Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,564

NUMERICAL SIMULATION OF VERTICAL CONCENTRATED ELASTIC PULSE EFFECT IN THE FORM OF A DELTA FUNCTION AT THE BOUNDARY OF AIR AND SOLID MEDIA WITH A CAVITY IN THE FORM OF A RECTANGLE (RATIO OF WIDTH TO HEIGHT OF ONE TO FIFTEEN)

Musayev V.K. 1
1 MESI
For the prediction of safety of complex systems in the air and hard environment, with vertical centering effect is applied numerical modeling. Based on the finite element method in the movements of the developed method, algorithm and software package for solving linear two-dimensional flat tasks, which allow you to solve a linear problem with pulse effects on complex systems. The problem of centering the elastic effects at the boundary of air and solid media with a cavity in the form of a rectangle (ratio of width to height of one to fifteen). Analyzed the computational domain has 20862 anchor point. Solve the system of equations of 83448 unknown. The resulting voltage at the points that are in solid medium.
numerical method
the voltage of the dynamic theory of elasticity
wave theory explosive safety
complex system
boundary value problem
with initial conditions
the Cauchy problem
the methods
algorithms
homogeneous algorithm
complex programs
longitudinal wave
transverse wave
the conical wave
Rayleigh wave
surface wave
elastic half-plane
air
solid environment
stresses on the free surface
the cavity.

Постановка задачи

Рассматриваемые физические процессы решаются с помощью методов математического моделирования.

missing image file

Рис. 1. Некоторое тело, состоящее из двух разных областей Г(1) и Г(2) в прямоугольной декартовой системе координат XOY

Рассмотрим некоторое тело, состоящее из двух разных областей Г(1) (воздушная среда) и Г(2) (твердая среда) (рис. 1) в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г(1) изготовлено из деформируемой воздушной среды и является однородным изотропным материалом, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях. Если в деформируемом твердом теле предположим, что поперечная скорость распространения равна нулю, то можно получить уравнения состояния для воздушной среды.

Точные уравнения двумерной плоской динамической теории упругости для области Г(1) имеют вид

missing image file

где σx(1) и σy(1) – компоненты тензора упругих напряжений; εx(1) и εy(1) – компоненты тензора упругих деформаций; u(1) и v(1) – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ(1) – плотность материала; Cp(1) – скорость продольной упругой волны; S(1) (S(1)1 ∪ S(1)2) – граничный контур тела Г(1).

Систему (1) в области, занимаемой телом Г(1), следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Точные уравнения двумерной плоской динамической теории упругости для области Г(2) имеют вид

missing image file

где σx(2), σy(2) и τxy(2) – компоненты тензора упругих напряжений; εx(2), εy(2), и γxy(2) – компоненты тензора упругих деформаций; u(2) и v(2) – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ(2) – плотность материала; Cp(2) – скорость продольной упругой волны; Cs(2) – скорость поперечной упругой волны; S(2) (S(2)1 ∪ S(2)2) – граничный контур тела Г(2).

Систему (2) в области, занимаемой телом Г(2), следует интегрировать при начальных и граничных условиях. Для решения краевой задачи используется метод конечных элементов в перемещениях.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на уникальные сооружения. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.

В работах [1–10] приведена информация о моделировании волн напряжений в деформируемых телах с помощью применяемого численного метода.

Решение задачи
о сосредоточенном упругом воздействии в виде дельта функции

Рассмотрим задачу о сосредоточенном упругом импульсном воздействии (рис. 2) на границе воздушной и твердой среды с полостью (рис. 3). Некоторая информация о достоверности применяемого численного метода приведена в следующих работах [1–2, 4–5, 9–10]. В точке В приложено нормальное нестационарное воздействие σy , которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t / ∆t) изменяется линейно от 0 до P, при 11 ≤ n ≤ 20 изменяется P до 0 (P = σ0, σ0 = - 0,1 МПа). Граничные условия для контура ABCJKI при t > 0 missing image file. Отраженные волны от контура ABCJKI не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 200. На границе IHGFEDC приняты условия непрерывности перемещений.

missing image file

Рис. 2. Воздействие в виде
треугольного импульса

Для области ABCDEFGHI приняты следующие исходные данные:

H = ∆x = ∆y; ∆t = 0,147×10 -4 с; Cp = 340 м/с; ρ = 1,22 кг/м3.

Для области IHGFEDCJK приняты следующие исходные данные:

H = ∆x = ∆y; ∆t = 0,125×10 -4 с; Cp = 400 м/с; Cs = 250 м/с; ρ = 1,469×10 3 кг/м3.

missing image file

Рис. 3. Постановка задачи о сосредоточенном упругом импульсном воздействии
на границе воздушной и твердой среды с полостью в виде прямоугольника
(соотношение ширины к высоте один к пятнадцати)

missing image file

Рис.4. Изменение упругого нормального напряжения ̅σx во времени t / ∆t в точке B1:
1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью
(соотношение ширины к высоте
один к пятнадцати)

В расчетах принимается минимальный шаг по времени, то есть ∆t = 0,125×10 -4 с. Исследуемая расчетная область имеет 20862 узловых точек. Решается система уравнений из 83448 неизвестных. На рис. 4-7 представлено изменение нестационарного упругого нормального напряжения ̅σх ( ̅σх = σх / |σ0| ) во времени n в точках B1-B4 (рис. 3) находящихся около границы воздушной и твердой среды (расстояние между точками: B1 и B2 равно H; B2 и B3 равно H; B3 и B4 равно H).

missing image file

Рис. 5. Изменение упругого нормального напряжения ̅σx во времени t / ∆t в точке B2:
1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте
один к пятнадцати)

missing image file

Рис.6. Изменение упругого нормального напряжения ̅σx во времени t / ∆t в точке B3:
1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте
один к пятнадцати)

missing image file

Рис.7. Изменение упругого нормального напряжения ̅σx во времени t / ∆t в точке B4:
1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте
один к пятнадцати)

Выводы

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пятнадцати, уменьшает величину упругого растягивающего нормального напряжения ̅σx в 7,833 раза.

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пятнадцати, уменьшает величину упругого сжимающего нормального напряжения ̅σx в 16,0 раз.