Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,564

SIMULATION OF SURFACES IN THE METHOD OF TWO IMAGES IN DESCRIPTIVE GEOMETRY

Vertinskaya N.D. 1
1 Usolye-Sibirskoye
The article considers the possibility of modeling-one correspondence surfaces of the second order in the plane with projection apparatus as two bundles of lines.
surface modeling method of two images

Рассмотрим моделирование поверхности на плоскости, используя различные аппараты проецирования и основные требования моделирования для получения в качестве моделей взаимно однозначных соответствий [1].

Поверхность Ф2 второго порядка в методе двух изображений, т.е. когда аппаратом проецирования являются две связки прямых, на плоскости моделируется (2÷2) – значным квадратичным соответствием ver1.wmf, устанавливаемым между горизонтальными ver2.wmf и фронтальными ver3.wmf проекциями точки ver4.wmf. Здесь дву–двузначное соответствие означает, что ver5.wmf, а квадратичное – прямой a1 горизонтальной проекции ставится в соответствие коника ver6.wmf фронтальной плоскости проекций.

Поверхность ver7.wmf порядка n в методе двух изображений моделируется (n÷n) – значным соответствием n-го порядка, устанавливаемом между полями проекций. Отсутствие законченной теории многозначных соответствий не позволяет по такой модели поверхности исследовать ее свойства. Поэтому возникает актуальная проблема начертательной геометрии и алгебраической геометрии, связанная с получением в качестве модели поверхности взаимно однозначного соответствия [2].

Рассмотрим условия моделирования поверхностей ver9.wmf порядка n в методе двух изображений (1÷1) – значными соответствиями.

Чтобы поверхность ver11.wmf порядка ver12.wmf моделировалась на плоскости (1÷1) – значным соответствием, необходимо подбирать соответствующий аппарат проецирования. Например, квадрика Ф2 моделируется (1÷1) – значным соответствием, если центры вспомогательного проецирования инцидентны квадрики (стереографическое проецирование). При этом соответствия, получаемые на плоскости изображения, могут быть инволюционными или не инволюционными, но обязательно центральными.

Поверхности высших порядков ver13.wmf моделируются (1÷1)-значным соответствием, если они имеют не менее двух (n–1)-кратных точек, в которые помещаются центры стереографического проецирования. Модели таких поверхностей, получаемые в методе двух изображений, будут центральными и нелинейными. Поверхности ver14.wmf для ver15.wmf моделируются (1÷1) – значными соответствиями, если в качестве аппаратов проецирования используются связки прямых, конгруэнции прямых Кг(1,k) первого порядка и k класса или специальные комплексы прямых Km(n).

Все возможные варианты сочетаний проецирований составляющих аппараты отбражения в методе двух изображений сведены в табл. 1 [3].

Поверхность Ф2 второго порядка в методе двух изображений, т.е. когда аппаратом проецирования являются две связки прямых, на плоскости моделируется (2÷2) – значным квадратичным соответствием ver16.wmf, устанавливаемым между горизонтальными ver17.wmf и фронтальными ver18.wmf проекциями точки ver19.wmf (рис. 1). Здесь дву–двузначное соответствие означает, что ver20.wmf, а квадратичное – прямой a1 горизонтальной проекции ставится в соответствие коника ver21.wmf фронтальной плоскости проекций. A1~ A2, ver24.wmf, ver25.wmf.

Таблица 1

Первое вспомогательное проецирование

Второе вспомогательное проецирование

Основное проецирование

Примечание

1

Связка (S1)

Связка (S2)

Связка (S)

Точки S1, S2, S коллинейны

2

Связка (S1)

Конгруэнция Кг(1, k)

Связка (S)

Точки S1, S2, S ин-цидентны фокальной прямой

3

Конгруэнция Кг(1, k)

Конгруэнция Кг(1, k)

Связка (S)

Фокальные прямые конгруэнций совпа-дают, точка S им инцидентна

vert1.tiff

Рис. 1

Далее рассмотрим моделирование сферы Ф2 при помощи стереографического проецирования из центров S1 и S2, причем ver26.wmf, на плоскость проекций П. При этом каждая точка ver27.wmf, за небольшим исключением, будет моделироваться парой соответственных точек A1~ A2 инцидентных прямой ver30.wmf (рис. 2), где ver31.wmf Исключение составляют точки S1 и S2. При перемещении точки A по сфере Ф2, когда точка ver32.wmf из центра S1 будет проецироваться на плоскость P множеством прямых, образующих касательную плоскость ver33.wmf к сфере Ф2 в точке S1, то есть точка ver34.wmf проецируется на плоскость P из точки S1 прямой ver35.wmf. Из центра S2 точка ver36.wmf проецируется в точку ver37.wmf, значит моделью точки ver38.wmf на плоскости P будет прямая ver39.wmf и точка F1, аналогично – моделью точки ver40.wmf из центра S2 на плоскость P будет прямая ver41.wmf, а из центра S1 точка ver42.wmf Нарушение взаимно однозначного соответствия при стереографическом проецировании сферы Ф2 на плоскости P получается при проецировании точек ver43.wmf и ver44.wmf из центров проецирования S1 и S2 соответственно при этом прямые ver45.wmf и ver46.wmf, будут исключенными (фундаментальными) прямыми этого отображения.

vert2.tiff

Рис. 2

Прямая (S1, S2) является двойной прямой пространства, так как она проецирует две точки S1 и S2, а точка F1, двойной точкой плоскости P. В рассматриваемом случае, сфера Ф2 касается плоскости П в точке B, которая из центров проецирования S1 и S2 проецируется на плоскость P в точки B1 и B2. Они совпадают с точкой B, то есть ver47.wmf, полученная точка ver48.wmf то же двойная точка плоскости P. Если бы сфера Ф2 пересекала плоскость P, то на плоскости P была бы целая окружность двойных точек, такая окружность называется инвариантной кривой линией преобразования, а точка ver49.wmf инвариантная точка преобразования или модели сферы Ф2 на плоскость P.

Все окружности связки (S1) окружностей сферы Ф2 проецируются из центра S1 на плоскость П в прямые, так как связка (S1) плоскостей, несущая связку (S1) окружностей сферы Ф2, пересекает плоскость П по прямым ver50.wmf. Значит двупараметрическое множество окружностей связки (S1) окружностей сферы проецируется на плоскость П в двупараметрическое множество прямых. Связка (S1) окружностей сферы Ф2 из центра S2 проецируется на плоскость P связкой (F1) окружностей ver51.wmf, так как все конические поверхности ver52.wmf, проецирующие окружности ver53.wmf инциденты прямолинейной образующей (S1S2), где ver54.wmf. Любая окружность ver55.wmf сферы Ф2 не инцидентная центрам S1 и S1 будет моделироваться на плоскость P парой окружностей ver56.wmf и ver57.wmf, получаемых как результат пересечения конических поверхностей ver58.wmf и ver59.wmf с плоскостью P. Пучок окружностей ver60.wmf сферы Ф2 будет моделироваться на плоскости P прямыми пучка (F1) прямых, получаемых в пересечении пучка (S1, S2) плоскостей, несущих пучок (S1, S2) окружностей сферы Ф2, с плоскостью P.

При моделировании поверхности на плоскости или на другой поверхности необходимо, чтобы существовала взаимосвязь оригинала (поверхности Ф2), аппарата проецирования (двух связок (S1) и (S2) прямых) и модели. В рассмотренном примере эта связь организована в расслоении поверхности Ф2 в пучке (S1, S2) плоскостей. Соответствия порождаемые на лучах пучка (F1) прямых, в общем случае, будут параболического, гиперболического или эллиптического типов. В нашем примере только на луче ver61.wmf будет параболическое соответствие между проекциями точек A1~ A2, на остальных лучах пучка (F1) прямых будет эллиптические соответствия. Моделью сферы Ф2 на плоскость P будет инволюция, однозначно определяемая центром ver64.wmf и инвариантной окружностью ver65.wmf, если точка ver66.wmf, где O – центр инвариантной окружности в остальных случаях моделью сферы Ф2 на плоскости проекций П будет взаимно однозначное квадратичное соответствие T2, так как, если на плоскости П взять точку A1, отнесенной к первичной проекции точки ver68.wmf и пусть точка A перемещается по прямой ver69.wmf, которая из центра S1 будет проецироваться плоскостью ver70.wmf, пересекающей сферу Ф2 по окружности ver71.wmf, которая из центра ver72.wmf проецируется конической поверхностью ver73.wmf, пересекающей плоскость проекции P по окружности ver74.wmf соответствующей прямой ver75.wmf в соответствии T2. Значит, точка A2~A1 будет перемещаться по окружности ver78.wmf. Соответствие T2 будет инволюционным, если плоскость проекций P будет биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного касательными плоскостями ver79.wmf и ver80.wmf к сфере в точках ver81.wmf и ver82.wmf, которое обозначается ver83.wmf.

На рассмотренных выше примерах четко прослеживается тесная связь типа модели оригинала от взаимного положения аппарата проецирования относительно оригинала и плоскости проекции, а так же расположения плоскости проекций относительно оригинала. Наиболее простые модели оригиналов являются инволюционными соответствиями.

Далее, в качестве примера, рассмотрим моделирование эллипсоида вращения ver84.wmf при помощи стереографического проецирования из центров S1 и S2, инцидентных поверхности эллипсоида вращения ver85.wmf, на плоскости проекций P совмещенной с его плоскостью симметрии перпендикулярно прямой (S1S2). Рассмотрим аналитическое моделирование эллипсоида вращения, заданного каноническим уравнением:

ver86.wmf, (1)

центр, которого помещен в начало координат. Поэтому уравнение инвариантной окружности ver87.wmf, получается подстановкой в (1) значения z=0:

ver88.wmf. (2)

Центры проецирования (вершины эллипсоида) имеют координаты ver89.wmf. В этом случае центром преобразования является точка

ver90.wmf.

Покажем, что моделью эллипсоида вращения ver91.wmf является инволюционное квадратичное соответствие – инверсия. Возьмем на эллипсоиде ver92.wmf некоторую точку A(2,1,6) и запишем уравнение прямой (S1 A):

ver93.wmf. (3)

Найдем точку A(–6,–3) пересечение прямой (S1 A) с плоскостью P, подставив в (3) значение ver94.wmf. Аналогичными выкладками найдем координаты точки ver95.wmf проекции точки A из центра S2. Точки A1 и A2 соответственны в полученном преобразовании и коллинейны с центром преобразования F1. Прямая ver96.wmf пересекает инвариантную окружность ver97.wmf в двойных точках ver98.wmf, которые с точками A1,A2 составляют гармоническую четверку точек, то есть ver99.wmf, что в координатной форме запишется так:

ver100.wmf, (4)

где ver101.wmf Координаты точек D и ver103.wmf находим, решая систему уравнений:

ver104.wmf (5)

где ver105.wmf – уравнение инвариантной окружности ver106.wmf – уравнение прямой ver107.wmf Имеет координаты точек:

ver108.wmf

Подставляя координаты точек ver109.wmf в (5) и выполняя упрощения, получим формулы прямого преобразования:

ver110.wmf (6)

Таким образом, мы имеем на плоскости P квадратичное, инволюционное преобразование – инверсию.

Если точка A1(–6,–3) будет перемещаться по прямой a1:

ver111.wmf (7)

то, решая совместно (7) и (6), получим уравнение окружности на которой лежит точка ver112.wmf (–ver113.wmf; – ver114.wmf), соответственная точке A1. Этот результат говорит о том, что любая коника эллипсоида вращения ver115.wmf, инцидентная центру S1 (или S2), проецируется на плоскость P в окружность.

Как было отмечено раньше, чертеж модулируемой поверхности должен быть обратимым. Это значит, что по одной проекции, например, A1 точки A поверхности можно построить вторую проекцию A2. На полученной модели эллипсоида вращения ver116.wmf это возможно, так как имея проекцию A1, строим ей инверсную точку A2 относительно инвариантной окружности d2.

Вывод

Таким образом, имея модель поверхности ver117.wmf, можно решать любые позиционные задачи. Например, пусть требуется построить точки пересечения поверхности эллипсоида вращения ver118.wmf с прямой ver119.wmf. На плоскости P эллипсоид ver120.wmf моделируется (задается) инверсией ver121.wmf а прямая ver122.wmf задается свободными проекциями ver123.wmf(рис. 3).

vert3.tiff

Рис. 3

Отнесем прямую ver124.wmf к полю ver125.wmf и построим ее образ ver126.wmf в инверсии ℑ2 . Точки пересечения окружности ver127.wmf с прямой ver128.wmf суть вторичные проекции L2,M2 точек пересечения прямой ver129.wmf с эллипсоидом вращения ver130.wmf. Затем строим первичные проекции L1,M1 точек пересечения, как образов точек L2,M2 в инверсии ℑ2. Здесь инверсия ver131.wmf является моделью для множества эллипсоидов вращения, имеющих уравнения вида:

ver132.wmf (15)

где c – любое положительное число.