Сложный многоуровневый характер природных процессов делает практически невозможным их точный математический расчет, в связи с этим, уже на стадии математического моделирования для создания численно аналитических методов расчета, реализуемых с помощью компьютерных технологий и программного обеспечения, приходится делить их на несколько подуровней. [5] Особенный интерес при изучении задач локального загрязнения окружающей среды представляют тяжелые аэрозоли. [4]. Диффузионные процессы, протекающие в атмосфере и океане, представляют собой практически важную задачу, связанную с решением различных проблем защиты окружающей среды от загрязнения [3]. Как правило, эти процессы носят турбулентный [3] характер и поэтому их теоретическое исследование сопряжено с большими трудностями, возникающими уже на стадии создания и выбором конкретных зависимостей коэффициента турбулентной диффузии K времени T, стоками f(c) и концентрацией диффундирующих примесей c. [4,5] Такое описание возможно только на основании нелинейных моделей, отражающих зависимость турбулентного коэффициента диффузии от концентрации, а также учета ее поглощения, к рассмотрению которых мы и переходим.
При прогнозировании, управлении и оптимизации процессов адвективного переноса и диффузии определяющим являются не поле концентрации c(p,t) [4], а поле поверхности ее уровня. Поэтому в тех случаях, когда это возможно, естественна и необходима формулировка задач со свободными границами [3] в терминах этих определяющих величин, несмотря на существенное усложнение дифференциального уравнения [5], начального и краевых условий [4].
В случаях стремления коэффициента диффузии к нулю в окрестности границы возникают пограничные слои [7]. Но это уже другие постановки задач диффузионных процессов.
В данной работе мы рассмотрим задачу Дирихле для поверхностей уровня поля концентраций. Источник загрязнения здесь обозначается через w. [3]
Постановка задачи. Если на известной части S(t) ограниченной поверхности области W(t) задано краевое условие Дирихле, то для определения поля концентраций c(P,t) и свободной поверхности 
: 
получаем систему уравнений:
(1)
Поверхности уровня скалярного поля концентрации 
[5] определяет в неявной форме однопараметрическое семейство поверхностей уровня 
где 
. Если краевое условие Дирихле таково, что область W(t) расслаивается изотермическими поверхностями, то концентрацию с можно считать монотонной функцией одной из координат, например, z, при фиксированных значениях x,y,t. Это дает возможность с помощью специального преобразования типа Мизеса 
перейти от задачи определения поля концентрации 
к задаче определения поля ее поверхностей уровня 
. Такое преобразование позволяет избавиться от необходимости определения свободной поверхности [4], так как концентрация при этом выступает в роли независимой переменной и значение c=0 соответствует этой поверхности – 
и для поверхностей уровня 
получить следующую начально – краевую задачу:
, 
(2)
,
где 
– уравнение известной поверхности 
;
n – внешняя нормаль к 
(3)
– тангенциальная часть оператора 
. При постановке задачи (2) мы воспользовались формулами дифференцирования обратных функций, которые приводят к следующим соотношениям:
,
.
Одномерная задача. В простейшем одномерном случае задача для определения поля концентраций 
и свободной поверхности Г(t) [3] и соответствующая задача относительно поля поверхности уровня z(c,t) записываются в виде
,
, 
(1′)
, 
,
, и
,
, 
, (2')
, 
,
,
где 
– функция стоков; 
– монотонно неубывающая функция времени
(3′)
Монотонность оператора А и нахождение единственности решения задачи для поверхностей уровня (2′) в процессе загрязнения атмосферы.
Для установления свойства монотонности оператора A воспользуемся известной первой формулой Грина
. (4)
Полагая в (4) 
и первый раз 
, а второй 
, где 
– произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, определенные на 
получим два равенства
(5)
(6)
Вычитая (5) из (6), получаем следующее соотношение:
которое после простого преобразования подынтегрального выражения во втором слагаемом правой части записывается в виде
(7)
Пусть теперь
– два различных решения задачи (2′). Тогда, в силу краевых условий первое слагаемое из (7) равно нулю, а подынтегральное выражение во втором слагаемом, в силу монотонности функций 
и 
по 
, положительно. Следовательно, первая формула Грина для оператора задачи (2') окончательно запишется в виде
. (8)
Так как правая часть равенства (8) не положительна, то отсюда следует монотонность оператора А на решениях задачи (2′).
Используя свойство монотонности оператора А, докажем единственность решения задачи (2′). Для этого с помощью дифференциального уравнения задачи исключим из (8) Az1 и Az1. Имеем
(9)
Интегрируя по частям последний интеграл, учитывая граничные условия задачи (2′) свойства функции f(c), перепишем (9) в виде
(10)
Как нетрудно видеть, правая часть полученного равенства неотрицательна. Однако выше было сказано, что правая часть не положительна (см. (8)). Из полученного противоречия следует, что 
Таким образом, мы приходим к следующему основному выводу:
Если функция источников 
функция стоков f(c) монотонно возрастает и 
, то решение одномерной задачи Дирихле (2′) для поверхностей уровня положительно и единственно.
К основным процессам самоочищения или рекреации, с учетом их результативности, следует отнести химические реакции, микробиологическое окисление, процессы адсорбции и распада. Восстановительная способность атмосферы представляется с помощью функции распределения стоков загрязнения f = f(c) [3].
При разработке неотложных мер по экологической проблеме, существенную роль играют математические модели переноса и диффузии в стратифицированных водной и воздушной средах, позволяющие производить расчеты и давать прогнозы. При построении разностных схем для задач гидродинамики, тепло- и массопереноса большое внимание уделяется так же монотонным схемам [2].
Современные практики и исследователи отмечают, что в настоящее время влияние человека на природу достигает такого размаха, что естественные регуляторные механизмы уже не в состоянии самостоятельно нейтрализовать многие нежелательные и вредные его последствия. Экологическая политика должна учитывать взаимозависимость между природными средами, технологиями производства, загрязнения и сокращения загрязнения, между самими загрязняющими веществами. Это, конечно необходимо учитывать при разработке долгосрочных программ [6].
Господствующие в обществе социальные установки оказывают решающее влияние на его экономику и системы управления. Надо уметь создавать перспективы, раскрывая потенциал сотрудников, клиентов и общества в целом [4]. Грань, отделяющая сегодняшнее состояние нашей планеты от экологической катастрофы настолько тонка, что речь надо вести не об «экологии вообще», а о размерах отклонений экологических характеристик нашей среды обитания от значений минимально необходимых для жизнедеятельности обитателей планеты.