Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,570

НОВЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ХИМИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

Мусабаев Т.Т. 1 Каюпов Т. 1 Сейлханова Д.К. 1
1 Евразийский технологический институт ЕНУ им. Л.Н. Гумилева
В статье проанализированы аналитические и численные решения линейных и нелинейных одномерных задач теплопроводности для цилиндрических, сферических и пластинчатых неоднородных тел, включая присутствие химически разнородных материалов, разделяющих различные среды, с учетом полного комплекта граничных условий. Аналитическое решение этих задач сведено к формуле с коэффициентом-указателем типа тел. Рассмотрены известные решения по расчету железобетонных тел и коэффициенты из нормативной литературы. Научная новизна данной работы заключается в учете непрерывной неоднородности коэффициента теплопроводности и внутренних источников тепловыделений. Получены численные решения нестационарных задач теплопроводности. Сравнение численных и аналитических решений тестовых задач доказывает достоверность полученных результатов. Эти решения, при наличии соответствующих коэффициентов, справедливы и для решения задач химических реакций с выделением тепла, влагопереноса, диффузии, коррозии трещинообразования и других задач, описываемых уравнением теплопроводности.
аналитическое и численное решение
линейные и нелинейные одномерные задачи
неоднородное тело
уравнение теплопроводности
1. Бухмиров В.В. Теоретические основы теплотехники. Основы тепломассообмена. –  Иваново: ГОУ ВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», 2009. – 102 с.
2. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел: монография. – М.: Изд-во АСВ. 2002. – С. 288. URL: http://elib.pstu.ru/vufind/Record/RUPSTUbooks56965 (дата обращения: 15.01.2018).
3. Каюпов Т., Сейлханова Д. Решение одномерных задач теплопроводности неоднородных тел // Бетон и железобетон – взгляд в будущее: научные труды III Всероссийской (II Международной) конференции по бетону и железобетону, Москва, 12–16 мая 2014 года. – С. 166–179.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. 2-е изд., исправленное. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 592 с.
5. Кузнецов Г.В. Разностные методы решения задач теплопроводности: учебное пособие / Г.В. Кузнецов, М.А. Шеремет. – Томск: Изд-во ТПУ, 2007. – 172 с.
6. Строительные нормы и правила: СНиП 2.03.04-84. Бетонные и железобетонные конструкции, предназначенные для работы в условиях воздействия повышенных и высоких температур. – М., 1984. – 180 с.

Расчет теплопроводности непрерывно неоднородных тел является новым направлением в физике твердых тел. В большинстве случаев подобные задачи решаются для слоистых тел классическими методами [1].

При решении одномерных задач для неоднородных тел в цилиндрических и сферических координатах уравнения методы решения и результаты во многом подобны [2]. При решении задачи теплопроводности неоднородных тел, эту закономерность можно распространить и на условно бесконечные пластины, разделяющих разные среды. В данной работе эти задачи объединены путем применения к их решению единого подхода.

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

mus01.wmf (1)

где r – ось направленная перпендикулярно плоскости рассматриваемого тела; η – указатель системы координат: 0 – декартовая; 1 – цилиндрическая; η = 2 – сферическая; r – объемный вес, кг/м3; с – удельная теплоемкость, Дж/(кг °С); в данной работе в отличие от [3] q(r) зависит от интенсивности внутренних источников тепловыделений, от воздействия химических реакций, от внутреннего трения, от радиационного поля, от прохождения электрического тока и др.; λT(r) – коэффициент теплопроводности, Вт/(м °С). Для различных тел λT(r) может возрастать, так и уменьшаться при увеличении температуры. Твердые тела уменьшают коэффициент теплопроводности. Коэффициент теплопроводности газов также зависит и от давления [1].

Во многих случаях ограждающие конструкции бывают конструктивно неоднородными, слоистыми. Например, в жилых застройках часто встречаются пласты: декоративный, ограждающий, теплоизоляционный, облицовочный и т.д. В данной постановке коэффициент теплопроводности имеет непрерывную неоднородность.

Аналитические решения

Пусть mus02.wmf, mus03.wmf.

Рассматривается стационарная задача теплопроводности, т.е. mus04.wmf. Тогда уравнение (1) приобретает вид

mus05.wmf (2)

Интегрируя (1) по r, получим

mus06.wmf; (3)

mus07.wmf, (4)

где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Граничные условия 1 рода.

Заданы законы размещения температуры на поверхности тела:

r = a, T = Ta; r = b, T = Tb; (5)

Подставляя в (3), получим

mus08.wmf

mus09.wmf (6)

Коэффициенты С1 и С2 определяются из решений систем уравнений (6):

mus10.wmf

mus11.wmf (7)

Граничные условия 2 рода.

Заданы законы распределения интенсивности теплового потока g на границах:

r = a, mus12.wmf; r = b, mus13.wmf; (8)

Подставляя в (4), получим

mus14.wmf; mus15.wmf. (9)

Граничные условия 3 рода.

Заданы законы конвективного теплообмена среды с поверхностью тела. Применяются в задачах при обтекании поверхности тела жидкостью или газом [1]:

mus16.wmf; mus17.wmf (10)

Здесь βа, βb – коэффициенты теплоотдачи внутренних и внешних поверхностей;

mus18.wmf – температура окружающей среды вблизи внутренних и внешних поверхностей.

Знак минус ставится, когда направление внешней нормали, рассматриваемой поверхности и оси r не совпадают.

Преобразуем граничные условия (9) в виде

mus19.wmf mus20.wmf (11)

и подставляем в (11) решение (3) и (4), тогда решение уравнения (1) определяется из решения системы уравнений

mus21.wmf

mus22.wmf (12)

При надобности, для описания различных сложных теплофизических процессов, можно составлять произвольные комбинации сумм граничных условий (5), (8) и (11). Из полученных систем уравнений определяются коэффициенты С1 и С2.

Граничные условия 4 рода.

Применяются в конструкциях, состоящих из различных слоев. В контакте любых двух слоев тел температура и интенсивность тепловых потоков равны:

mus23.wmf, (13)

где w1 и w2 – условные обозначения контактируемых двух тел. В данной постановке граничные условия четвертого рода не рассматриваются из-за непрерывной неоднородности рассматриваемого тела.

Полученные решения (12) имеют особые случаи при: m = 1 – η, m = k + 2 и k + η = –1.

Рассмотрим m = 1 – η: η = 0, m = 1, η = 1, m = 0 и η = 2, m = –1.

При η = 0, m = 1 уравнение (2) имеет вид

mus24.wmf (14)

Интеграл уравнения (14) для всех случаев m = 1 – η имеет вид:

mus25.wmf;

mus26.wmf, (15)

где C1 и C2 – произвольные постоянные.

При k + η = –1 имеются следующие альтернативы:

η = 0, k = –1, m = 1, η = 1, k = –2, m = 0, η = 2, k = –3, m = –1.

Для всех случаев k + η = –1 уравнение (14) имеет вид

mus27.wmf (16)

Интеграл уравнения (14) имеет вид

mus28.wmf;

mus29.wmf, (17)

где C1 и C2 – произвольные постоянные.

Рассмотрим m = k + 2. Количество таких вариантов может быть большим. Но частные случаи, когда тело однородное при m = 0, k = –2 и k = 0, m = 2 соответствует случаю (16) и решению (17). При других значениях m и k соответствует случаю (14) и решению (15).

На рис. 1 представлена эпюра распределения температуры в сечений цилиндрического железобетонного радиaционно-теплового экрана АЭС. Экран устанавливается за корпусом реактора и предназначен для снижения радиационных и тепловых воздействий, генерирующихся при работе атомного реактора, на находящиеся за ним строительные конструкции биологической защиты. Задача решена при различных вариантах неоднородности железобетона и значений внутренних источников тепла, обусловленных воздействием потока нейтронов при k = 0, q0 = ± 1000 Bт/м3 и следующих исходных данных: a = 1 м, b = 2 м, Ta = –40 °С, Tb = 20 °С, ba = bb = 35 Вт/(м2 °С). Граничные условия 3 рода.

Для решения сформулированной краевой задачи (1) вариационно-разностным методом. Тогда эквивалентный функционал метода Ритца [4] имеет вид

mus30.wmf (18)

Cистема алгебраических уравнений решена методом прогонки [5].

В табл. 1 показаны результаты численного и аналитического решений стационарной задачи при граничных условиях 3 рода в неоднородном теле (m = –1) при наличии внутренних источников тепловыделений при k = 0, q0 = 1000 Вт/м3 [2], a = 1 м, b = 2 м, Ta = –40 °С, Tb = 20 °С, βa = βb = 35 Вт/(м2 °С) [4].

Результаты численного расчета при разбиении толщины стенки на 10 интервалов практически совпадают с аналитическим решением (табл. 1). Для оценки зависимости коэффициента теплопроводности от температуры рассмотрена задача при a = 1 м, b = 2 м, Ta = –40 °С, Tb = 20 °С, βa = βb = 35 Вт м2 °С. Граничные условия 3 рода. Функция, аппроксимирующая график неоднородности жаростойкого бетона В30 [6] λ(T) = 3 – 0,007 T Вт/(м °С) [3].

Коэффициенты λ0 и m, используемые при аналитических решениях, определяются из граничных условий:

r = a, mus31.wmf

r = b, mus32.wmf

Откуда

mus33.wmf mus34.wmf

При необходимости аналогично можно получить формулу для определения k:

mus35.wmf

Решение получено при разбиении толщины стенки на 10 интервалов.

На рис. 2 показаны эпюры стационарного температурного поля в бетонном неоднородном теле для 3 итерации (табл. 2). Например, решения для шара обозначены как «Шар», «Ш-1» и «Ш-2». Решения в последних шагах практически совпадают.

На рис. 3 изображены эпюры нестационарного теплового поля в бетонном неоднородном теле через час, день и месяц (31 дней). Бетон имеет следующие теплофизические параметры λT(T) = 3 – 0,007 T Вт/(м °С), ρ = 2500 кг/м3, с = 920 Дж/(кг °C) и связаны с внешней средой (βa = 35 Вт/(м2 °С), βb = 35 Вт/(м2 °С), Tb = 20 °С). В начальный момент времени температура во всем теле равна 20 °С, нестационарный процесс начинается, когда на внутренней части температура среды установлена Ta = –40 °С. Использованы граничные условия третьего рода.

mus1.wmf

Рис. 1. Распределение температуры в неоднородном теле с внутренним источником тепловыделений q0 = 1000Bт/м3 при различных вариантах неоднородности: m = 0 и m = ± 1

mus2.wmf

Рис. 2. Решение нелинейной задачи теплопроводности

mus3.wmf

Рис. 3. Решение нелинейной нестационарной задачи теплопроводности

Таблица 1

Результаты численного и аналитического решений стационарной задачи при граничных условиях 3 рода

R, м

Пластина

Цилиндр

Шар

Пластина

Цилиндр

Шар

Пластина

Цилиндр

Шар

аналитика

аналитика

аналитика

численный

численный

численный

разница

разница

разница

1

–22,07

–18,11

–13,76

–22,08

–18,15

–13,83

0,01 %

0,04 %

0,07 %

1,1

7,47

16,75

26,5

7,42

16,72

26,41

0,05 %

0,03 %

0,09 %

1,2

34,23

46,25

58,12

34,15

46,22

58,02

0,08 %

0,03 %

0,09 %

1,3

57,21

69,89

81,58

57,11

69,86

81,47

0,09 %

0,03 %

0,10 %

1,4

75,45

87,19

97,19

75,35

87,17

97,09

0,09 %

0,02 %

0,09 %

1,5

87,97

97,65

105,12

87,87

97,64

105,03

0,09 %

0,01 %

0,09 %

1,6

93,8

100,81

105,45

93,71

100,8

105,38

0,09 %

0,01 %

0,07 %

1,7

91,95

96,15

98,19

91,88

96,15

98,14

0,07 %

0,00 %

0,05 %

1,8

81,46

83,21

83,28

81,42

83,21

83,25

0,04 %

0,00 %

0,03 %

1,9

61,35

61,48

60,63

61,33

61,49

60,63

0,02 %

0,01 %

0,00 %

2

30,64

30,48

30,11

30,65

30,5

30,14

0,01 %

0,02 %

0,03 %

 

Таблица 2

Эпюры температуры для 3 итерации

R, м

Пластина

Цилиндр

Шар

П-1

Ц-1

Ш-1

П-2

Ц-2

Ш-2

1

–32,61

–29,55

–26,05

–32,21

–29,05

–25,47

–32,21

–29,04

–25,47

1,1

–28,09

–23,45

–18,32

–27,97

–23,31

–18,17

–27,96

–23,3

–18,16

1,2

–23,57

–17,89

–11,88

–23,69

–18,01

–11,99

–23,67

–18

–11,98

1,3

–19,04

–12,77

–6,42

–19,36

–13,07

–6,69

–19,35

–13,06

–6,68

1,4

–14,52

–8,04

–1,75

–14,99

–8,45

–2,08

–14,98

–8,44

–2,08

1,5

–10

–3,62

2,31

–10,57

–4,1

1,95

–10,56

–4,09

1,95

1,6

–5,48

0,5

5,86

–6,11

0,01

5,5

–6,1

0,01

5,51

1,7

–0,96

4,38

8,99

–1,6

3,9

8,67

–1,6

3,9

8,67

1,8

3,57

8,03

11,78

2,95

7,61

11,5

2,95

7,61

11,51

1,9

8,09

11,49

14,27

7,56

11,14

14,06

7,56

11,14

14,06

2

12,61

14,77

16,51

12,21

14,52

16,37

12,21

14,52

16,37

 

Толщина стенки при a = 1 м, b = 2 м разбита на 10 интервалов. Шаг по времени в каждом рассматриваемом периоде разбит на 100 интервалов: первый час разделен на интервал по 36 сек; оставшиеся 23 часа первого дня по 828 сек; оставшиеся 30 дней месяца по 25920 сек.

Как видно из эпюр температурного поля (рис. 3), в начальный момент времени во всех рассматриваемых телах законы распределения температурного поля по сечению близки и количественно, и качественно. С течением времени решения стремятся к решению стационарных задач (рис. 2).

Исходя из проведенных расчетов, можно сделать заключение о значительном влиянии на температурное поле внутреннего тепла разогрева и неоднородности материала.

В данной работе q(r) является переменной величиной, которая позволит решать задачи химических реакций, радиационного поля, электрического тока и др. Эти решения, при наличии соответствующих коэффициентов, справедливы и для решения задач влагопереноса, диффузии, коррозии и трещинообразования и других задач, описываемых уравнением теплопроводности.


Библиографическая ссылка

Мусабаев Т.Т., Каюпов Т., Сейлханова Д.К. НОВЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ХИМИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2018. – № 2. – С. 70-75;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12110 (дата обращения: 24.09.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074