Для решения задачи о моделировании упругих нестационарных волн напряжений в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое нестационарное импульсное воздействие.
Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.
Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
, 
,
(x, y)∈Г,
,
, 
,
, 
, 
,
(1)
где σx, σy и τxy – компоненты тензора упругих напряжений; εx, εy и γxy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ – плотность материала; 
– скорость продольной упругой волны; 
– скорость поперечной упругой волны; ν – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; 
– граничный контур тела Г.
Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.
Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, 
, 
, (2)
где 
– диагональная матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор внешних узловых упругих сил.
Рис. 1. Постановка задачи о воздействии упругой нестационарной ударной волны от лавины на защитное сооружение
Рис. 2. Ударное воздействие в виде трапеции
Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени t/Δt в точке A1
Интегрируя уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина, получим явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
,
. (3)
Шаг по временной переменной координате Δt выбирается из следующего соотношения
, (4)
где Δl – длина стороны конечного элемента.
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработана методика, разработан алгоритм и составлен комплекс программ для решения двумерных линейных и нелинейных задач при различных начальных и граничных условиях, для областей сложной формы. Комплексы программ написаны на алгоритмическом языке Фортран-90.
В работах [4–9] приведена информация о верификации численного моделирования нестационарных волн напряжений в областях различной формы с помощью разработанного метода, алгоритма и комплекса программ.
Рассмотрим задачу о воздействии упругой ударной волны от лавины (рис. 2) на защитное сооружение без полости (рис. 1).
Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени t/Δt в точке A2
В работах [1–10] приведена информация о применении рассматриваемого метода, алгоритма и комплекса программ для численного моделирования волн напряжений в областях сложной формы.
Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 109 кг/м3.
Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени t/Δt в точке A3
Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени t/Δt в точке A4
Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени t/Δt в точке A5
На контуре CB приложено нормальное воздействие σx (рис. 1), которое при 0 ≤ n ≤ 10 (
) изменяется линейно от 0 до P, при 11 ≤ n ≤ 30 равно P и при 31 ≤ n ≤ 40 от P до 0 (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа (-1 кгс/см2)). Граничные условия для контура FGHA при t > 0 
.
Отраженные волны от контура FGHA не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 200. Контуры DEF и BA свободны от нагрузок, кроме точки B, где приложено воздействие.
Расчеты проведены при следующих исходных данных: 
; Δt = 1,393×10-6 с; E = 3,15×104 МПа (3,15×10 5 кгс/см2); ν = 0,2; ρ = 0,255×104 кг/м3 (0,255×10-5 кгс с2/см4); Cp = 3587 м/с; Cs = 2269 м/с. Исследуемая расчетная область имеет 21624 узловых точек. Решается система уравнений из 86496 неизвестных.
На рис. 3–7 показано изменение упругого контурного напряжения 
(
) во времени n в точках A1–A5 (рис. 1), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости (расстояние между точками: A1 и A2 равно H; A2 и A3 равно H; A3 и A4 равно H; A4 и A5 равно H).
Выводы
1. Для прогноза безопасности защитных сооружений от ударной волны лавины применяется численное моделирование. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при ударных воздействиях на сооружения.
2. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Матрица упругости выражена через скорость продольных волн, скорость поперечных волн и плотность.
3. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений. За основные неизвестные приняты два перемещения и две скорости перемещений в узле конечного элемента.
4. Задачи решаются методом сквозного счета, без выделения разрывов. Применяется кусочно-линейная аппроксимация для уменьшения влияния разрывов на точность результатов численного решения, полученных с помощью метода конечных элементов в перемещениях.
5. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями в виде дифференциальных уравнений в частных производных, для решения задач о нестационарных ударных воздействиях от лавины, с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме.
6. Решена задача о воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение без полости. Ударное воздействие моделируется в виде трапеции. Исследуемая расчетная область имеет 21624 узловых точек. Решается система уравнений из 86496 неизвестных. Получены напряжения в точках на поверхности упругой полуплоскости около защитного сооружения без полости. Растягивающее упругое контурное напряжение 
имеет следующее максимальное значение 
. Сжимающее упругое контурное напряжение 
имеет следующее максимальное значение 
.
7. Полученные результаты можно оценить как первое приближение к решению сложной комплексной задачи при воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение с основанием в виде полуплоскости.