Метод математической индукции есть особый метод математического доказательства, позволяющий на основании частных наблюдений делать заключения о соответствующих общих закономерностях. Метод математической индукции, по самому существу своему связанный с понятием числа, имеет наибольшее применение в арифметике, алгебре и теории чисел. Но понятие целого числа является основным не только в теории чисел, специально занимающейся изучением его свойств, но и вообще во всей математике. Поэтому метод математической индукции применяется в самых разнообразных областях математики. В частности, особенно красивы различные применения этого метода в геометрии – им и посвящена данная статья.
Наиболее естественное применение метода математической индукции в геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в алгебре, – это применение к решению задач на вычисление. Приведем пример решения задачи.
Задача. Определить число N непересекающихся диагоналей, используемых при разбиении n-угольника на треугольники.
Решение. 1° Для треугольника (n = 3) это число равно нулю (в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали); для четырехугольника (n= 4) это число равно, очевидно, единице.
2° Предположим, что мы уже знаем, что число непересекающихся диагоналей, используемых при разбиении k-угольника, где k<n, равно k–3 (независимо от способа решения).
Рассмотрим одно из разбиений n–угольника А1А2А3…Аn (рис. 2) на треугольники. Пусть А1Аk – одна из диагоналей этого разбиения; она делит n-угольник А1А2… Аn на k-угольник А1A2…Ak и (n-k+2)-угольник A1AkAk+1…An. В силу сделанного предположения общее число N не пересекающихся диагоналей, используемых при разбиении n-угольника на треугольники, будет равно сумме непересекающихся диагоналей k-угольника – (k–3). Для (n-k+2)-угольника –
(n-k+2)–3 и самой диагонали А1Аk, т.е. N = k – –3 + (n – k + 2) – 3 + 1 = k – 3 + n – k + 2 – 3 + +1 = n – 3, тем самым наше утверждение доказано для всех n.