Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,564

VARIATIONS NON-CIRCULAR MEMBRANE

Agalarov Dzh.G. 1 Mamedova G.A. 1 Aqasiev S.R. 2
1 Institute of Mathematics and Mechanics of the National Academy of Sciences of Azerbaijan
2 Azerbaijan Architecture and Construction University
2149 KB
The equations of the membrane vibrations allow classes corresponding to particular solutions are non-circular areas. The solutions according to the different enshrined, including for non-circular membrane clamped on two sides and from both sides free.
oscillations
potential
frequency
membranes

К задачам уравнения колебаний приводят многие вопросы математической физики, представляющие теоретической интерес и имеющие большое прикладное значение.

Решён широкий круг задач для круговых и прямоугольных областей. Для областей, не являющихся таковыми применяются различные методы, в частности приводящие к интегральным уравнениям. Однако, последние служат для доказательства существования и единственности решения. В основном эти задачи решаются численными методами. Немалый интерес представляют простые решения задач для областей частного вида.

Ниже рассматривается движение мембраны это различных случаев закрепления.

Поперечные колебания тонкой плоской мембраны, которой сообщено равномерное напряжение, можно рассматривать аналогично колебаниям струны с тем лишь дополнением, что число независимых переменных, входящих в дифференциальное уравнение, будет теперь равно трём вместе двух [1, 2].

Уравнение движения мембраны имеет вид:

agal01.wmf

где U перемещение

В случае колебательного движения, т.е. agal03.wmf оно примет вид

agal04.wmf (1)

Аналогичные уравнения могут быть получены для потенциалов перемещений при плоском движением упругого тела.

Рассмотрим следующей класс частных решений уравнения (1)

agal05.wmf (2)

В случае α = β, приравняв U из (2) нулю, т.е.

agal06.wmf,

получим agal07.wmf, что отвечает закреплению мембран на квадратном контуре (рис. 1). Полагая

agal08.wmf,

получим

agal09.wmf (3)

выражение частоты для квадрата со стороной l, что известно из литературы.

Теперь рассмотрим случай α ≠ β. Приравняв U из (2) нулю, получим

agal10.wmf (4)

Что соответствуют закреплению мембран на участках ABC (рис. 2)

Пологая agal11.wmf, получим (3), т.е. частота не зависит от α и β (от угла поворота сторон ABC многоугольника). В частности, при α = 0 имеем прямоугольную мембрану, закрепленную с двух противоположных сторон.

Сравним частоту колебаний квадрата (3) с частотами выписанной и описанной окружностей, которые определяются из уравнения

agal12.wmf (5)

где J0 – функции Бесселя нулевого порядка.

Из (5) для первой частоты

agal13.wmf (6)

Мембраны некруговой формы могут использоваться в ограждениях, для перекрытия оконных проемов, в качестве парусов на судах и.т.

Здесь рассматриваются свободные колебания мембран, закрепленных с двух сторон при различных закреплениях; аналогичные задачи могут быть рассмотрены и для пластин.

Изменяя отношения agal14.wmf можно менять форму мембраны при agal15.wmf имеет место квадратная мембрана; при L = 0 имеет место прямоугольная мембрана с двух сторон закрепленная, а с двух других свободная.

agalar1a.tif

Рис. 1. K = 0; K = 0.2; K = 0.5; K = 1.5; K = 1.8; K = 1.9; L = 1

agalar2.tif

Рис. 2. K = 0; K = 0.2; K = 0.5; K = 1.5; K = 1.8; K = 1.9; L = 0.2

agalar3.tif

Рис. 3. K = 0; K = 0.2; K = 0.5; K = 1.5; K = 1.8; K = 1.9; L = 0.5

agalar4.tif

Рис. 4. K = 0; K = 0.2; K = 0.5; K = 1.5; K = 1.8; K = 1.9; L = 0.8

На рисунках показаны четыре варианта (L = β/α) мембран, закрепленных с двух сторон по криволинейным за исключением первой, границам. Две другие границы, прямолинейные свободны. Также на рисунках показаны линии уровня мембран для U = K. На рис. 1 представлена квадратная мембрана, решение для которой известно.

Рис. 1. соответствует L = 1, т с квадратной мембране, рис. 2 L = 0,2, рис. 3 L = 0,5, рис. 4 L = 0,8.