Рассмотрим задачи синтеза систем, решение которых математически описывается конечным вектором с компонентами, принимающими значение из некоторых в общем случае произвольных множеств x = (x₁ , x₂, ... , x_i , ... , x_n). Структуру решения можно однозначно описать, задав набор активных компонент вектора решения номеров активных координат вектора решения S = {q , ... ,p}. Пусть Ω^к_мф, Ω^π_мф множества простых решений системы (А_х - b)Т (А_х - b) ≤ Δ и системы А_х = b соответственно. Тогда справедливы следующие свойства:
1. Множеству Ω^к_мф не принадлежат структуры S*, содержащие в качестве подмножества некоторую структуру из Ω^π_мф.
2. Если S₀ ∈ Ω^π_мф и все структуры, получаемые исключением из S₀ одного элемента, недопустимы, то S₀ ∈ Ω^к_мф. Обозначив через
prASb ортогональную проекцию вектора b на образ матрицы A_S и через ρ(b, A_S) - расстояние от b до образа матрицы AS. Заменим вектор b на вектор prAS b и уменьшим допуск Δ на величину ρ₂(b, A_S). В результате получим ((А_Sх_S - prAS b)Т (А_Sх_S - prA_S b) ≤ (Δ - ρ₂(b, A_S)).
3. Множеству Ω^к _мф принадлежат все неизбыточные структуры S^# решений неравенства (3), где S - допустимая структура, полученная исключением одного элемента из структуры S₀∈Ω^Л_мф.
4. Если структура S₀∈Ω^к_мф, то она удовлетворяет свойствам 2 или 3.
Укажем алгоритм решения задачи синтеза неизбыточных структур, в которой условия допустимости структуры S вектора х оказываются частично линейными только для некоторых из структур, т.е. алгоритм решения задачи синтеза неизбыточных структур с избирательными ограничениями.
Повышение эффективности поиска в предлагаемом алгоритме достигается в результате учета отраженных в свойствах 1 и 2 решений рассматриваемой задачи, а также на основе учета специфики используемых в ней условий допустимости.
Предлагаемый алгоритм сводится к следующей совокупности действий.
1. Выделяем из множества Ω всех возможных структур вектора x решений рассматриваемой задачи его подмножество Ω^чл частичных структур. При этом в качестве признака принадлежности структуры к множеству Ωчл в рамках задачи синтеза решаем частичную задачу синтеза неизбыточных структур на множестве Ωчл посредством одного из методов. В результате находим множество Ω^чл _мф всех простых частичных структур решаемой задачи. Оно, согласно свойству 3, совпадает с множеством простых частичных структур Ω^чл_мф, выделенных из множества Ω и является подмножеством множества всех искомых неизбыточных структур Ωмф. Исключаем из дальнейшего рассмотрения все структуры, содержащие наборы S∈Ω^ч_лмф в качестве своего подмножества, а также все структуры из Ω_чл как уже проанализированные. Из структур, оставшихся не исключенными, формируем множества Ω_k, состоящие из одинакового числа элементов k=card(S), S∈Ωk. Присвоим индексу k его максимальное значение k= k_max. 2. Анализируем допустимость наборов S ∈Ω_k. Все обнаруженные допустимые наборы S включаем в множество Ω^k _Д. Все обнаруженные недопустимые наборы S включаем в множество Ω^k _н. Если в множестве Ω^k
Д, k=1,2,...,kmах существует набор Sº, все подмножества которого - недопустимые наборы S∈ Ω^k-1 _н, то набор S0 включаем в множество простых наборов Ω_мф. При этом анализу не подвергаем как заведомо недопустимые наборы S, для которых в Ω^k _н, k=1, 2, .., k_mах либо в Ω_мф существует набор, включающий S в качестве своего подмножества.
После завершения анализа всех наборов S∈Ω_k уменьшаем k на единицу и переходим к п. 2.
3. Поиск заканчиваем, когда для некоторого k все S∈Ω_k оказались недопустимыми.
Проверка допустимости структуры S в рамках рассматриваемой задачи сводится к контролю выполнимости для данной структуры S неравенства (А_sx_s - b)Т (А_sx_s - b) ≤ Δ Учитывая, что А_sx_s - b есть невязка системы А_sx_s=b, можно говорить, что структура S является допустимой, если минимальная длина невязки системы А_sx_s =b не больше, чем Δ .
Таким образом, предложенный алгоритм синтеза неизбыточных структур систем управления на основе учет специфических свойств избирательных ограничений позволяет сократить объем вычислений при выполнении процедуры их проверки.