Наша задача – показать, что при вращательном движении квантовой частицы возможно существование и распространение вихревых (торсионных) волн плотности вероятности. Это можно доказать, решая нерелятивисткое уравнение Шредингера в представлении плотности вероятности.
Обычно используется гидродинамическое представление уравнения Шредингера в виде [1-4]:
. (1)
(2)
где 
– макроскопическая скорость частицы, 
– плотность вероятности, m – масса частицы, 
– постоянная Планка, U* – потенциальная энергия, в которую по необходимости включают электромагнитные составляющие. Возможен учет и спиновых взаимодействий [5]. Эти уравнения неоднократно получались, начиная с Е. Маделунга и Д. Бома [1], путем представления волновых функций в квазиклассическом виде.
Уравнение для плотности вероятности из уравнения Шредингера можно получить и другим путем, если положить [6]:
;
.
Тогда имеем, как и прежде, закон сохранения плотности вероятности (1) и уравнение движения в виде:
. (3)
Это уравнение отличается от уравнения (20). Если положить, что всегда имеет место безвихревое движение поля плотности вероятности, т.е.
,
то из уравнения (3) получается уравнение (2).
Таким образом, в гидродинамическом представлении с помощью уравнений (1) и вида (2) отсутствует возможность описания вихревых движений поля плотности вероятности квантовых частиц. Систему уравнений (1), (3) будем называть в отличие от гидродинамического представления представлением плотности вероятности (ранее мы называли его квазигидродинамическим представлением [6]).
Постановка задачи, решение уравнений
Пусть квантовая частица совершает вращательное движение с угловой скоростью 
и радиусом R. Используем цилиндрическую систему координат, тогда орбитальная составляющая скорости 
и пусть частица двигается вдоль оси z с макроскопической скоростью 
.
Тогда уравнение (1) запишется в виде:
. (4)
Решение этого уравнения представим таким образом:
. (5)
Первый интеграл уравнения (3), учитывая постоянство скоростей 
и 
, запишется в виде:
. (6)
Обозначим:
. (7)
Это можно сделать в силу того, что полная энергия квантовой частицы состоит из макроскопической и квантовой составляющей энергий [6]. Аддитивность составляющих полной энергии можно видеть и в правой части уравнений (3) и (6).
Уравнения (6) с учетом (7) и (5) будем иметь вид:
(8)
Нам необходимо найти волновое решение этого уравнения. Будем решать его методом последовательных приближений. Положим, что 
во всех коэффициентах, входящих в уравнение. Тогда получится уравнение:
. (9)
Решение этого уравнения найдено в [6] и имеет вид:
(10)
Это решение справедливо при любом значении 
, в том числе и ϕ. Подставляя решение (10) в (8), получаем алгебраическое трансцендентное уравнение:
(11)
Формулы (10) и (11) описывают решения дифференциальных уравнений (4) и (8).
Обсуждение результатов
Перепишем решение (10) в другом виде:
. (12)
Здесь 
– частота осцилляций волны плотности вероятности. Имеем линейный закон дисперсии:
. (13)
Вектор макроскопической скорости и волновой вектор не совпадают по направлению. Частота осцилляций волны является суммой осцилляций орбитального и поступательного движений. Решение (12) должно удовлетворять условию периодичности в любой момент времени и в любой точке z. Тогда
, 
(14)
Орбитальный радиус поля плотности вероятности квантуется с равноудаленными расстояниями между окружностями:
. (15)
С учетом (15) уравнение (11) запишется в виде:
. (16)
Уравнение (16) обеспечивает синхронизацию угловой переменной с текущим временем в каждой точке на оси z. Найдем из уравнения (16) угловую скорость вращения поля плотности вероятности j.
(17)
Орбитальная скорость вращения поля плотности вероятности равна:
. (18)
Можно видеть, что орбитальная скорость вращения поля вероятности в любой точке осциллирует в пределах от 
до 
.
Квантовое уравнение в виде (8) не зависит от массы частицы. Стало быть, это уравнение может описывать и движение безмассовых квантовых частиц, имеющих линейный закон дисперсии, в частности, длинноволновых фононов, фотонов и др. частиц. Благо, что в нерелятивистких уравнениях не имеют значения величины скорости для безмассовых частиц. В частности, в [6] было показано, что плотность вероятности и плотность потока вероятности с точностью до обозначений описывают плотность электромагнитной энергии для плоских электромагнитных волн в вакууме и вектор Умова – Пойтинга. В этом можно убедиться, используя формулы (12) и (13). Нужно положить 
и j равными нулю и 
, где c – скорость света. Для квантовомеханического описания движения безмассовых частиц (или частиц с исчезающее малой массой покоя) используются квантовый импульс и макроскопическая скорость. Однако континуум таких невзаимодействующих частиц, например, фотонов, описывает различные электромагнитные волны в зависимости от величины волнового вектора или длины волны.
Использование скорости света для безмассовызх частиц в нерелятивисткой квантовой механике не приводит к противоречиям. Скорость света присутствует и в классических уравнениях Максвелла, определяя скорость распространения электромагнитных волн в вакууме. Можно предположить, что уравнение (8) может описывать квантовые свойства пучков света, в частности, аксиконов [7,8], поскольку излучение в виде концентрических окружностей (15) во фронтальной плоскости напоминает обыкновенные аксиконы.
Для вихревого движения плотности поля вероятности частиц с массой покоя отличной от нуля необходимо выполнение условий:
,
где с – скорость света. Составляющие волнового вектора можно определять следующим образом:
, 
, (19)
где 
, 
– квантовые составляющие энергии орбитального и поступательного движения. Эти энергии отличаются от полных энергий согласно [6] и могут быть измерены отдельным способом [9]. Для оценок воспользуемся тем обстоятельством, что в традиционной квантовой механике полная энергия свободных квантовых частиц отождествляется с её квантовой величиной, что завышает значения волновых векторов. Положим:
; 
. (20)
Например, если иметь дело с «холодными» нейтрино, масса покоя которых оценивается как 10-33г [10], то величина 
, где 
– длина волны, при скоростях частиц 
см/c 
см. Эта оценка показывает, что континуум невзаимодействующих «холодных» нейтрино может создавать, в том числе, макроскопические вихревые (торсионные) поля плотности вероятности.
Заключение
Система квантовых уравнений движения с физическими переменными (1), (3), на наш взгляд, более адекватно отражает исходное уравнение Шредингера, чем система уравнений (1), (2), поскольку позволяет описывать вихревые поля плотности вероятности квантовых частиц. В нерелятивистском приближении для частиц с линейным законом дисперсии таких как: низкочастотные фононы, фотоны, «холодные» нейтрино возможны вихревые (торсионные) поля плотности вероятности. Существование вихревых полей оптических фотонов в виде аксиконов это реальность [7,8].