Поиск точных решений стационарного уравнения Шрёдингера является пограничной областью между физикой и математикой. Как правило, физикам известен очень ограниченный набор таких решений. Однако, такие решения могут быть найдены для многих систем электромагнитного и сильного взаимодействий, таких как молекулы, атомы и кварконии. Для поиска этих решений выделим несколько классов потенциалов, обладающих конформной симметрией, и найдём решения для этих классов. Затем, приспособим найденные решения к конкретным 2-х и 3-х параметрическим потенциалам квантовых систем, хорошо известных в физике электромагнитного и сильного взаимодействий.
Как известно [1], уравнение Шрёдингера в координатном представлении
(1)
после введения цепочки лестничных пары лестничных операторов
сводится к нелинейному операторному уравнению Риккати для операторной функции 
в координатном представлении:
. (2)
Цепочка операторов 
образует спектр оператора Гамильтона
.
Для простоты, не будем писать шляп над операторами.
Цепочка операторов 
факторизуется
.
Для нахождения спектра En рассмотрим одномерное и радиально-симметричное движение fn = fn(q).
Сведём радиально – симметричное движение к одномерному. Это делается с помощью перехода безразмерной координате 
[2]. В полный потенциал U(ρ) необходимо добавить центробежный член
.
Несложно показать, что радиальная часть волновой функции нормирована на единицу
,
, 
.
Обозначив ρ = q, введём класс II точно решаемых задач для потенциалов
, (3)
где 
, Q = Q(x) – некоторая функциональная форма, которую необходимо задать.
Будем искать точное решение уравнения (2) в виде
,
, (4)
αn, βn – цепочки функций, подлежащих определению, a, c – известные константы.
Поставленная задача требует нахождения цепочек αn, βn, En, в виде функций констант A0, B0, U0, a, c.
Собирая коэффициенты при одинаковых степенях Q в уравнениях (3)-(4), получим следующие уравнения для неизвестных α0, β0, E0:
(5)
Операторы цепочки 
находятся по рекуррентной формуле
(6)
Построим первый оператор цепочки (2)
.
Собирая коэффициенты при одинаковых степенях Q, построим систему уравнений для коэффициентов, подлежащих определению.
(7)
где
Для уравнений цепочки с индексом n получим
(8)
Из (8) следуют тогда решения
, (9)
где
(10)
Решение уравнений (8), (9) даёт
(11)
где знак 
устанавливается с учётом условий максимальности уровней энергии при факторизации,
. (12)
Также из (8), (9) следует
(13)
, (14)
где
(15)
Единый спектр существует при условиях на знаки
(16)
Теперь можно получить решения для αn, βn выражения
(17)
(18)
С помощью (11), (14) получаем аналогичные выражения для сумм этих коэффициентов
(19)
(20)
После подстановки (19), (20) в (9) получим окончательное выражение для спектра системы
. (21)
Рассмотрим две квантовые системы, относящиеся к классу II.
II-1. Кулоновский центробежный потенциал [2]
Пусть
m = 1, A0 = A0, B0 = B0, a = 0, c = 1. (22)
Тогда
Q = ρ. 
. (23)
Этот потенциал изображён на рисунке при A0 = 5, B0 = 5, l = 0.
Кулоновский центробежный потенциал при А0ρ = B0ρ = 5, l = 0
Перейдём от безразмерных единиц расстояния ρ к физическим. Тогда
.
. (24)
Спектр потенциала имеет вид
. (25)
Последнее выражение совпадает с приведённым в [2] результатом.
II-1-1. Пусть
m = 1, 
,
a = 0, c = 1. (26)
Тогда Q = r,
. (27)
Спектр этого потенциала имеет вид
. (28)
В теории линейного гармонического осциллятора величина n формулы (28) называется «радиальное квантовое число» обозначается nr [3] .Перепишем (28) через nr.
Главное квантовое число, пространственного осциллятора N = 2nr + l.
Спектр энергии
Пространственного осциллятора принимает тогда вид
, (29)
что совпадает с результатами, полученными в [2], [3].
Заключение
Классы точных решений I, II содержит более 20 точно решаемых потенциалов. Причём не для всех этих потенциалов в литературе по квантовой механике известны точные решения. Хорошим примером является потенциал Вудса – Саксона, который описывает уровни энергии нейтрона в ядре атома [3]. Этот потенциал принадлежит к классу I [4]. Потенциалы, входящие в оба класса точно решаемых задач, описывают электромагнитное взаимодействие на атомно – молекулярном уровне и сильное взаимодействие на ядерном и кварковом уровне. С помощью описанного в статье метода могут быть найдены пока ещё неизвестные точные решения и для других потенциалов, входящих в классы I, II.