Поиск точных решений стационарного уравнения Шрёдингера является пограничной областью между физикой и математикой. Как правило, физикам известен очень ограниченный набор таких решений. Однако, такие решения могут быть найдены для многих систем электромагнитного и сильного взаимодействий, таких как молекулы, атомы и кварконии. Для поиска этих решений выделим несколько классов потенциалов, обладающих конформной симметрией, и найдём решения для этих классов. Затем, приспособим найденные решения к конкретным 2-х и 3-х параметрическим потенциалам квантовых систем, хорошо известных в физике электромагнитного и сильного взаимодействий.
Как известно [1], уравнение Шрёдингера в координатном представлении
(1)
после введения цепочки лестничных пары лестничных операторов
сводится к нелинейному операторному уравнению Риккати для операторной функции fn = fn(x) в координатном представлении:
(2)
Цепочка операторов {En} образует спектр оператора гамильтона 
.
Для простоты, не будем писать шляп над операторами.
Цепочка операторов {Hn} факторизуется
Для нахождения спектра En рассмотрим одномерное движение fn = fn(q) и построим I класс точно решаемых задач для потенциалов
(3)
где m – произвольное действительное число; Q = Q(x) – некоторая функциональная форма, которую необходимо задать.
Будем искать точное решение уравнения (2) в виде
(4)
где αn, βn – цепочки функций, подлежащих определению; a, b, c – известные константы.
Поставленная задача требует нахождения цепочек αn, βn, En, в виде функций констант A0, B0, U0, a, b, c.
Собирая коэффициенты при одинаковых степенях Q в уравнениях (3)–(4), получим следующие уравнения для неизвестных α0, β0, E0:
(5)
Операторы цепочки находятся по рекуррентной формуле
(6)
Построим первый оператор цепочки (2)
Собирая коэффициенты при одинаковых степенях Q, построим систему уравнений для коэффициентов, подлежащих определению.
(7)
где
Для уравнений цепочки с индексом n получим
(8)
Из (8) следуют тогда решения
(9)
где
(10)
Решение уравнения (9) даёт
(11)
где знак sk = ±1, 
устанавливается с учётом условий максимальности уровней энергии при факторизации.
Из (11) следует, что при k = 0
(12)
Тогда
(13)
то есть, 
Продолжая эту процедуру, получим
(14)
Продолжая эту процедуру по индукции, получаем
(15)
Упорядоченный дискретный спектр En будет существовать только при sk = s.
Тогда из выражений (15) следует
(16)
(17)
(18)
I-1. Линейный гармонический осциллятор.
Пусть m = 1, U0 = B0 = 0, a = 0, b = 0, c = 1.
Потенциал линейного гармонического осциллятора имеет вид:
(19)
Отсюда следует
(20)
Из (19) видно что s = –1 и, следовательно,
(21)
Подставляя в (20) 
получаем стандартный спектр.
(22)
I-2. Нелинейный осциллятор.
Рассмотрим потенциал
(23)
m = 2, U0 = B0 ≠ 0;
a ≠ 0; b = 0; c = 1.
Полагая 
, 
, получаем из (18), (19) спектр нелинейного осциллятора, совпадающий с [2] с точностью до первого порядка теории возмущений (второй член в (22), a << 1).
(24)
C более высокими порядками ТВ рассматриваемый спектр может совпасть при отличных от нуля коэффициентах A0, B0, U0, b = 0, a << 1.
I-3. Потенциал Леннарда – Джонса.
Молекулярный потенциал Леннарда – Джонса имеет вид:
(25)
То есть, m = –6; A0 = 4ε0σ12; B0 = 4ε0σ6; U0 = 0; a, b, c ≠ 0.
(26)
