В современных технологических процессах широко используются различные полимерные материалы. Предложено много моделей, описывающих движение полимерных сред. Удовлетворительное описание течения слабых водных растворов полимеров дает модель В.А. Павловского [1]. Уравнения этой модели активно исследовались А.П. Осколковым и другими авторами [2–7].
Рассмотрим задачу о торможении раствора полимеров в плоском канале. Пусть раствор заполняет полость между плоскостями z = 0, z = h. Предположим, что за счет перепада давления вдоль оси y жидкость приводится в движение, а потом внешняя сила перестает действовать. Требуется определить поле скоростей затухающего движения жидкости.
Используя методы решения задач Штурма-Лиувилля, получаем серию решений:
n = 1, 2, ….,
где Vn(z,t) –скорость жидкости вдоль оси y; n – вязкость раствора, ξn > 0 – корни уравнения
2ξnkh ctgξ – n2ξ2 + k2h2 = 0;
здесь k – коэффициент скольжения, k > 0, θn = arctg(nξn/kh). Применяя метод наложения, из набора Vn можно получить решение с заданным начальным условием.
В связи с полученными результатами стоит упомянуть работы [8–10], в которых изучаются различные модели, описывающие течения вязкоупругих жидкостей в плоском канале, и статью [11], в которой рассматривается задача управления течением вязкоупругой среды в условиях пристенного скольжения.