Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,570

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИЙ

Распутина Е.И. 1 Осипов Г.С. 2
1 Государственный университет морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова
2 Сахалинский государственный университет
Проведено качественное исследование классической модели «хищник-жертва», осуществлена классификация особой точки системы и характера фазовых траекторий, получен общий интеграл системы. Приводятся математические модели динамики популяций с учетом эффекта насыщения их плотности на базе логистических функций. Получены формальные зависимости для определения собственных чисел характеристического уравнения, определяющего параметры поведения системы при отклонении от стационарного режима. Осуществлен синтез модели и проведен полный математический анализ влияния трофических функций на параметры взаимодействия популяций. Предложена унифицированная методика проведения исследования и классификации особых точек систем и их фазовых траекторий. Получены условия, определяющие параметры устойчивости исследуемых моделей популяционной динамики. Выполнено имитационное моделирования неклассической модели взаимодействия популяций в среде AnyLogic.
популяционная динамика
математическая модель
имитационное моделирование
1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2004. – 288 с.
2. Осипов Г.С. Исследование простейших моделей математической экологии в среде имитационного моделирования AnyLogic // Бюллетень науки и практики: Электрон. журн. – 2017. – №2 (15). – С. 8–22. Режим доступа: http://www.bulletennauki.com/osipov-1 (дата обращения 20.02.2017). DOI: 10.5281/zenodo.291803.
3. Осипов Г.С., Распутина Е.И. Исследование модели хищник-жертва с трофическими функциями // Постулат. – 2017. – № 2. – С. 7.
4. Осипов Г.С., Распутина Е.И. Исследование модели взаимодействия двух популяций с логистическими функциями // Научный электронный архив. – URL: http://econf.rae.ru/article/10507 (дата обращения: 20.02.2017).

Современный этап научного мировоззрения характерен синергетическим эффектом развития, достигаемым за счет проникновения методологий исследований, характерных для определенных отраслей научных знаний в смежные. Такой подход к познанию экосферы приводит к взаимному и одновременному обогащению используемых классических основ отдельных научных направлений, что может являться гарантом уменьшения или оптимизации воздействия техносферных изменений, инициируемых человеческой деятельностью, на общую среду обитания.

Популяционная динамика – один из разделов математического моделирования, который благодаря универсальности своего подхода и используемого математического аппарата широко используется при решении практически и социально значимых задач математической экологии, демографии и экономики. Основная цель исследований динамики популяций состоит в анализе и прогнозировании численности и плотности взаимодействующих популяций на определенном ареале.

Настоящее исследование посвящено комплексному анализу проблем поведения взаимодействующих популяций с позиций математического и имитационного моделирования.

Материалы и методы исследования

Проведем краткий качественный анализ классической модели «хищник-жертва» [1].

Рассматривается закрытый ареал, в котором обитают жертвы x и хищники y. Взаимодействие популяций описываются системой двух обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений:

ras001.wmf, (1)

где ras002.wmf – функции изменения плотностей особей жертв и хищников во времени t; ras003.wmf – мальтузианские параметры; ras004.wmf – коэффициенты межвидового взаимодействия.

Правые части системы (1) обращаются в ноль в точке

ras005.wmf.

В малой окрестности этой точки при ras006.wmf и ras007.wmf получим:

ras008.wmf (2)

Таким образом, точка ras009.wmf является невырожденной особой точкой типа «центр», все фазовые траектории системы образуют циклы, а общий интеграл находится так:

ras010.wmf.

В соответствии с системой (2) колебания плотности популяций будут осуществляться по закону

ras011.wmf.

На базе модели (1) построим систему с учетом естественной ограниченности плотности популяции жертв:

ras012.wmf (3)

где ras013.wmf – параметр внутривидовой конкуренции жертв.

В системе уравнений (3) есть невырожденная особая точка ras014.wmf с координатами:

ras015.wmf.

Классифицируем особую точку и определим характер поведения системы при малом отклонении от этой точки, для этого сделаем подстановку

ras016.wmf

и получим:

ras017.wmf

Для данной системы составим характеристическое уравнение:

ras018.wmf.

При выполнении условия

ras019.wmf

собственные числа будут комплексно-сопряженными с отрицательной действительной частью:

ras020.wmf.

Таким образом, точка ras021.wmf является «устойчивым фокусом», а фазовые траектории – «логарифмическими спиралями»

Дополним модель (3) логистической функцией для хищника:

ras022.wmf

где py – параметр внутривидовой конкуренции хищников.

В данном случае невырожденной особой точкой является точка с координатами:

ras023.wmf.

Составим систему дифференциальных уравнений для выявления характера поведения системы вблизи найденной особой точки:

ras024.wmf.

Характеристическое уравнение

ras025.wmf

ras026.wmf

Из характеристического уравнения видно, что действительная часть собственных чисел отрицательная.

Можно показать, что

ras027.wmf.

Тогда характеристическое уравнение может быть записано следующим образом:

ras028.wmf

Исходя из полученных соотношений можно получить оценку y0 снизу при которой корни характеристического уравнения будут комплексно-сопряженными:

ras030.wmf.

При выполнении такого условия корни характеристического уравнения определятся следующим образом:

ras031.wmf.

Значит, особая точка является «устойчивым фокусом», а фазовые траектории – «логарифмическими спиралями»

Исследуем модель взаимодействия популяций с трофическими функциями:

ras032.wmf или ras033.wmf,

где a – параметр насыщения; ky, qx – коэффициент изменения численности популяций от давления хищника.

Координаты невырожденной особой точки системы будут следующими:

ras034.wmf. (4)

Исследуем устойчивость системы в особой точке ras035.wmf для чего перейдем к переменным

ras036.wmf.

Разложим функцию ras037.wmf в ряд Тейлора в окрестности точки x0 сохраняя линейные члены:

ras039.wmf. (5)

Тогда система дифференциальных уравнений для определения собственных чисел будет иметь вид:

ras040.wmf.

Составим характеристическое уравнение системы:

ras041.wmf.

Очевидно, действительная часть собственных чисел положительна.

Из (4) следует, что

ras042.wmf,

тогда можно записать условие, при котором правая часть характеристического уравнения отрицательна:

ras043.wmf.

В этом случае. собственные числа являются комплексно-сопряженными с положительной действительной частью:

ras044.wmf.

Значит, особая точка является неустойчивым фокусом, фазовые траектории – логарифмические спирали

Рассмотрим неклассическую модель типа «хищник-жертва» с трофическими функциями и с функцией насыщения популяции жертв:

ras045.wmf (6)

Можно показать, что координаты невырожденной особой точки будут следующими:

ras046.wmf

Следствия: ras047.wmf.

Используя формулу (5) исследуем устойчивость системы в особой точке ras048.wmf. Получим следующую систему дифференцированных уравнений:

ras049.wmf

характеристическое уравнение для которой:

ras050.wmf

ras051.wmf.

Условие, при котором действительная часть характеристического уравнения отрицательна:

ras052.wmf. (7)

С учетом величин практических исходных данных выполнение условия (7) гарантирует, что особая точка является устойчивым фокусом, а фазовые траектории – логарифмическими спиралями.

Результаты исследования и их обсуждение

Проведем исследование обобщенной неклассической модели типа «хищник-жертва» с трофическими функциями и с функцией насыщения популяции жертв (6) в среде пакета имитационного моделирования AnyLogic, который поддерживает все известные в настоящее время парадигмы моделирования [2]. Исследование частных моделей взаимодействия популяций проведено, например, в работах [3, 4].

На рис. 1 представлена принципиальная схема модели в среде AnyLogic.

rasp1.tif

Рис. 1. Схема модели

При выбранных исходных данных

ras053.wmf

особая точка с координатами

ras054.wmf

является устойчивым фокусом (см. рис. 2 слева). Фазовые траектории – спирали, закручивающиеся против часовой стрелки от исходной точки внутрь к фокусу.

rasp2.tif

Рис. 2. Фазовые портреты системы с устойчивым и неустойчивым фокусом

Если условие (7) нарушено, то фокус становится неустойчивым (см рис. 2 справа). В этом случае фазовые траектории представляют собой спирали, раскручивающиеся против часовой стрелки от исходной точки, плотность популяций возрастает.

Выводы

Проведенное качественное и количественное исследование задач практической динамики популяций позволило связать воедино классический математический аппарат аналитических исследований и возможности современных идеологий имитационного моделирования, основанные на парадигме системно-динамического анализа.

Представленные в работе математические модели, формальные зависимости и оценки устойчивости получаемых решений апробированы и подтверждены в результате имитационных экспериментов, выполненных на базе аналитической платформы AnyLogic.

Предложенная методология научного исследования является унифицированной и позволяет строить стратегические модели необходимые для принятия управленческих решений с целью минимизации возможных негативных воздействий на экосферу и решать комплексные вопросы оценки характера взаимодействия конкурирующих сообществ и сложных социально-экономических объектов.


Библиографическая ссылка

Распутина Е.И., Осипов Г.С. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИЙ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2017. – № 3-1. – С. 28-33;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=11392 (дата обращения: 22.09.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074