Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями используем метод конечных элементов в перемещениях.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, 
, 
, (1)
где 
– диагональная матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор внешних узловых упругих сил.
Интегрируя уравнения (1) конечноэлементным вариантом метода Галеркина, получим явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
,
. (2)
Шаг по временной переменной координате ?t выбирается из следующего соотношения
, (3)
где ?l – длина стороны конечного элемента.
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработана методика, разработан алгоритм и составлен комплекс программ для решения двумерных линейных и нелинейных задач при различных начальных и граничных условиях, для областей сложной формы. Комплексы программ написаны на алгоритмическом языке Фортран-90.
В работах [1–10] приведена некоторая информация о моделировании нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью рассматриваемого численного метода.
Рассматриваемая проблема включает большой перечень фундаментальных и прикладных задач в области безопасности сложных технических объектов, которые необходимо решить. Одной из главных задач является определение нестационарных волновых напряжений в упругой полуплоскости при горизонтальном сосредоточенном воздействии. Применение моделей и методов волновой теории упругости позволит реализовать поставленную проблему.
Некоторая информация о физической достоверности и математической точности применяемого численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [3–5, 7–10].
Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×109 кг/м3.
Рассмотрим задачу о горизонтальном сосредоточенном воздействии воздушной ударной волны (рис. 2) на упругую полуплоскость (рис. 1).
В точке D приложено нормальное воздействие σx, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (
) изменяется от 0 до P, а при 11 ≤ n ≤ 30 равно P и при 31 ≤ n ≤ 40 изменяется от P до 0 (P = σ0, σ0 = 0,098 МПа (1 кгс/см2)). Принято следующее допущение: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа.
Граничные условия для контура ABCFGE при t > 0 
. Отраженные волны от контура ABCFGE не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 500. На границе CDE приняты условия непрерывности перемещений.
Для воздушной деформируемой среды ABCDE приняты следующие исходные данные: 
; ?t = 0,147×10-4 с; Ср = 340 м/с; ρ = 1,22 кг/м3 (1,245×10-9 кгс с2/см4). Принято следующее допущение: 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×109 кг/м3.
Для твердой деформируемой среды EDCFG приняты следующие исходные данные: 
; ?t = 9,263×10-7 с; E = 6,958×104 МПа (7,1×105 кгс/см2); ν = 0,34; ρ = 2,7×103 кг/м3 (2,755×10-6 кгс с2/см4); Ср = 5398 м/с; Сs = 3078 м/с. Приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×109 кг/м3.
В расчетах принимается минимальный шаг по времени, то есть ?t = 9,263×10-7.
Рис. 1. Постановка задачи о горизонтальном сосредоточенном воздействии воздушной ударной волны на упругую полуплоскость
Рис. 2. Ударное воздействие
Рис. 3. Точки B1–B9, в которых получены упругие напряжения во времени
Рис. 4. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/?t в точке B1
Рис. 5. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/?t в точке B2
Исследуемая расчетная область имеет 4008004 узловых точек. Решается система уравнений из 16032016 неизвестных.
На рис. 4-12 представлено изменение упругого нормального напряжения 
(
) во времени n в точках B1-B9, находящихся в упругой полуплоскости (рис. 3).
Рис. 6. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/?t в точке B3
Рис. 7. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/?t в точке B4
Рис. 8. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/?t в точке B5
Рис. 9. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/?t в точке B6
Рис. 10. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/?t в точке B7
Рис. 11. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/?t в точке B8
Выводы
1. Для прогноза безопасности уникальных сооружений, находящихся в воздушной и твердой деформируемой среде, при волновых воздействиях применяется численное моделирование.
Рис. 12. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/?t в точке B9
2. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при волновых воздействиях на сооружения.
3. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Матрица упругости выражена через скорость продольных волн, скорость поперечных волн и плотность.
4. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений.
5. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений.
6. За основные неизвестные приняты два перемещения и две скорости перемещений в узле конечного элемента.
7. Задачи решаются методом сквозного счета, без выделения разрывов. Применяется кусочно-линейная аппроксимация для уменьшения влияния разрывов на точность результатов численного решения, полученных с помощью метода конечных элементов в перемещениях.
8. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями в виде дифференциальных уравнений в частных производных, для решения задач при волновых воздействиях, с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме.
9. Решена задача о горизонтальном сосредоточенном воздействии воздушной ударной волны на упругую полуплоскость. Исследуемая расчетная область имеет 4008004 узловых точек. Решается система уравнений из 16032016 неизвестных. Растягивающее упругое нормальное напряжение 
в окрестности горизонтального сосредоточенного воздействия имеет следующее максимальное значение 
. Сжимающее упругое нормальное напряжение 
в окрестности горизонтального сосредоточенного воздействия имеет следующее максимальное значение 
.
10. Полученные результаты можно оценить как первое приближение к решению сложной комплексной задачи о горизонтальном сосредоточенном воздействии воздушной ударной волны на упругую полуплоскость с помощью численного моделирования волновых уравнений теории упругости.