующие ограничения на тип линейных элементов и число внешних узлов подсхем и получить компактные выражения ССФ без дубликаций [4]. Разработан метод нуллорных схем для символьного анализа электронных цепей с любыми типами линейных элементов по частям через объединение подсхем [8].
Методики расчета ССФ с помощью аппарата схемных определителей реализованы в компьютерной программе CirSymw (intersyn.narod.ru).
Диагностика электрических цепей. В рамках теории схемных определителей традиционный явный принцип наложения был дополнен новым, неявным принципом [9]. Неявный принцип наложения заключается в замене всех независимых источников на компенсирующие элементы – источники, которые управляются ветвью единственного опорного источника. При этом в результате объединения соответствующим образом подключенных источников образуется многомерный управляемый источник. Благодарю этому схемный подход был успешно использован для получения символьного решения базисной задачи диагностики, на основе принципа компенсации [4].
Синтез электрических цепей. В работе [10] предложена прямая методика получения полного множества эквивалентных схем эквивалентных по заданной целевой функции, исключающая применение промежуточных математических моделей. Методика не имеет ограничений по типу реализуемой функции и используемой элементной базе цепей, и обеспечивает получение оптимальных по числу элементов схемных решений. Для автоматизации процесса получения полного множества эквивалентных моделей и выбора лучшего схемного решения разработана программа InterSyn
Другим подходом к синтезу электрических цепей с помощью теории схемных определителей является использование эквивалентных преобразований, сохраняющих число элементов, получивших название преобразований переключением [11]. Они позволяют избирательно модифицировать структуру схемы в соответствии с критериями технического задания, чтобы избежать необходимости анализа всех возможных схемных решений.
Отдельным направлением является реализация структурных схем на транскондуктивных усилителях [12]. Процедура перехода от структурной схемы к схеме на транскондукторах весьма проста и полностью формализована.
Выводы. Таким образом, инновационный аппарат схемных определителей обеспечивает значительные преимущества схемных определителей, используется при решении следующих задач теории цепей: символьного анализа линейных и нелинейных схем; диакоптики; диагностики; структурного синтеза; допускового анализа; аналитического решения линейных алгебраических уравнений.