Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

BINARY GOLDBACH-EULER PROBLEM IN THE SET Θ = {6K ±1/K∈N}

Tsermidis S.I. 1
1 Kuban state university
2006 KB
The article deals with the properties of even numbers ζ > 8 comparable to m by modulo 6, where m = 0, 2, 4 are given by ways to present of even numbers ζ = 6ν + m as sum of two elements of the set Θ. We give a variant of proof binary problem Goldbach –Euler for even numbers ζ > 8 presented respectively with the rests m and methods for their representation of elements in the set Θ. The binary Goldbach problem and the Euler feasible not only in the set primes P, but and on the set of numbers of twins if the parameters of elements (θ1 , θ2 )∈Θ belong to the set of parameters of number twins 1 2 (, ) κκ ∈ Ch = N/FN, где FN where FN – union of parameters of composite numbers in the set Θ. We give some examples of decomposition of even numbers ζ > 8 using programs Gold –P and Gold Tw. The proof of the infinity of prime numbers in a numerical sequence {6k – 1} & {6k + 1}. On the all presented algorithms are given in the article the description and listings of programs in Software Module ACCESS. That once again shows us that any even number ζ > 2 is decomposed into a sum of two prime number
вinary problem goldbach–euler
the infinite of primes in the sets {6k – 1} and {6k + 1}

В последние годы в области аддитивной теории чисел произошли большие изменения, например тернарная (слабая) проблема Гольдбаха в 2013 г. была решена, Харальдом Хельготт. Про бинарную (сильную) проблему многие считают, что эта гипотеза недоказуема, будто б наблюдаемая закономерность является сложной комбинацией математических совпадений. Это ассоциируется с тем, что еще не нашли закона распределения простых чисел. Хотя автором получено распределение параметров простых чисел PN и составных чисел CN на базе множества Θ = {6k ± 1/ где параметр k∈N}. (Distribution of parameters of Composite and Prime Numbers – DCPN), [1].

Целью настоящей статьи является решение проблемы Гольдбаха-Эйлера, т.е. доказательство того, что любое четное число ζ > 2 представима в виде суммы двух простых чисел или другими словами предлагается разрешимость Диофантового уравнения ζ = x + y, где ζ – четное число и (x, y)∈P.

В работе рассматриваются свойства четных чисел ζ > 8 сравнимых c m по mod 6 соответственно по остаткам m = 0, 2, 4. Приводятся представления чётных чисел ζ = 6ν + m в виде суммы двух элементов θ1 + θ2 из множества Θ.

Бинарная проблема Гольдбаха-Эйлера выполнима и на множестве близнецов простых чисел Tw, когда параметры cherm03.wmf элементов θ1 и θ2 принадлежат к множеству параметров чисел близнецов, т.е. cherm04.wmf где FN – объединение параметров составных чисел в множестве Θ. Для программного обеспечения проблемы используются свойства четных чисел cherm05.wmf и тождества полученные соответственно по свойствам четных чисел ζ > 8. Приведены примеры разложений чётных чисел ζ > 8 с помощью программ Gold –P и Gold Tw как по всем простым числам P, так и по множеству близнецов простых чисел Tw. На предстваленные алгоритмы даны описания и листинги программ на Software Module ACCESS.

Краткий обзор по проблеме Гольдбаха-Эйлера

В 1922 г. Харди и Литлвуд доказали с помощью своего известного аналитического метода [5], что предположение Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечетных чисел, если дзета функция ζ(s) и функция L(s, χ) не имеют нулей при Re s ≥ 3/4. Есть предположение, что методами Харди–Литлвуд и Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М. Виноградова можно получить асимптотические формулы, т.е. доказать «почти все» четные числа представимы суммами двух простых чисел, однако, потребуется бесконечно много исключений [3, 6]. В 1930 Шнирельман показал, что целое число есть сумма не более чем const C = 800 000 простых чисел. Однако, в 1995 г. Оливер Рамаре получил, что четное число есть сумма неболее чем шесть простых чисел. В 1966 Chen Jingrun доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо в виде суммы простых чисел или в виде суммы простого числа и полупростого (произведение двух простых чисел). В работах Харди и Литлвуда, Харальд Хельготт заметил, что круговой метод «большие дуги» и «малые дуги» не действуют, влияние малых дуг очень сильные [4] Среди учёных бытует мысль, если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то найдётся рано или поздно алгоритм , который обнаружит её нарушение.

Бинарная или сильная проблема Гольдбаха-Эйлера

Как приведено в [1] для любого составного числа n∈Θ параметры, которых cherm06.wmf, представимы cherm07.wmf одним из следующих функций:

1. cherm08.wmf

2. cherm09.wmf

3. cherm10.wmf

4. cherm11.wmf (1)

Множества значений функций (1) счетные и бесконечные множества, возрастающие по обеим направлениям переменных (x, y), где выражения 1&2 соот ветствуют к составным CN+ и простым числам PN+ вида 6λ + 1, выражения 3&4 соответствуют к составным CN– и простым числам PN– вида 6λ – 1.

Параметры всех составных чисел FN в множестве Θ, счетны как объединение счетных множеств

cherm13.wmf

Счетны так же и множества разделенные по подкатегориям соответственно по формам:

cherm14.wmf по форме cherm15.wmf

cherm16.wmf по форме cherm17.wmf [1].

Поскольку, простые числа имеют вид cherm18.wmf, то сумма элементов cherm19.wmfи cherm20.wmf однозначно будут либо

cherm21.wmf либо cherm22.wmf (1’)

Очевидно, в обеих случаях θ1 + θ2 являются четными числами. Прежде чем начать доказательство бинарной проблемы Гольдбаха-Эйлера приведём несколько предложений и свойств элементов в множестве Θ.

Предложение 1 Числовые последовательности cherm34.wmf и cherm24.wmf содержат бесконечно много простых чисел

Доказательство. Поскольку, множества FN– и FN+ являются счётными и бесконечными множествами параметров составных чисел в множестве Θ соответственно по формам: cherm25.wmf где cherm25а.wmf и cherm26.wmf где cherm26а.wmf, [1].

Стоит поменять, например, для формы cherm27.wmf область определения cherm25а.wmf на cherm28.wmf и для формы cherm29.wmf область определения cherm30.wmf на cherm31.wmf то будут соответственно по формам сгенерированы бесконечно много простых чис ел в силу Предложения 2 из [1], т.к. при таких раскладах параметров не имеют решений Диофантовые уравнения 1&2 и аналогично 3&4 из (1). Если еще и добавить к этим множествам по аналогии форм близнецов простых чисел cherm32.wmf параметры, которых cherm33.wmf где Сh есть бесконечное множество в силу теоремы о бесконечности близнецов простых чисел Tw, [1]. И учитывая, что объединение бесконечных множеств есть бесконечное мно жество, то числовые последовательности cherm34.wmf и cherm35.wmf содержат бесконечно много простых чисел, т.е. в точности множества PN– и PN+, [1].

Предложение 2 Любое чётное число cherm36.wmf

Доказательство. Пусть четное число ζ = 2n, n∈N, тогда 2n/6 = n/3т.е. n принимает форму 3q + α, где q∈N и естественно α = (0, 1, 2).

При cherm37.wmf т.е. делится нацело на 6,

cherm38.wmf

cherm39.wmf

Предложение 3 Любое четное число ζ > 8 есть сумма 2-х элементов Θ

Доказательство. cherm40.wmf рассмотрим случаи деления четного числа ζ на 6 (шесть) соответственно по остаткам (0, 2 и 4), тогда имеем случаи:

1) cherm41.wmf пусть cherm42.wmf (добавим и отнимем 1 (единицу), тогда имеем: cherm43.wmf

2) cherm44.wmf пусть

cherm45.wmf

3) cherm46.wmf пусть

cherm47.wmf

Свойства и представления чётных чисел ζ > 8 в множестве Θ

Пусть cherm48.wmf четное число cherm49.wmf где m = (0, 2, 4) тогда имеем следующие свойства элементов Θ разделенные соответственно по остаткам m:

α) Если к числам cherm50.wmf добавить и отнять числа вида cherm51.wmf, то будем иметь: cherm52.wmf и точно также если добавить и отнять числа cherm53.wmf, имеем cherm54.wmf

Значит, cherm55.wmfили

cherm56.wmf (2)

выполнимо также и тождество

cherm57.wmf (2’)

Пусть cherm58.wmf Для θ1=6k+1 и θ2=6(ν-k) при k=1→ θ1= 7, θ2=89. Для θ1=6k-1  и θ2=6(ν-k)+1 при k=1→ θ1=5, θ2=91

β) Если к числам cherm66.wmf добавить и отнять cherm67.wmf то будем иметь:

cherm68.wmf тогда следует, что

cherm69.wmf (3)

выполнимо также и тождество

cherm70.wmf (3’)

Пусть cherm71.wmf из (3), при k = 1 θ1=7, θ2=91

γ) Если числам cherm73.wmf (добавить и отнять числа вида cherm74.wmf) будем иметь:

cherm75.wmf следовательно, имеем

cherm76.wmf (4)

выполнимо также и тождество

cherm77.wmf (4’)

Пусть cherm78.wmf и из (4) при k=1→ θ1=5, θ2=95

Теорема (Euler) Любое четное число ζ > 2 представима в виде суммы двух простых чисел

Доказательство разложения четных чисел ζ ≤ 8 на сумму двух простых чисел, очевидны. Рассмотрим разложение для четных чисел ζ > 8. Четные числа ζ согласно свойствам α, β, γпредставимы элементами множества Θ в виде сумм двух чисел: θ1=6ki±1 и θ2=6(ν-ki)±1, где cherm82.wmf cherm83.wmf соответственно по остаткам cherm84.wmf следующим образом:

а. для cherm86.wmf

б. для cherm88.wmf (5)

в. для cherm91.wmf

Очевидно из (5) следует, что чётные числа ζ представляются суммами ν/2 пар элементов из множества Θ. Поскольку рассматриваются чётные числа ζ > 8, то значение ν > 1, ибо cherm95.wmf Параметры пробегают интевал (1÷ν) последовательно по натуральному ряду чисел. Т.к. натуральные числа являются параметрами множеств: PPCN – простых и составных чисел; PTw – близнецов простых чисел; PTwCN – близнецов составных чисел и из того, что в любом интервале (1÷ν) число параметровcherm96.wmf, [2]) тогда следует, что обязательно найдутся в заданном интервале параметры cherm97.wmf для которых одна из форм cherm98.wmf будет простым числом. Значит в проколотом интервале cherm99.wmf останутся лишь параметры cherm100.wmf и cherm101.wmf (см. ниже в примерах). При параметрах близнецов простых чисел PTw, оба элемента θ1 и θ2 являются простыми числами. Простыми числами также являются и как уже убедились из Предложения 1 следующие сочетания форм с областями определений:

cherm102.wmf,

cherm103.wmf и

cherm104.wmf,

cherm105.wmf (6)

Значит проблема Гольдбаха-Эйлера решается однозначно положительно, ибо для любого четного числа cherm106.wmf где cherm107.wmf (x, y) = 1, 2, 3… в интервале cherm108.wmf всегда существуют элементы из FN+ и FN–, поскольку при (x, y)∈N значения функций f11(x, y), f21(x, y), f22(x, y), очевидно, cherm109.wmf Если одно из выражений: cherm110.wmf или cherm111.wmf будет составным числом, то при переходе на следующие параметры cherm112.wmf картина изменится в силу закона распределения параметров составных и простых чисел cherm113.wmf (см. табл. 2). Много примеров подтверждено программой cherm114.wmf для разложения четных чисел начиная с заданного параметра cherm115.wmf = значению поля [sk].

Таблица 2

Распределение параметров составных и простых чисел Θ

Id

F1

F2

chermidT1.wmf

chermidT2.wmf

chermidT3.wmf

chermidT1.wmf

chermidT2.wmf

chermidT3.wmf

chermidT1.wmf

chermidT2.wmf

chermidT3.wmf

chermidT1.wmf

chermidT2.wmf

chermidT3.wmf

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

+

+

41

-

-

81

+

-

121

+

-

161

+

-

2

+

+

42

-

+

82

-

+

122

+

-

162

-

+

3

+

+

43

-

+

83

+

-

123

+

-

163

-

+

4

-

+

44

-

+

84

-

+

124

-

+

164

-

+

5

+

+

45

+

+

85

-

+

125

+

-

165

+

-

6

+

-

46

+

-

86

-

-

126

+

-

166

+

-

7

+

+

47

+

+

87

+

+

127

-

+

167

-

-

8

-

+

48

-

-

88

-

-

128

+

-

168

+

-

9

-

+

49

-

+

89

-

-

129

-

+

169

-

+

10

+

+

50

-

-

90

+

-

130

-

-

170

+

+

11

+

-

51

+

-

91

+

-

131

+

-

171

-

-

12

+

+

52

+

+

92

-

-

132

-

-

172

+

+

13

+

-

53

-

+

93

-

+

133

-

+

173

+

-

14

-

+

54

-

-

94

-

+

134

-

-

174

-

-

15

-

+

55

+

-

95

+

+

135

+

+

175

+

+

16

+

-

56

+

-

96

+

-

136

-

-

176

-

-

17

+

+

57

-

-

97

-

-

137

+

+

177

+

+

18

+

+

58

+

+

98

-

+

138

+

+

178

+

-

19

-

+

59

-

+

99

-

+

139

-

-

179

-

-

20

-

-

60

-

+

100

+

+

140

-

+

180

-

-

21

+

-

61

+

-

101

+

-

141

-

-

181

+

-

22

-

+

62

+

-

102

+

-

142

+

-

182

+

+

23

+

+

63

+

-

103

+

+

143

+

+

183

-

+

24

-

-

64

-

+

104

-

-

144

-

+

184

-

+

25

+

+

65

-

+

105

+

-

145

-

-

185

-

+

26

+

-

66

+

-

106

-

-

146

+

-

186

+

-

27

+

-

67

-

+

107

+

+

147

+

+

187

+

-

28

-

+

68

+

-

108

-

+

148

-

+

188

+

-

29

-

+

69

-

-

109

-

+

149

-

-

189

-

-

30

+

+

70

+

+

110

+

+

150

-

-

190

-

-

31

-

-

71

-

-

111

-

-

151

+

-

191

-

-

32

+

+

72

+

+

112

+

-

152

-

+

192

+

+

33

+

+

73

+

-

113

-

+

153

+

-

193

-

-

Окончание табл. 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

34

-

-

74

-

+

114

-

+

154

-

-

194

-

+

35

+

-

75

-

+

115

+

-

155

-

+

195

+

-

36

-

-

76

+

-

116

-

-

156

+

-

196

-

-

37

+

-

77

+

+

117

-

+

157

-

+

197

-

+

38

+

+

78

-

+

118

+

-

158

-

+

198

-

+

39

-

+

79

-

-

119

-

-

159

-

+

199

-

+

40

+

+

80

-

+

120

-

+

160

-

-

200

+

-

Параметры чисел близнецов Tw от 1 до 6100:

Сh = {1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 17, 18, 23, 25, 30, 32, 33, 38, 40, 45, 47, 52, 58, 70, 72, 77, 87, 95, 100, 103, 107, 110, 135, 137, 138, 143, 147, 170, 172, 175, 177, 182, 192, 205, 213, 215, 217, 220, 238, 242, 247, 248, 268, 270, 278, 283, 287, 298, 312, 313, 322, 325, 333, 338, 347, 348, 352, 355, 357, 373, 378, 385, 390, 397, 425, 432, 443, 448, 452, 455, 465, 467, 495, 500, 520, 528, 542, 543, 550, 555, 560, 562, 565, 577, 578, 588, 590, 593, 597, 612, 628, 637, 642, 653, 655, 667, 670, 675, 682, 688, 693, 703, 705, 707, 710, 712, 723, 737, 747, 753, 758, 773, 775, 787, 798, 800, 822, 828, 835, 837, 850, 872, 880, 903, 907, 913, 917, 920, 940, 942, 943, 957, 975, 978, 980, 1015}

Пример 1. Пусть чётное число cherm116.wmf выпишем параметры:

cherm117.wmf  (см. Теорему 1, [2])

cherm118.wmf

Таблица 1

Формирование параметров составных чисел в множестве Θ

 

f11 = 6xy – x – y

f12 = 6xy + x + y

f21 = 6xy – x + y

f22 = 6xy + x – y

x

y

1

1

4

8

6

6

2

9

15

13

11

3

14

22

20

16

4

19

29

27

21

5

24

36

34

26

6

29

43

41

31

7

34

50

48

36

8

9

10

39

44

49

57

64

71

55

62

69

41

46

51

2

2

20

28

24

24

3

31

41

37

35

4

42

54

50

46

5

53

67

63

57

6

64

80

76

68

7

75

93

89

79

8

9

10

86

97

108

106

119

132

102

115

128

90

101

112

3

3

48

60

54

54

4

65

79

73

71

5

82

98

92

88

6

99

117

111

105

7

116

136

130

122

8

9

10

133

150

167

155

174

193

149

168

187

139

156

173

4

4

88

104

96

96

5

111

129

121

119

6

134

154

146

142

7

157

179

171

165

8

9

10

180

203

226

204

229

254

196

221

246

188

211

234

5

5

140

160

150

150

6

169

191

181

179

7

198

222

212

208

8

9

10

227

256

285

253

284

315

243

274

305

237

266

295

6

6

204

228

216

216

7

239

265

253

251

8

9

10

274

309

344

302

339

376

290

327

364

286

321

356

7

7

280

308

294

294

8

9

10

321

362

403

351

394

437

337

380

423

335

376

417

8

8

9

10

368

415

462

400

449

498

384

433

482

384

431

478

9

10

9

10

10

468

521

580

504

559

620

486

541

600

486

539

600

Для элементов множеств FN– и FN+ (см. табл. 1), из-за малой размерности табл. 1 могут и отсутствовать некоторые параметры), в данном случае имеем:

cherm119a.wmf

cherm119b.wmf

cherm120a.wmf

cherm120b.wmf

Рассмотрим элементы cherm121.wmf и cherm122.wmf по аналогии с (5.а) в проколотом интервале cherm123.wmf

cherm124.wmf

cherm125.wmf

cherm126.wmf

cherm127.wmf

Пусть по элементам θ1 рассматриваются только параметры близнецов простых чисел cherm128.wmf тогда легко замеметить, что уже не играет роли к какому типу множеств FN– или FN+ относятся соответствующие параметры из θ2. Тоже самое верно и для θ2 если cherm131.wmf, не играет роли к какому типу множеств FN– или FN+ относятся соответствующие параметры θ1, ибо при любом варианте для форм cherm132.wmf когда параметр cherm133.wmf являются простыми числами близнецов, простыми также будут числа соответствующие условиям (6), один из форм будет простым числом, в силу Предложения 1, напр.,

1. cherm134.wmf тогда параметр θ2:

cherm135.wmf имеем два случая

γ. cherm136.wmf,

cherm137.wmf

δ. cherm138.wmf,

cherm139.wmf

2. cherm140.wmf

тогда cherm141.wmf имеем два случая

γ. cherm142.wmf,

cherm143.wmf

δ. cherm144.wmf,

cherm145.wmf, и т.д.

Значит cherm146.wmf в любом одном из 2-х вариантов (γ, δ) всегда имеется сумма простых чисел. Рассмотрим варианты когда параметры принадлежат к множествам FN– или FN+, например

3. cherm147.wmf, тогда

cherm148.wmf

γ. cherm149.wmf,

cherm150.wmf

δ. cherm151.wmf,

cherm152.wmf

cherm153.wmf тогда

cherm154.wmf

γ. cherm155.wmf,

cherm156.wmf

δ. cherm157.wmf,

cherm158.wmf

Пример 2. Чётное число ζ = 6ν + 2 = 362, найдём ν = 60. Параметры PTwCN, PTw, FN–, FN+, такие же как и в Примере 1. Рассмотрим в соответствии с (5.б) в проколотом интервале (1÷60)\PTwCN. Элементы θ1 и θ2 такие же как и в Примере 1.

Для того, чтобы элементы θ1 и θ2 были простыми числами, очевидно из (6) следует, что параметры cherm159.wmf и cherm160.wmf например:

1. cherm161.wmf и

cherm162.wmf

cherm163.wmf,

cherm164.wmf

2. cherm165.wmf и

cherm166.wmf cherm167.wmf,

cherm168.wmf

3. cherm169.wmf и cherm170.wmf

cherm171.wmf,

cherm172.wmf

Пример 3. Чётное число ζ = 6ν – 2 = 364, найдём ν = 61. Параметры PTwCN, PTw, FN–, FN+, θ1 и θ2 такие же как и в Примере 1. Рассмотрим в соответствии с (5.в) в проколотом интервале (1÷60)\PTwCN. Для того, чтобы элементы θ1 и θ2 были простыми числами, очевидно из (6) следует, что параметры cherm173.wmf и cherm174.wmf например:

1. cherm175.wmf и cherm176.wmf cherm177.wmf, cherm178.wmf

2. cherm179.wmf и cherm180.wmf cherm181.wmf, cherm182.wmf

Описание программы Gold-P

Вначале в поле П2 проверяется число на четность и какому типу четных чисел оно относится. Согласно свойств четных чисел cherm183.wmf (см. ниже) формируется программой элемент р1∈Θ соответствующий к типу числа.

После тестирования чисел р1 и П2 – р1 на простоту делается анализ если числа простые, то всё нормально, иначе переход на следующий k1 = k1 + 1 шаг.

Private Sub Gold-P Click() Algorithm Goldbach – Euler for pairs of

Dim k1,k2,m1,m2 As String primes of an even number

If sl4<10 or Not (Right(Π2,1) Mod 2 = 0 Then

Π4 = “ It is sl4<10 or cannot be <not even number>”

Else

Ora1=Time(), ora2=””

k1=sk, Π4 =sl4, Π4 =Ost(sl4,12,ss)

s1: If Π4 =0 or Π4 =4 or Π4 =6 or Π4 =10 Then p1=6*k1-1

If Π4 =2 or Π4 =8 Then p1=6*k1+1

m1=PFA(p1,ss)

If m1 =”+” Then

k1=k1+1

GoTo s1

Else

End If

p2=vich(Π2,p1,ss), m2= PFA(p2,ss)

If m2 =”-” Then

If p1+p2=0+Π2 Then

πχ1=p1, πχ2=p2, ora2= Time()

sk=k1, Π2=sl1

Else

k1=k1+1

GoTo s1

End If

Else

k1=k1+1

GoTo s1

End If

End If

Π2=sl1, sl1 =”” End Sub

Описание программы Gold-Tw

Вначале в поле П2 проверяется число на четность и какому типу четных чисел оно относится. Согласно свойств четных чисел cherm185.wmf (см. ниже) формируется программой элемент р1∈Θ соответствующий к типу числа и в зависимости от значения поля [sk], т.е. c какого номера начать соответствующий элемент р1∈Θ. После тестирования числа р1 на простоту делается еще и анализ на то, что является ли число простым и есть ли число р1∈Tw. И точно также проверяется число (П2 – р1)∈Tw если «да», то всё нормально, иначе переход на следующий шаг k1 = k1 + 1 к поиску нового р1∈Tw и т.д.

Private Sub Gold-Tw Click() Algorithm Goldbach – Euler for pairs of

Dim k1,k2,m1,m2 As String twin’s of an even number

sl1=Π2, Π2=sl4

If 0+ Π2 ≤ 0+sk Then sk=1

If sl4 ≤ 10 or Not (Right(Π2,1) Mod 2= 0 Then

Π4= ”It is sl4<10 or cannot be < not even numbers >”

Else

Ora1=Time(), Ora2=”” , k1=sk, Π4= sl4, Π4= Ost(sl4, 12, ss)

s1: If Π4= 0 or Π4= 4 or Π4= 6 or Π4= 10 Then p1=6*k1-1

If Π4= 2 or Π4= 8 Then p1=6*k1+1

m1=PFA(p1, ss)

If m1=”+” Then

k1=k1+1

GoTo s1

Else

m1=PFA(slg(p1, 2, ss), ss), m2=PFA(vich(p1, 2, ss), ss)

If m1=”+” And m2=”+” Then GoTo s2

End if

Π5=dln(Π2, 6, ss), πχ3=k1, p2= vich(Π2, p1, ss), m2= PFA(p2, ss)

If m2=”-“ Then

If p1+p2=0+ Π2 Then

πχ1=p1, πχ2=p2, πχ4=dln(p2, 6, ss)

sk=k1, Π2=sl1, Ora2= Time()

m2=PFA(slg(p2,2,ss), ss)

m3=PFA(vich(p2,2,ss), ss)

If m2=”+” And m3=”+” Then GoTo s2

Else // Подпрограммы

s2: k1=k1+1 1. Ost(sl4, sl1,ss) – остаток от деления больших чисел sl4 на sl1

GoTo s1 2. PFA(p1,ss) – проверяет число p1 на простоту

End if 3. vich(sl4,p1,ss) – вычитание больших чисел sl4 и sl1

Else 4. slg(sl4, sl1, ss) – сложение больших чисел sl4 и sl1

k1=k1+1 5. dln(sl4, sl1, ss) – деление больших чисел sl4 и sl1

GoTo s1

End if, Π2=sl1, sl1=”” End Sub

Представление чётных чисел

cherm186.wmf где cherm187.wmf

1. Чётные числа вида: ζ = 12τ. Количество пар (р1, р2) чисел в сумме дающих ζ равно cherm188.wmf Очевидно из (5) следует, что эти пары чисел в Θ, имеют вид: cherm189.wmf cherm190.wmf и cherm191.wmfcherm192.wmf где t и ν – t принадлежат к множеству PTw, [], т.е. (р1 и р2) числа – Tw.

2. Чётные числа: cherm193a.wmf cherm193b.wmf Количество пар (р1, р2) в сумме дающих ζ равно cherm194.wmf Очевидно из (5) следует, что эти пары чисел в Θ имеют следующий вид: cherm195.wmf и cherm196.wmf

3. Чётные числа вида: cherm197.wmf количество пар чисел (р1, р2) в сумме дающих ζ равно cherm198.wmf Очевидно из (5) следует, что эти пары чисел в Θ имеют следующий вид: cherm199.wmf и cherm200.wmf.

4. Чётные числа вида: cherm201.wmf Количество пар чисел (р1, р2) в сумме дающих ζ равно cherm202.wmf имеют вид: cherm203.wmf cherm204.wmf

5. Чётные числа вида: cherm205.wmf. Количество пар чисел (р1, р2) в сумме дающих ζ равно cherm206.wmf имеют вид: cherm207.wmf cherm208.wmf or cherm209a.wmf и cherm209b.wmf

6. Чётные числа вида: cherm210.wmf Количество пар чисел (р1, р2) в сумме дающих ζ равно cherm211.wmf имеют вид: cherm212.wmf cherm213.wmf

Примеры полученные прогаммой Gold-P и Gold-Tw:

cherm214.wmf

. . . .

Заключение

В работе дано доказательство бесконечности простых чисел в числовых последовательностях 6n – 1 и 6n + 1. Приведены свойства чётных чисел ζ > 8 и их представления в виде форм 6n + m, где m = (0, 2, 4) с суммами двух элементов cherm215.wmf и cherm216.wmf из множества Θ.

Дано доказательство о представлении четного числа ζ > 2 на сумму двух простых чисел.