Как известно [1], методы математического моделирования являются признанным инструментом научного анализа сложных, с множеством внутренних и внешних взаимосвязей, объектов различной природы. Они позволяют на модельном уровне формализовывать закономерности, присущие этим объектам, посредством разработки их качественных абстрактных образов, что открывает широкие возможности в повышении эффективности вырабатываемых управляющих воздействий, поскольку при том экспериментирование может проводиться не с «живой» системой а с ее математической моделью.
Прикладная значимость этих методов весьма высока. Он давно и успешно используются в различных отраслях знаний, во многом способствуя лучшему пониманию изучаемых процессов. Традиционно одно из наиболее широких средств применения методов математического моделирования является экономика, которая в силу своей специфики особенно активно и плодотворно потребляет новые достижения, появляющиеся в этой области.
Целью настоящей работы является формализация с помощью методов математического моделирования взаимосвязей факторов, определяющих продовольственный рынок. Мы выделили 13 таких факторов:
Х1 – производство мяса (млн тонн);
Х2 – производство зерна (млн тонн);
Х3 – производство молока (тыс. тонн);
Х4 – потребление продуктов питания на душу населения;
Х5 – стоимость 1 кг говядины;
Х6 – стоимость 1 кг свинины;
Х7 – стоимость 1 кг хлеба;
Х8 – стоимость 1 кг пшеничной муки;
Х9 – стоимость 1 л молока;
Х10 – стоимость минимального набора продуктов (руб.);
Х11 – объем импорта мяса (тыс. тонн);
Х12 – объем импорта зерна (млн тонн);
Х13- объем импорта молока (тыс. тонн);
Была собрана статистическая информация о значениях этих показателей за 2000-2013 годы (сайт РОССТАТа [2]). Эти данные приведены в таблице.
В качестве метода моделирования был использован один из основных разделов анализа данных – регрессионный анализ, прикладные аспекты которого изложены, в частности, в работе 1. В соответствии с методологией регрессионного анализа, все перечисленные факторы(показатели, переменные) были разбиты на две группы – выходные (внутренние, зависимые, эндогенные) и входные ( внешние, независимые, экзогенные). В первую группу вошли факторы: Х4, Х5, Х6, Х7, Х8, Х9, Х10, Х11, Х12, Х13, остальные показатели составили вторую группу. При этом допускалось, что в одних уравнениях одна и та же переменная являлась выходной, а для других уравнений – входной.
Статистические данные показателей рынка продовольствия Российской Федерации
|
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
|
|
X1 |
4 446 |
4 477 |
4 733 |
4 993 |
5 046 |
4 972 |
5 259 |
|
X2 |
65,4 |
85,1 |
86,5 |
67,0 |
77,8 |
77,8 |
78,2 |
|
X3 |
32 259 |
32 847 |
33 462 |
33 316 |
31 861 |
30 826 |
31 097 |
|
X4 |
9,9 |
10,4 |
11 |
11,5 |
12,6 |
13,2 |
14 |
|
X5 |
52,72 |
70,33 |
72,56 |
73,90 |
93,41 |
115,77 |
131,67 |
|
X6 |
58,45 |
79,22 |
80,98 |
82,42 |
110,47 |
131,64 |
142,00 |
|
X7 |
12,19 |
13,96 |
14,35 |
18,69 |
21,61 |
22,24 |
24,92 |
|
X8 |
8,08 |
8,48 |
8,04 |
11,40 |
13,06 |
12,83 |
12,83 |
|
X9 |
9,70 |
11,37 |
11,96 |
13,48 |
15,52 |
17,35 |
18,76 |
|
X10 |
700,4 |
784,28 |
936,71 |
1044,78 |
1116,6 |
1254,28 |
1406,65 |
|
X11 |
2 095 |
2 554 |
2 697 |
2 668 |
2 705 |
3 094 |
3 175 |
|
X12 |
4,7 |
1,8 |
1,6 |
1,7 |
2,9 |
1,5 |
2,3 |
|
X13 |
4 178 |
4 884 |
4 989 |
5 617 |
6 304 |
7 115 |
7 293 |
|
Окончание таблицы |
|||||||
|
2007 |
2008 |
2009 |
2010 |
2011 |
2012 |
2013 |
|
|
X1 |
5 790 |
6 268 |
6 720 |
7 167 |
7 520 |
8 090 |
8 552 |
|
X2 |
81,5 |
108,2 |
97,1 |
61,0 |
94,22 |
70,9 |
92,4 |
|
X3 |
31 988 |
32 363 |
32 570 |
31 847 |
31 646 |
31 810 |
30 662 |
|
X4 |
14,9 |
15,9 |
16,4 |
17,7 |
20,1 |
20,5 |
20,0 |
|
X5 |
139,49 |
174,86 |
185,60 |
197,64 |
234,49 |
248,47 |
250,00 |
|
X6 |
149,02 |
189,42 |
193,66 |
198,35 |
210,89 |
22,09 |
221,40 |
|
X7 |
30,68 |
39,32 |
39,65 |
42,60 |
45,36 |
50,51 |
52,60 |
|
X8 |
17,35 |
21,45 |
19,49 |
21,45 |
19,76 |
25,19 |
29,01 |
|
X9 |
25,39 |
28,09 |
26,75 |
31,99 |
32,52 |
33,88 |
40,01 |
|
X10 |
1506,78 |
1879,99 |
2159,42 |
2192,42 |
2768,69 |
2437,44 |
2662,15 |
|
X11 |
3 177 |
3 248 |
2 919 |
2 855 |
2 707 |
2 710 |
2 448 |
|
X12 |
1,1 |
1,0 |
0,4 |
0,4 |
0,7 |
1,2 |
1,5 |
|
X13 |
7 134 |
7 315 |
7 005 |
8 159 |
7 938 |
8 516 |
9 443 |
Одним из основных достоинств регрессионного анализа является наличие в нем хорошо обоснованных частных характеристик адекватности модели. Мы в нашей работе будем использовать 4 таких критерия: R – критерий множественной детерминации, указывающей на то, какой процент значимых независимых переменных включен в уравнение; F – критерий Фишера, указывающий на значимость предыдущего критерия; E – средняя относительная ошибка аппроксимации, не требующая дополнительных пояснений; ti – критерий студента, указывающий на значимость i-го фактора. Часть этих критериев при использовании требует привлечения статистических таблиц соответствующего распределения. В практике же моделирования, при создании конкретных моделей реальных объектов, принято использовать такие величины(смотрите в частности монографию [3]):
R > 0,9;
F > 12;
E < 10;
Ti > 1;
Ниже приведены полученные восемь уравнений модели и указаны значения критериев их адекватности.
.
Критерии адекватности:
R = 0,98803, F = 206,33, E = 1,7581 %,
t0 = 11,58, t1 = 9,254, t2 = – 1,812, t3 = – 3,156
.
Критерии адекватности:
R = 0,96406, F = 160,93, E = 8,8153 %,
t0 = 26,39, t1 = – 17,94
.
Критерии адекватности:
R = 0,9070, F = 78,71959, E = 6,063 %,
, 
Критерии адекватности:
R = 0,9709, F = 92,2293, E = 8,703 %,
, 
Критерии адекватности:
R = 0,98187, F = 135,4, E = 5,5719 %,
t0 = 2,169, t1 = 5,114, t2 = – 2,685, t3 = – 2,121
Критерии адекватности:
R = 0,8889, F = 32,4384, E = 7,479 %,
, 
Критерии адекватности:
R = 0,8994, F = 28,978, E = 10,595 %,
, 
Критерии адекватности:
R = 0,87972, F = 43,884, E = 5,7659 %,
, 
.
При построении каждого уравнения модели проводился так называемый конкурс моделей, состоящий в разработке множества альтернативных вариантов модели и выделении из них наилучшего на основе применения соответствующих методов векторной оптимизации, таких, например, как методы идеальной точки, уступок, взвешивание критериев. Научные основы проведения такого конкурса представлены, в частности, в работах [4–6]. В число альтернативных вариантов уравнения входили в том числе существенно нелинейные варианты, в математическом отношении представляющие собой аддитивные функции.
Технологической основой проведения такого конкурса стал программный комплекс автоматизации процесса построения регрессионных моделей (ПК АППРМ [7–9]). Анализ приведенной модели позволяет выявить закономерности формирования и развития рынка продовольствия России. Так, в соответствии с 5-м уравнением, стоимость минимального набора продуктов с высокой точностью определяется квадратом средней цены говядины и свинины, средней стоимости произведенных хлеба и муки, а так же стоимостью молока. Этот набор показателей в правой части на 98 % определяет стоимость минимального набора продуктов. Если же взять последнее, 8-е уравнение, можно видеть, что объем импорта молока на 87 % определяется логарифмом произведения объема произведённого молока и его стоимости. На корректность такого анализа указывают высокие значения критериев адекватности для всех восьми уравнений. Кроме того, эта модель позволяет проводить кратко- и среднесрочное прогнозирование перечисленных выше выходных переменных. В своих последующих работах авторы намерены продолжить изучение рынка продовольствия России путем, в частности, усовершенствования данной модели.