Математическое моделирование процессов деформирования материалов (ковки, прокатки, резания и др.) с целью их усовершенствования сопровождается расчетом полей деформаций и напряжений в обрабатываемом изделии. Задача расчета деформирования однородных областей с помощью вариационного принципа скоростей и напряжений исследовалась В.Л. Колмогоровым и его учениками в работах [4, 5, 6]. В [1 ,2] построены варианты вариационного принципа для неизтормических процессов и для случая несимметричного тензора напряжений. В работе [3] приведен пример расчета напряженного состояния цилиндра с каналом.
Рассмотрим задачу о деформировании кусочно-неоднородной заготовки, занимающей объем V и состоящей из K подобластей 
. Решение задачи проведем в лагранжевых переменных, так как рассматриваются большие деформации. В каждой подобласти введем локальную сопутствующую систему координат. Будем обозначать лагранжевы локальные переменные трехмерным вектором 
с компонентами 
. Текущие координаты точек подобласти относительно неподвижной системы отсчета будем обозначать 
. Используем суммирование по умолчанию по повторяющимся индексам. Символ в скобках показывает номер подобласти. Суммирование по нему указывается явно. Поэтому номер подобласти располагаем где удобнее – вверху или внизу.
Будем считать, что материал подобластей однородный, изотропный, несжимаемый и выполняются гипотезы о подобии девиаторов напряжений и деформаций. Тогда свойства материала описываются функциями инвариантов:
(1)
Здесь 
– интенсивность скоростей сдвига, 
– интенсивность касательных напряжений, 
компоненты девиатора тензора скоростей деформации, 
– компоненты девиатора тензора напряжений, 
– первый инвариант тензора скоростей деформаций, 
– первый инвариант тензора напряжений, m – номер подобласти.
Предполагается, что поле скоростей 
и поле напряжений 
в пределах каждой подобласти непрерывны.
На внешней поверхности S области V заданы граничные условия:
на части поверхности 
заданы скорости 
;
на части поверхности Sf заданы внешние усилия 
, где 
– компоненты вектора нормали к поверхности Sf ;
на части поверхности Ss задана сила трения 
, 
, 
– скорость скольжения, 
– единичный вектор в направлении скорости скольжения.
Звездочкой отмечены заданные функции.
Для поверхностей 
выполняются соотношения: 
и 
, 
.
В случае неоднородной области на поверхностях контакта подобластей рассматриваются два варианта. Первый: прилипание – скорости непрерывны, для усилий выполняются условия равновесия. Пусть соприкасаются подобласти с номерами p и q. Тогда выполняются соотношения
,
. (2)
Здесь 
– компонента скорости по нормали к поверхности подобласти, 
– касательная компонента скорости, 
– компонента усилия на нормаль к поверхности подобласти, 
– компонента усилия, касательная к поверхности подобласти 
.
Второй – скольжение поверхностей. Поверхность скольжения подобластей 
и 
обозначим 
. В этом случае нормальные компоненты скоростей совпадают, так как тело сплошное, для нормальных компонент усилий выполняются условия равновесия:
, 
. (3)
Разность касательных компонент скоростей равна скорости скольжения
, (4)
(номер в скобках совпадает с номером поверхности) разность касательных усилий определяется силой трения
, (5)
где 
единичный вектор, направленный параллельно скорости скольжения 
.
Для решения задачи используется вариационный принцип скоростей и напряжений [1, 2, 3]. Решение рассматриваемой краевой задачи может быть получено путем решения вариационного уравнения, записанного для произвольного фиксированного момента времени t, выражающего принцип виртуальных скоростей и напряжений. В случае неоднородной области имеет вид
(6)
где
.
Суммирование в 
ведется по парам скользящих поверхностей p и q.
Приближенное решение в произвольный момент времени t по предложенному методу следует искать с помощью принципа (6) в виде линейной комбинации функций координат
(7)
Здесь 
, 
система линейно-независимых функций лагранжевых координат. Функции выбраны так, что 
и 
являются виртуальными. Коэффициенты 
, 
– варьируемые при фиксированном t функции времени; (в правой части (6) по повторяющимся индексам i, j суммирование не производится).
После подстановки (7) в (6) и варьирования, уравнение (6) превратится в систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно 
, которую дополняем условиями непрерывности скоростей и равновесия (2) или (3, 4) и условиями трения (5).
Рассмотрим классическую задачу обработки металлов давлением – ковку параллелепипеда плоскими штампами, которая рассматривалась неоднократно в аналогичной постановке [1–4]. Схема задачи показана на рис. 1. Показаны также глобальные оси координат и локальные оси для третьей области.
Для простоты будем считать, что заготовка состоит из прямоугольных слоев размера 
постоянной толщины 
(
не зависит от y1, y2, но может меняться от слоя к слою). Предполагается, что в процессе обжатия все слои остаются прямоугольными, но могут деформироваться в усеченные пирамиды.
Пусть нижний штамп неподвижен, а верхний перемещается поступательно вниз со скоростью 
. Предполагается, что на контакте с инструментом превалирует зона скольжения Ss; зона прилипания SV, примыкающая к центру нижнего и верхнего оснований, практически отсутствует (
). Предположим, что материал параллелепипеда обладает известными реономными свойствами, на контактной поверхности со штампами действует некоторый известный закон трения. Боковая поверхность параллелепипеда – это поверхность типа Sf, на которой 
.
Рис. 1. Схема напряженно-деформированного состояния при осадке многослойного параллелепипеда: 1 – верхний штамп; 2 – заготовка; 3 – нижний штамп
Расчеты проводились для модели материала, для которой функции (1) имеют вид
, 
. (8)
(бингамовский пластик).
Закон трения выбран по Зибелю [1,2]
. (9)
Очевидно, что закон трения (9) не зависит от скорости скольжения и не имеет обратной функции. В выражениях (8) и (9) 
известные величины: предел текучести при чистом сдвиге, коэффициенты «вязкости» и трения соответственно.
Будем предполагать, что физические координаты точек элемента имеют вид
(10)
Такое представление перемещений позволит учесть возникающую в процессе деформации бочкообразность изделия. Вектор перемещений 
связан с вектором 
соотношениями
После подстановки (7, 8, 10) в (6) и варьирования получим систему относительно <<gorskiv69.wmf>> переменных. Часть переменных связаны и их можно исключить из системы, понизив порядок.
Считаем, что перемешивания материала между слоями заготовки нет, и поэтому уравнение неразрывности выполняется для каждого слоя. В лагранжевых переменных уравнение неразрывности примет вид
,
(11)
Предполагается, что слои деформируются без проскальзывания. Боковая внешняя поверхность заготовки непрерывная (без уступов). Следовательно, на боковой грани должны выполнятся соотношения
Отсюда получаем связь переменных 
и 
(12)
При деформировании заготовки слои не отделяются друг от друга. Поэтому должно выполняться равенство, связывающее переменные 
и 
, 
,
и 
(13)
Используя соотношения (12, 13) исключим из системы уравнений переменные
, 
, 
и 
.
Чтобы исключить переменные 
введем дополнительные переменные 
. Используя условие неразрывности (11) исключим из системы переменные 
, 
. Переменная 
сохраняется. В итоге вектор переменных будет содержать следующие неизвестные функции
,
всего 
неизвестных. В итоге получим нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенную относительно старших производных, которую коротко можно записать в виде
Здесь 
– матрица коэффициентов при вторых производных, блочная. Блоки трех-диагональные.
В случае однородной среды типа (8) можно ввести относительное время по формуле
.
Очевидно, что при такой замене в модели будет только один существенный параметр – относительный коэффициент вязкости m. В случае неоднородной среды относительное время выберем из соотношения
,
где 
– максимальное значение 
, а 
– минимальное значение 
.
Рис. 2. Изменение параметров
Описанный алгоритм был опробован на модельном примере. Расчеты проводились при следующих начальных условиях:
(нижнее основание неподвижно) 
,
где 
– заданная скорость бойка в момент касания.
Относительные значения параметров
, 
, 
.
Результаты решения представлены на рис. 2. Используется относительное время.
Такое соотношение параметров можно объяснить следующим образом: 
меняется меньше, чем 
, так как влияет сила трения на поверхности контакта с инструментом; изменение 
существенно меньше, так как сказываются силы инерции.
На рис. 3 тонкой линией показана исходная форма заготовки, жирной – форма после деформации. Пунктиром показано разделение заготовки на слои.
Рис 3. Изменение формы заготовки к моменту времени t=0,05 по сравнению с начальной формой
Рассмотренный вариант вариационного принципа скоростей и напряжений дает возможность учитывать неоднородность материала заготовки. Использованная форма представления перемещений позволяет учесть бочкообразность заготовки в процессе деформирования, что и продемонстрировано на примере расчета. Более точные расчеты могут быть выполнены с использованием более высокого порядка аппроксимации.