Scientific journal

International Journal of Applied and fundamental research

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

В последние годы в области аддитивной теории чисел произошли большие изменения, например тернарная (слабая) проблема Гольдбаха в 2013 г. была решена, Харальдом Хельготт. Про бинарную (сильную) проблему многие считают, что эта гипотеза недоказуема, будто б наблюдаемая закономерность является сложной комбинацией математических совпадений. Это ассоциируется с тем, что еще не нашли закона распределения простых чисел. Хотя автором получено распределение параметров простых чисел PN и составных чисел CN на базе множества Θ = {6k ± 1/ где параметр k∈N}. (Distribution of parameters of Composite and Prime Numbers – DCPN), [1].

Целью настоящей статьи является решение проблемы Гольдбаха-Эйлера, т.е. доказательство того, что любое четное число ζ > 2 представима в виде суммы двух простых чисел или другими словами предлагается разрешимость Диофантового уравнения ζ = x + y, где ζ – четное число и (x, y)∈P.

В работе рассматриваются свойства четных чисел ζ > 8 сравнимых c m по mod 6 соответственно по остаткам m = 0, 2, 4. Приводятся представления чётных чисел ζ = 6ν + m в виде суммы двух элементов θ1 + θ2 из множества Θ.

Бинарная проблема Гольдбаха-Эйлера выполнима и на множестве близнецов простых чисел Tw, когда параметры элементов θ1 и θ2 принадлежат к множеству параметров чисел близнецов, т.е. где FN – объединение параметров составных чисел в множестве Θ. Для программного обеспечения проблемы используются свойства четных чисел и тождества полученные соответственно по свойствам четных чисел ζ > 8. Приведены примеры разложений чётных чисел ζ > 8 с помощью программ Gold –P и Gold Tw как по всем простым числам P, так и по множеству близнецов простых чисел Tw. На предстваленные алгоритмы даны описания и листинги программ на Software Module ACCESS.

Краткий обзор по проблеме Гольдбаха-Эйлера

В 1922 г. Харди и Литлвуд доказали с помощью своего известного аналитического метода [5], что предположение Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечетных чисел, если дзета функция ζ(s) и функция L(s, χ) не имеют нулей при Re s ≥ 3/4. Есть предположение, что методами Харди–Литлвуд и Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М. Виноградова можно получить асимптотические формулы, т.е. доказать «почти все» четные числа представимы суммами двух простых чисел, однако, потребуется бесконечно много исключений [3, 6]. В 1930 Шнирельман показал, что целое число есть сумма не более чем const C = 800 000 простых чисел. Однако, в 1995 г. Оливер Рамаре получил, что четное число есть сумма неболее чем шесть простых чисел. В 1966 Chen Jingrun доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо в виде суммы простых чисел или в виде суммы простого числа и полупростого (произведение двух простых чисел). В работах Харди и Литлвуда, Харальд Хельготт заметил, что круговой метод «большие дуги» и «малые дуги» не действуют, влияние малых дуг очень сильные [4] Среди учёных бытует мысль, если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то найдётся рано или поздно алгоритм , который обнаружит её нарушение.

Бинарная или сильная проблема Гольдбаха-Эйлера

Как приведено в [1] для любого составного числа n∈Θ параметры, которых , представимы одним из следующих функций:

1.

2.

3.

4. (1)

Множества значений функций (1) счетные и бесконечные множества, возрастающие по обеим направлениям переменных (x, y), где выражения 1&2 соот ветствуют к составным CN+ и простым числам PN+ вида 6λ + 1, выражения 3&4 соответствуют к составным CN– и простым числам PN– вида 6λ – 1.

Параметры всех составных чисел FN в множестве Θ, счетны как объединение счетных множеств

Счетны так же и множества разделенные по подкатегориям соответственно по формам:

по форме

по форме [1].

Поскольку, простые числа имеют вид , то сумма элементов и однозначно будут либо

либо (1’)

Очевидно, в обеих случаях θ1 + θ2 являются четными числами. Прежде чем начать доказательство бинарной проблемы Гольдбаха-Эйлера приведём несколько предложений и свойств элементов в множестве Θ.

Предложение 1 Числовые последовательности и содержат бесконечно много простых чисел

Доказательство. Поскольку, множества FN– и FN+ являются счётными и бесконечными множествами параметров составных чисел в множестве Θ соответственно по формам: где и где , [1].

Стоит поменять, например, для формы область определения на и для формы область определения на то будут соответственно по формам сгенерированы бесконечно много простых чис ел в силу Предложения 2 из [1], т.к. при таких раскладах параметров не имеют решений Диофантовые уравнения 1&2 и аналогично 3&4 из (1). Если еще и добавить к этим множествам по аналогии форм близнецов простых чисел параметры, которых где Сh есть бесконечное множество в силу теоремы о бесконечности близнецов простых чисел Tw, [1]. И учитывая, что объединение бесконечных множеств есть бесконечное мно жество, то числовые последовательности и содержат бесконечно много простых чисел, т.е. в точности множества PN– и PN+, [1].

Предложение 2 Любое чётное число

Доказательство. Пусть четное число ζ = 2n, n∈N, тогда 2n/6 = n/3т.е. n принимает форму 3q + α, где q∈N и естественно α = (0, 1, 2).

При т.е. делится нацело на 6,

Предложение 3 Любое четное число ζ > 8 есть сумма 2-х элементов Θ

Доказательство. рассмотрим случаи деления четного числа ζ на 6 (шесть) соответственно по остаткам (0, 2 и 4), тогда имеем случаи:

1) пусть (добавим и отнимем 1 (единицу), тогда имеем:

2) пусть

3) пусть

Свойства и представления чётных чисел ζ > 8 в множестве Θ

Пусть четное число где m = (0, 2, 4) тогда имеем следующие свойства элементов Θ разделенные соответственно по остаткам m:

α) Если к числам добавить и отнять числа вида , то будем иметь: и точно также если добавить и отнять числа , имеем

Значит, или

(2)

выполнимо также и тождество

(2’)

Пусть Для θ1=6k+1 и θ2=6(ν-k) при k=1→ θ1= 7, θ2=89. Для θ1=6k-1  и θ2=6(ν-k)+1 при k=1→ θ1=5, θ2=91

β) Если к числам добавить и отнять то будем иметь:

тогда следует, что

(3)

выполнимо также и тождество

(3’)

Пусть из (3), при k = 1 θ1=7, θ2=91

γ) Если числам (добавить и отнять числа вида ) будем иметь:

следовательно, имеем

(4)

выполнимо также и тождество

(4’)

Пусть и из (4) при k=1→ θ1=5, θ2=95

Теорема (Euler) Любое четное число ζ > 2 представима в виде суммы двух простых чисел

Доказательство разложения четных чисел ζ ≤ 8 на сумму двух простых чисел, очевидны. Рассмотрим разложение для четных чисел ζ > 8. Четные числа ζ согласно свойствам α, β, γпредставимы элементами множества Θ в виде сумм двух чисел: θ1=6k_i±1 и θ2=6(ν-k_i)±1, где соответственно по остаткам следующим образом:

а. для

б. для (5)

в. для

Очевидно из (5) следует, что чётные числа ζ представляются суммами ν/2 пар элементов из множества Θ. Поскольку рассматриваются чётные числа ζ > 8, то значение ν > 1, ибо Параметры пробегают интевал (1÷ν) последовательно по натуральному ряду чисел. Т.к. натуральные числа являются параметрами множеств: PPCN – простых и составных чисел; PTw – близнецов простых чисел; PTwCN – близнецов составных чисел и из того, что в любом интервале (1÷ν) число параметров, [2]) тогда следует, что обязательно найдутся в заданном интервале параметры для которых одна из форм будет простым числом. Значит в проколотом интервале останутся лишь параметры и (см. ниже в примерах). При параметрах близнецов простых чисел PTw, оба элемента θ1 и θ2 являются простыми числами. Простыми числами также являются и как уже убедились из Предложения 1 следующие сочетания форм с областями определений:

,

и

,

(6)

Значит проблема Гольдбаха-Эйлера решается однозначно положительно, ибо для любого четного числа где (x, y) = 1, 2, 3… в интервале всегда существуют элементы из FN+ и FN–, поскольку при (x, y)∈N значения функций f11(x, y), f21(x, y), f22(x, y), очевидно, Если одно из выражений: или будет составным числом, то при переходе на следующие параметры картина изменится в силу закона распределения параметров составных и простых чисел (см. табл. 2). Много примеров подтверждено программой для разложения четных чисел начиная с заданного параметра = значению поля [sk].

Таблица 2

Распределение параметров составных и простых чисел Θ

Параметры чисел близнецов Tw от 1 до 6100:

Сh = {1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 17, 18, 23, 25, 30, 32, 33, 38, 40, 45, 47, 52, 58, 70, 72, 77, 87, 95, 100, 103, 107, 110, 135, 137, 138, 143, 147, 170, 172, 175, 177, 182, 192, 205, 213, 215, 217, 220, 238, 242, 247, 248, 268, 270, 278, 283, 287, 298, 312, 313, 322, 325, 333, 338, 347, 348, 352, 355, 357, 373, 378, 385, 390, 397, 425, 432, 443, 448, 452, 455, 465, 467, 495, 500, 520, 528, 542, 543, 550, 555, 560, 562, 565, 577, 578, 588, 590, 593, 597, 612, 628, 637, 642, 653, 655, 667, 670, 675, 682, 688, 693, 703, 705, 707, 710, 712, 723, 737, 747, 753, 758, 773, 775, 787, 798, 800, 822, 828, 835, 837, 850, 872, 880, 903, 907, 913, 917, 920, 940, 942, 943, 957, 975, 978, 980, 1015}

Пример 1. Пусть чётное число выпишем параметры:

  (см. Теорему 1, [2])

Таблица 1

Формирование параметров составных чисел в множестве Θ

Для элементов множеств FN– и FN+ (см. табл. 1), из-за малой размерности табл. 1 могут и отсутствовать некоторые параметры), в данном случае имеем:

Рассмотрим элементы и по аналогии с (5.а) в проколотом интервале

Пусть по элементам θ1 рассматриваются только параметры близнецов простых чисел тогда легко замеметить, что уже не играет роли к какому типу множеств FN– или FN+ относятся соответствующие параметры из θ2. Тоже самое верно и для θ2 если , не играет роли к какому типу множеств FN– или FN+ относятся соответствующие параметры θ1, ибо при любом варианте для форм когда параметр являются простыми числами близнецов, простыми также будут числа соответствующие условиям (6), один из форм будет простым числом, в силу Предложения 1, напр.,

1. тогда параметр θ2:

имеем два случая

γ. ,

δ. ,

2.

тогда имеем два случая

γ. ,

δ. ,

, и т.д.

Значит в любом одном из 2-х вариантов (γ, δ) всегда имеется сумма простых чисел. Рассмотрим варианты когда параметры принадлежат к множествам FN– или FN+, например

3. , тогда

γ. ,

δ. ,

тогда

γ. ,

δ. ,

Пример 2. Чётное число ζ = 6ν + 2 = 362, найдём ν = 60. Параметры PTwCN, PTw, FN–, FN+, такие же как и в Примере 1. Рассмотрим в соответствии с (5.б) в проколотом интервале (1÷60)\PTwCN. Элементы θ1 и θ2 такие же как и в Примере 1.

Для того, чтобы элементы θ1 и θ2 были простыми числами, очевидно из (6) следует, что параметры и например:

1. и

,

2. и

,

3. и

,

Пример 3. Чётное число ζ = 6ν – 2 = 364, найдём ν = 61. Параметры PTwCN, PTw, FN–, FN+, θ1 и θ2 такие же как и в Примере 1. Рассмотрим в соответствии с (5.в) в проколотом интервале (1÷60)\PTwCN. Для того, чтобы элементы θ1 и θ2 были простыми числами, очевидно из (6) следует, что параметры и например:

1. и ,

2. и ,

Описание программы Gold-P

Вначале в поле П2 проверяется число на четность и какому типу четных чисел оно относится. Согласно свойств четных чисел (см. ниже) формируется программой элемент р1∈Θ соответствующий к типу числа.

После тестирования чисел р1 и П2 – р1 на простоту делается анализ если числа простые, то всё нормально, иначе переход на следующий k1 = k1 + 1 шаг.

Private Sub Gold-P Click() Algorithm Goldbach – Euler for pairs of

Dim k1,k2,m1,m2 As String primes of an even number

If sl4<10 or Not (Right(Π2,1) Mod 2 = 0 Then

Π4 = “ It is sl4<10 or cannot be <not even number>”

Else

Ora1=Time(), ora2=””

k1=sk, Π4 =sl4, Π4 =Ost(sl4,12,ss)

s1: If Π4 =0 or Π4 =4 or Π4 =6 or Π4 =10 Then p1=6*k1-1

If Π4 =2 or Π4 =8 Then p1=6*k1+1

m1=PFA(p1,ss)

If m1 =”+” Then

k1=k1+1

GoTo s1

Else

End If

p2=vich(Π2,p1,ss), m2= PFA(p2,ss)

If m2 =”-” Then

If p1+p2=0+Π2 Then

πχ1=p1, πχ2=p2, ora2= Time()

sk=k1, Π2=sl1

Else

k1=k1+1

GoTo s1

End If

Else

k1=k1+1

GoTo s1

End If

End If

Π2=sl1, sl1 =”” End Sub

Описание программы Gold-Tw

Вначале в поле П2 проверяется число на четность и какому типу четных чисел оно относится. Согласно свойств четных чисел (см. ниже) формируется программой элемент р1∈Θ соответствующий к типу числа и в зависимости от значения поля [sk], т.е. c какого номера начать соответствующий элемент р1∈Θ. После тестирования числа р1 на простоту делается еще и анализ на то, что является ли число простым и есть ли число р1∈Tw. И точно также проверяется число (П2 – р1)∈Tw если «да», то всё нормально, иначе переход на следующий шаг k1 = k1 + 1 к поиску нового р1∈Tw и т.д.

Private Sub Gold-Tw Click() Algorithm Goldbach – Euler for pairs of

Dim k1,k2,m1,m2 As String twin’s of an even number

sl1=Π2, Π2=sl4

If 0+ Π2 ≤ 0+sk Then sk=1

If sl4 ≤ 10 or Not (Right(Π2,1) Mod 2= 0 Then

Π4= ”It is sl4<10 or cannot be < not even numbers >”

Else

Ora1=Time(), Ora2=”” , k1=sk, Π4= sl4, Π4= Ost(sl4, 12, ss)

s1: If Π4= 0 or Π4= 4 or Π4= 6 or Π4= 10 Then p1=6*k1-1

If Π4= 2 or Π4= 8 Then p1=6*k1+1

m1=PFA(p1, ss)

If m1=”+” Then

k1=k1+1

GoTo s1

Else

m1=PFA(slg(p1, 2, ss), ss), m2=PFA(vich(p1, 2, ss), ss)

If m1=”+” And m2=”+” Then GoTo s2

End if

Π5=dln(Π2, 6, ss), πχ3=k1, p2= vich(Π2, p1, ss), m2= PFA(p2, ss)

If m2=”-“ Then

If p1+p2=0+ Π2 Then

πχ1=p1, πχ2=p2, πχ4=dln(p2, 6, ss)

sk=k1, Π2=sl1, Ora2= Time()

m2=PFA(slg(p2,2,ss), ss)

m3=PFA(vich(p2,2,ss), ss)

If m2=”+” And m3=”+” Then GoTo s2

Else // Подпрограммы

s2: k1=k1+1 1. Ost(sl4, sl1,ss) – остаток от деления больших чисел sl4 на sl1

GoTo s1 2. PFA(p1,ss) – проверяет число p1 на простоту

End if 3. vich(sl4,p1,ss) – вычитание больших чисел sl4 и sl1

Else 4. slg(sl4, sl1, ss) – сложение больших чисел sl4 и sl1

k1=k1+1 5. dln(sl4, sl1, ss) – деление больших чисел sl4 и sl1

GoTo s1

End if, Π2=sl1, sl1=”” End Sub

Представление чётных чисел

где

1. Чётные числа вида: ζ = 12τ. Количество пар (р1, р2) чисел в сумме дающих ζ равно Очевидно из (5) следует, что эти пары чисел в Θ, имеют вид: и где t и ν – t принадлежат к множеству PTw, [], т.е. (р1 и р2) числа – Tw.

2. Чётные числа: Количество пар (р1, р2) в сумме дающих ζ равно Очевидно из (5) следует, что эти пары чисел в Θ имеют следующий вид: и

3. Чётные числа вида: количество пар чисел (р1, р2) в сумме дающих ζ равно Очевидно из (5) следует, что эти пары чисел в Θ имеют следующий вид: и .

4. Чётные числа вида: Количество пар чисел (р1, р2) в сумме дающих ζ равно имеют вид:

5. Чётные числа вида: . Количество пар чисел (р1, р2) в сумме дающих ζ равно имеют вид: or и

6. Чётные числа вида: Количество пар чисел (р1, р2) в сумме дающих ζ равно имеют вид:

Примеры полученные прогаммой Gold-P и Gold-Tw:

. . . .

Заключение

В работе дано доказательство бесконечности простых чисел в числовых последовательностях 6n – 1 и 6n + 1. Приведены свойства чётных чисел ζ > 8 и их представления в виде форм 6n + m, где m = (0, 2, 4) с суммами двух элементов и из множества Θ.

Дано доказательство о представлении четного числа ζ > 2 на сумму двух простых чисел.