Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

Dalinger V.A. 1
1
1096 KB

В настоящее время итоговая аттестация выпускников школ проводится в формате единого государственного экзамена (ЕГЭ). Задания, предлагаемые в качестве контрольно-измерительных материалов, из года в год претерпевают изменения. Есть задания, с которыми учащиеся справляются без затруднений, но есть задания, которые вызывают у учащихся значительные трудности. К таким заданиям можно отнести задания С5 и С6.

Наш опыт показывает, что возможно, вооружив учащихся необходимым учебным материалом, облегчить решение таких заданий. Остановимся в данной статье на одной теореме, которая может стать подспорьем в решении трудных задач ЕГЭ по математике, в частности, задач С5, предложеных в 2013 году.

Теорема. Пусть задано уравнение f(h(x))=f(g(x)). Если функция f монотонна, то заданное уравнение на своей области определения равносильно уравнению h(x)=g(x).

Рассмотрим решение уравнения ped1.wmf, применив для этого сформулированную теорему.

Рассмотрим функцию ped2.wmf. Если мы в данную функцию вместо t подставим sin2x, то получим левую часть уравнения, а если cos2x, то получим правую часть уравнения. Значит, заданное уравнение имеет вид f(sin2x)=f(cos2x). Исследуем функцию f(t) на монотонность, для чего найдем ее производную. Будем иметь:
f′(t) = 3t2+3. Так как f′(t) >0, то функция f(t) монотонно возрастает. Тогда заданное уравнение, согласно теореме, будет равносильно уравнению sin2x=fcos2x. Его решение довольно простое, а потому мы его приводить не будем.

В 2013 году в качестве С5 учащимся были предложены задания:

Задание 1. Найдите все значения параметра ped3.wmf, для каждого из которых уравнение ped4.wmf имеет более трех различных корней.

Задание 2. Найдите все значения параметра ped5.wmf, для каждого из которых уравнение ped6.wmf имеет более трех различных корней.

Задание 3. Найдите все значения параметра ped7.wmf, при которых уравнение ped8.wmf имеет более одного корня.

Рассмотрим решение задания 1. Запишем заданное уравнение в виде ped9.wmf ped10.wmf+ped11.wmf. Рассмотрим функцию f(t)=ped12.wmf. Если мы в данную функцию вместо t подставим ped13.wmf, то мы получим левую часть уравнения, а если ped14.wmf, то получим правую часть уравнения. Значит, заданное уравнение имеет вид f(ped15.wmf=f(|x|–a) Легко показать, что производная ped16.wmf всегда положительна, а значит функция f(t) монотонно возрастает. Тогда заданное уравнение, согласно теореме, будет равносильно уравнению ped17.wmf. Решим его графически, для чего вначале запишем его в виде ped18.wmf, или ped19.wmf,
или ped20.wmf. В одной системе координат построим графики функций ped21.wmf
и y =а. Мы увидим, что при ped23.wmf прямая y =а пересекает график функции ped25.wmf в четырех точках. Следовательно, ответом служит промежуток ped26.wmf.

Рассмотрим решение задания 3. Запишем заданное уравнение в виде ped27.wmf, или ped28.wmf. Рассмотрим функцию ped29.wmf. Если мы в данную функцию вместо t подставим ped30.wmf, то мы получим левую часть уравнения, а если ped31.wmf,
то получим правую часть уравнения. Значит, заданное уравнение имеет вид ped32.wmf Производная ped33.wmf всегда положительна, а значит функция f(t) монотонно возрастает. Тогда заданное уравнение, согласно теореме, будет равносильно уравнению ped34.wmf, или ped35.wmf Квадратное уравнение будет иметь более одного корня (слова «более одного корня» следует понимать как два различных корня), если его дискриминант положителен: D = 4–12а > 0, откуда ped37.wmf.Следовательно, ответом служит промежуток ped38.wmf.

Аналогичным образом можно решить и задание 2.

Покажем приемы, которые можно использовать для рационализации неравенств.

Для рационализации неравенств можно использовать следующие замены выражений:

а) ped39.wmf на ped40.wmf;

б) ped41.wmf на ped42.wmf;

в) ped43.wmf на ped44.wmf;

г) ped45.wmf на ped46.wmf.

Как правило, a, b, c являются функциями. Не сложно доказать справедливость указанных замен.

Каждая из указанных замен приводит обычно к изменению области допустимых значений (ОДЗ), причем, и это очень важно, ОДЗ нового неравенства шире, чем у исходного, так что потери решений не происходит, а полученные в конце решения надо еще проверить на вхождение в ОДЗ исходного неравенства. Другими словами, решениями исходного неравенства будут те из полученных решений, которые лежат в его ОДЗ, в таком случае мы будем говорить, что новое неравенство равносильно исходному в его ОДЗ. Следовательно, надо начинать решения с нахождения ОДЗ исходного неравенства. Заметим также, что когда a, b, c зависят от х, получаемое после замены неравенство вовсе не обязательно будет рациональным.

Рассмотрим три примера.

а) Решить неравенство

ped47.wmf.

Решение. Найдем область определения неравенства:

ped48.wmf ped49.wmf

Воспользуемся заменой, указанной под буквой а). Будем иметь:

ped50.wmf

Используя метод интервалов и учитывая область определения исходного неравенства, получим х>4.

б) Решить неравенство:

ped51.wmf.

Решение. Найдем область определения исходного неравенства:

ped52.wmf

получаем ped53.wmf

Используя указанные выше замены а) – г), получаем:

ped55.wmf

Решение этого неравенства уже не представляет сложности, но не следует забывать про область определения исходного неравенства.

в) Решить неравенство: ped56.wmf

Решение. Областью определения исходного неравенства являются все действительные числа, кроме нуля.

Перепишем неравенство в виде ped57.wmf Используя указанные замены а) и г), получим

ped58.wmf

откуда, методом интервалов, находим ответ ped59.wmf.

Аналогичные рекомендации, облегчающие решение уравнений, можно дать и по отношению к уравнению вида ped60.wmf, где ped61.wmf – некоторая функция.

Примерами таких уравнений могут быть:

а) ped62.wmf

б) ped63.wmf

в) ped64.wmf

г) ped65.wmf

Рекомендации по решению уравнений вида ped66.wmf приведены в нашей работе [1].

Рекомендации, облегчающие решение, можно дать и по отношению к уравнению вида

ped67.wmf,

где f(x), g(x) – некоторые функции. Заметим, что это уравнение является обобщением класса уравнений ped68.wmf.

Для указанного уравнения

ped69.wmf

справедливы следующие утверждения, полезные при их решении.

1. Корни уравнения

ped70.wmf, (*)

входящие в область допустимых значений уравнения

ped71.wmf, (**)

являются решениями уравнения (**).

2. Если функция f(x) возрастающая
и g(x) > 0, или функция f(x) убывающая
и g(x) < 0 на области допустимых значений уравнения (**), то уравнения (**) и (*) равносильны на области допустимых значений уравнения (**).

3. Если функция f(x) является многочленом n-й степени и g(x) – многочлен, то полином

ped72.wmf

делится на многочлен ped73.wmf.