Грунт в общем случае находится в сложном напряженно-деформируемом состоянии, вызванном воздействием внешних нагрузок, передающихся через фундамент и силами собственного веса, т.е. имеет место пространственное сжатие грунта. Однако в инженерной практике часто создаются условия, когда такое состояние уплотняемого массива многокомпонентного грунта сводится к одномерной задаче. К таким случаям относятся уплотнения грунтовых массивов и слоев в основании сооружений, имеющих большие размеры по сравнению с их мощностью.
При одномерном уплотнении элементарный кубик, выделенный из массива грунта, деформируется в условиях отсутствия бокового расширения. Причем направление сжимаемости кубика-образца совпадает с направлением действия наибольшего главного напряжения. В двух других направлениях деформации равны нулю. В этих условиях относительная деформация уплотнения равна относительной объемной деформации грунта.
Для выяснения общего характера протекания процесса такого уплотнения достаточно будет рассмотреть отдельные решения одномерной задачи теории консолидации, физическая сторона которой не очень отличается от аналогичных решений трехмерных задач. С другой стороны, исследования одномерного уплотнения более доступны, чем двух и трехмерных. Кроме того, это дает возможность при рассмотрении процесса уплотнения учесть некоторые факторы, сильно влияющие на него, в частности, можно указать на одновременный учет неоднородности, старения и ползучести уплотняемых грунтов. В связи с этим ниже исследуем процесс уплотнения, происходящий в слое трехфазного грунта.
Пусть слой трехфазного грунта мощностью h в момент времени t = τ1 подвержен действию внешней распределенной нагрузки с интенсивностью q = q(x3, t). Верхняя поверхность уплотняемого массива водопроницаема, а нижняя водонепроницаемая. Тогда решение этой задачи сводится к исследованию совместно трех уравнении. При этом уравнение уплотнения грунта без учета его свойства ползучести имеет вид [6].
, (1)
где ε – коэффициент пористости; β′ – коэффициент объёмного сжатия; k – коэффициент фильтрации; εср – средний коэффициент пористости; γв – объёмный вес воды; р – давление в поровой жидкости.
Состояние скелета упругоползучего однородного грунта и уравнение равновесия, может быть соответственно математически описаны следующими соотношениями [1]:
, (2)
, (3)
где
(4)
а0 – коэффициент сжимаемости, который в общем случае зависит от времени и пространственных координат; φ(t) – функция старения; a1, γ1 – параметры ползучести; σ(z, t), p(z, t), q(z, t) – соответственно напряжение, поровое давление и внешняя нагрузка, приложенная на верхнюю поверхность уплотняемого слоя
грунта.
Рассматривая совместно выражения (1)–(4), после некоторых математических выкладок относительно порового давления, получим следующее дифференциальное уравнение в безразмерных координатах:
, (5)
где
. (6)
Начальными условиями для данной задачи будут:
; (7)
(8)
где
= q (ξ,T1) – pстр.,
т.е. часть нагрузки, равная величине структурной прочности сжатия рстр, сразу же воспринимается скелетом грунта; функция старения 
, в (5), представлена в виде
.
Здесь С0, А1 – опытные данные, τ – время приложения нагрузки. Такая задача для постоянной нагрузки исследована в [7].
Если грунт деформируется только в вертикальном направлении, то по теории фильтрационной консолидации сумма избыточного порового давления и эффективного напряжения в грунте 
в любой момент времени равна внешней нагрузке, т.е. p + σ = q. Движение жидкости при уплотнении неоднородного грунта пусть происходит по модифицированному закону Дарси [2] со скоростью
, (9)
где k – коэффициент фильтрации; γв – объемный вес воды; I0 – начальный градиент напора при фильтрации.
Следовательно, при модифицированном законе Дарси граничные условия исследуемой задачи примут вид
; 
. (10)
Заменим функцию p(ξ, t) на
, (11)
тогда, в безразмерных координатах выражения (10) и (8) представляются в видах:
; 
(12)
, (13)
где 
.
Уравнения (5), (7) и (8) соответственно имеют вид:
, (14)
– 
(15)
Таким образом, данную задачу можно сформулировать следующим образом.
В безразмерных координатах требуется определить давление в поровой жидкости 
, напряжение в скелете σ(ξ, T) и вертикальные перемещения верхней поверхности S(T) (осадок) грунтового слоя в области 
, если 
удовлетворяет дифференциальному уравнению (14) начальным (15), (13) и граничным (12) условиям при (6).
Решение уравнения (14), удовлетворяющее указанным условиям, представим в виде
(16)
где Tj(T) – неизвестная функция, подлежащая определению. Она зависит только от Т. Для определения этой функции в уравнение (14) вместо функции 
подставим (16), тогда
получим:
.
Умножив обе части этого уравнения на
,
а затем, проинтегрировав полученное выражение в пределах от 0 до 1 по x, получим:
(17)
Правая часть Qj(T) этого неоднородного уравнения представляет собой известную непрерывную функцию. Она зависит только от Т и имеет вид:
(18)
. (19)
Неоднородное уравнение (17) дает возможность определить неизвестную пока функцию Tj, зависящую только от Т. Ее можно представить в виде двух слагаемых:
(20)
где T0j(T) – общее решение однородного уравнения, т.е. без правой части, когда Qj = 0, T1j(T) – частное решение неоднородного уравнения (17). Таким образом, для определения T0j(T) рассмотрим уравнение вида
. (21)
Если в выражении (21) введем обозначение вида:
, (22)
то уравнение (21) приводится к вырожденному гипергеометрическому равнению относительно переменной Rj(T):
(23)
где
, (24)
.
Решение линейного дифференциального уравнения (23) получим в виде:
, (25)
здесь F(aj, c, rj) и G(aj, c, rj) соответственно являются вырожденными гипергеометрическими функциями первого и второго родов. При этом F(aj, c, rj) называется функцией Куммера.
Она разлагается в степенной ряд
. (26)
Тогда функция G(aj, c, rj) через F(aj, c, rj) выражается следующим образом:
Причем ряд (26) сходится при всех rj.
Далее переходим к определению частного решения неоднородного уравнения (17). Для этого используем метод вариации постоянных, т.е. предположим, что в (25) произвольные постоянные C1j и C2j зависят от Т. После определения их, частное решение неоднородного уравнения (17) получится в виде:
. (27)
Тогда имея в виду (22) и (27), общее решение неоднородного уравнения (17) приводим к виду:
. (28)
Таким образом, распределение порового давления в уплотняемом упругоползучем грунтовом массиве мощности h происходит по закону (16). При этом функция Tj, входящая в эту формулу, находится из (28).
Для вычисления осадок S(T) грунта в безразмерной координате используем формулу вида
(29)
где σ(ξ, T) – напряжение в скелете грунта.
Оно находится из
. (30)
Подставив выражение (30) в (29), находим
. (31)
При Т → 0 имеем, что σ(ξ, T) → 0, а при Т → ∞ напряжение стремится к q.
Следовательно, если поровое давление изменится от q до 0, то напряжение принимает значение от 0 до q. При этом S(T) изменится от 0 до
. (32)
Если 
то из (32) находим, что 
, т.е. неустановившаяся осадка слоя уплотняемого грунта во времени изменяется в диапазонах от 0 до 
.
Для этого случая по расчетным формулам (17), (30) и (31) вычислены их численные значения. При этом получено, что с увеличением мощности уплотняемого грунтового массива максимальное значение порового давления и время его наступления увеличивается. Причем значения осадки уменьшаются в течение всего периода уплотнения. Так, например, при толщине слоя 5 м и 20 м максимальное значение порового давления отличается более чем 1,5 раза. Причем для толщины 20 м пик более растянут по сравнению с пиком для толщин 5 и 10 м. Это означает, что с увеличением толщины уплотняемого слоя грунта уменьшается скорость нарастания напряжений в скелете грунта, а в уплотняемых грунтовых массивах с малыми мощностями скорость нарастания напряжений в скелете грунта не, только велика, что приводит к отставанию роста деформаций от роста напряжений в скелете грунта. В то же время при большой толщине уплотняемого слоя грунта скорость нарастания напряжений в скелете грунта будет небольшой и деформации уплотнения вследствие ползучести и старения скелета грунта протекает без заметного отставания.
Таким образом, максимальное значение порового давления в основаниях сооружений зависит от длины пути фильтрации, т.е. от размеров уплотняемого слоя грунта. Причем чем больше мощность уплотняемого грунтового массива, тем медленнее протекает фильтрационные процессы. Это означает, что процесс возрастания порового давления будет продолжаться за счет ползучести и старения скелета грунта.
Задачи в других постановках исследованы в [3–5].