В пищевой и химической промышленности широко используются материалы, обладающие вязкоупругими свойствами: тесто, смеси полимеров, нефть и нефтепродукты с большим содержанием смол и др. В настоящее время на практике применяются и искусственно создаваемые вязкоупругие жидкости. Одна из базовых моделей движения вязкоупругих сред – модель Джеффриса. Теоретический анализ уравнений этой модели дается в работах [1–6], где приводятся результаты о существовании и единственности решений. С практической точки зрения не менее важным является построение эффективных оценок решений. В данной заметке предлагается одна из таких оценок, а именно рассматривается оценка стационарного течения вязкоупругой жидкости в замкнутом сосуде.
Обозначим область течения через U. Мы будем считать, что множество U ограничено в пространстве R3 и имеет регулярную границу ∂U. Через V обозначим пространство распределений скоростей v: U→R3 класса Соболева H1(U) с условием неразрывности div v =0 и условием прилипания на границе v|∂U=0.
Решение v, описывающее движение вязкоупругой среды в области U, можно оценить, исходя из следующих параметров модели: q – плотность объемных сил, действующих на жидкость (мы предполагаем, что q принадлежит классу L2(U)); m – вязкость среды, λ1 – время релаксации, λ2 – время запаздывания. Если говорить более точно, справедлива оценка
|| v ||V < λ1|| q ||2/(2µλ2).
Для получения этой оценки используется метод Галеркина и метод введения «исчезающей вязкости» [7]. В случае специальных течений, обладающих некоторой симметрией, удается получить явные формулы для решений (см., например, [8, 9]).