Рассмотрим операторное уравнение второго рода с параметром λ
. (1)
Здесь A оператор, действующий в банаховом пространстве E, полуупорядоченном конусом K; f – заданный элемент из пространства E.
Теорема 1. Пусть A – линейный положительный оператор и для некоторого элемента u0 > θ выполняется неравенство
, (2)
где 0 < q < λ, а элемент f ≥ θ удовлетворяет неравенству
. (3)
Пусть конус K нормальный. Тогда при всех f, удовлетворяющих неравенству (3), уравнение (1) имеет в K решение x*, к которому сходятся последовательные приближения
(4)
при любом начальном приближении x0 ≥ θ, удовлетворяющем неравенству x0 ≤ au0 (a > 0). Кроме того, для решения x* уравнения (1) справедливы оценки
.
Если в условиях теоремы 1 для некоторого элемента 
выполняются неравенства 
, 
, где 
, 
, то для решения x* уравнения (1) справедлива оценка
.