Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,564

MATHEMATICAL MODELING OF SURFACE WAVES STRESSES IN THE TASK LAMB IMPACT IN THE FORM OF A DELTA FUNCTION

Musayev V.K. 1
1 MESI
We consider the problem of numerical modeling of longitudinal, transverse and surface waves on the free surface of an elastic half-plane under a concentrated explosive impact in the form of a Delta function. Is the change in elastic contour stress on the free surface of the half-plane. For the solution of two-dimensional non-stationary dynamical problems of the mathematical theory of elasticity with initial and boundary conditions using the finite element method in the movements. The problem is solved by the method of end-to-end account, without allocation of breaks. Applied homogeneous algorithm. Using the finite element method in displacements, a linear problem with initial and boundary conditions has led to the linear Cauchy problem. Provides some information about the numerical simulation of elastic stress waves in elastic half-plane under a concentrated explosive impact in the form of a Delta function. Shows the variation in the elastic contour stress on the free surface of the half-plane.
transient waves
numerical method
displacement
velocity
displacement
acceleration
strain
elasticity theory
boundary value problem
with initial conditions
the Cauchy problem
the methods
algorithms
homogeneous algorithm
complex programs
longitudinal wave
transverse wave
the conical wave
Rayleigh wave
surface wave
the task lamb
elastic half-plane
the stress at the free surface

Постановка задачи

Для решения задачи о моделировании нестационарных упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г (рис. 1) в прямоугольной декартовой системе координат ХОY, которому в начальный момент времени musaev1.wmf сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

usaev1.tif

Рис. 1. Некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

musaev2.wmf, musaev3.wmf,

musaev4.wmf,

musaev5.wmf,

musaev6.wmf,

musaev7.wmf,

musaev8.wmf, musaev9.wmf, musaev10.wmf,

musaev11.wmf, (1)

где musaev12.wmf, musaev13.wmf и musaev14.wmf – компоненты тензора упругих напряжений; musaev15.wmf, musaev16.wmf и musaev17.wmf – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – cоставляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; r – плотность материала; musaev18.wmf – скорость продольной упругой волны; musaev19.wmf – скорость поперечной упругой волны; n – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; musaev20.wmf – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Начальные условия в области Г зададим в виде

musaev21.wmf, musaev22.wmf, musaev23.wmf,

musaev24.wmf, musaev25.wmf, (2)

где musaev26.wmf, musaev27.wmf, musaev28.wmf и musaev29.wmf – заданные в области Г функции.

Граничные условия зададим в виде:

составляющих компонентов тензора упругих напряжений на границе S1

musaev30.wmf, musaev31.wmf,

musaev32.wmf; (3)

составляющих компонентов вектора упругих перемещений на границе S2

musaev33.wmf, musaev34.wmf, musaev35.wmf, (4)

где l и m – направляющие косинусы; musaev36.wmf, musaev37.wmf, musaev38.wmf и musaev39.wmf – заданные на границе S функции.

В работах [1–10] приведена информация о моделировании волн напряжений в деформируемых областях.

Метод решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями – используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

musaev40.wmf, musaev41.wmf, musaev42.wmf, (5)

где musaev43.wmf – матрица инерции; musaev44.wmf – матрица жесткости; musaev45.wmf – вектор узловых упругих перемещений; musaev46.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; musaev47.wmf – вектор узловых упругих ускорений; musaev48.wmf – вектор узловых упругих внешних сил.

Соотношение (5) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши (5).

Рассмотрим интегрирование системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Для интегрирования уравнения (5) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

musaev49.wmf, musaev50.wmf. (6)

Интегрируя по временной координате соотношение (6) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

musaev51.wmf,

musaev52.wmf, (7)

где musaev54.wmf – шаг по временной координате.

Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина. Рассмотрим устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках. Система уравнений (5) для внутренних и граничных узловых точек, полученная в результате интегрирования уравнения движения теории упругости, должна давать решение, сходящееся к решению исходной системы (1).

Шаг по временной переменной musaev55.wmf определяем из следующего соотношения

musaev56.wmf, musaev57.wmf, (8)

где musaev58.wmf – длина стороны конечного элемента.

Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на сооружения. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.

Некоторая информация о достоверности моделирования волн напряжений в деформируемых телах приведена в следующих работах [1–5, 8–10].

Решение задачи о сосредоточенном упругом взрывном воздействии

В упругой полуплоскости от сосредоточенного воздействия распространяются продольные, поперечные, рэлеевские и конические волны. Они распространяются с разной скоростью. В работе [7] приведена информация о численном решении задачи Лэмба. Рассмотрим задачу о воздействии сосредоточенной волны в виде дельта функции (рис. 3) перпендикулярной свободной поверхности упругой полуплоскости (рис. 2). В точке B перпендикулярно свободной поверхности musaev59.wmf приложено упругое нормальное напряжение musaev60.wmf (рис. 3), которое при musaev61.wmf musaev62.wmf изменяется линейно от 0 до P, а при musaev63.wmf от P до 0 (musaev64.wmf, musaev65.wmf МПа (–1 кгс/см2)).

usaev2.tif

Рис. 2. Постановка задачи о воздействии сосредоточенной волны в виде дельта функции на свободной поверхности упругой полуплоскости

usaev3.tif

Рис. 3. Воздействие типа дельта функции

usaev4.tif

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения musaev66.wmf во времени musaev67.wmf в точке A1

usaev5.tif

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения musaev68.wmf во времени musaev69.wmf в точке A2

usaev6.tif

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения musaev70.wmf во времени musaev71.wmf в точке A3

Граничные условия для контура CDEA при musaev72.wmf musaev73.wmf. Отраженные волны от контура CDEA не доходят до исследуемых точек при musaev74.wmf. Контур ABC свободен от нагрузок, кроме точки B, где приложено сосредоточенное упругое нормальное напряжение musaev75.wmf.

Расчеты проведены при следующих исходных данных: musaev76.wmf; musaev77.wmf = 1,393⋅10-6 с; E = 3,15⋅10 4 МПа (3,15⋅10 5 кгс/см2); musaev78.wmf= 0,2; musaev79.wmf= 0,255⋅104 кг/м3 (0,255⋅10-5 кгс с2/см4); musaev80.wmf= 3587 м/с; musaev81.wmf= 2269 м/с. Решается система уравнений из 48032004 неизвестных.

На рис. 4–6 показано изменение упругого контурного напряжения musaev82.wmf (musaev83.wmf) во времени n в точках A1–A3 (рис. 2), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости (расстояние между точками: A1 и A2 равно H; A2 и A3 равно H).

Вывод

Амплитуда поверхностных волн Релея существенно больше амплитуд продольных, поперечных и других волн при воздействии перпендикулярного сосредоточенного воздействия в виде треугольного импульса на поверхности упругой полуплоскости.