Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

ПРИМЕНЕНИЕ МУЛЬТВЕЙВЛЕТОВ К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Кудуев А.Ж. 1 Турсунов Э.А. 1 Абдыкалык Ж.А. 2 Турсунов Д.А. 3
1 Ошский государственный университет
2 Ошский государственный юридический институт
3 Филиал Российского государственного социального университета
При помощи всплесков (вейвлетов) можно анализировать кратковременные локальные особенности сигналов. Поэтому исследователям уже стало известно, что мультивсплески обладают существенными преимуществами по сравнению с преобразованием Фурье. Самым отличительным свойством мультивсплесков является то, что они позволяют построить базис. И в этом базисе данные могут выражаться небольшим количеством ненулевых коэффициентов. А это как раз подходит для сжатия данных (рисунков, видео, аудио и т.п.). Сегодня мультивсплески применяются во всех сферах современной науки и техники. В данной статье рассматривается применение кубических сплайн-всплесков к численному решению двухточечных краевых задач Неймана для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Полуортогональные кубические Эрмитовы мультивсплески на суперкомпактном носителе, равном носителю базисного сплайна, построены относительно скалярного произведения с производными. Всплески принадлежат классу непрерывных функций и имеют меньший. Также построены модифицированные базисные сплайн-всплески вблизи граничных точек. Полученные численные результаты демонстрируют преимущество построенных базисных полуортогональных кубических Эрмитовых сплайн-всплесков. Следует отметить, что численные результаты показывают, что точность приближенного решения улучшается с увеличением точек в сетке. И количество точек в сетке не влияет на число обусловленности определяющей матрицы.
всплеск
мультивсплеск
сплайн-всплеск
Эрмитов кубический сплайн
краевая задача
численное решение
1. Grossmann A., Marlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape. SIAM J. Math. Anal. 1984. no. 15. P. 723–736. DOI: 10.1137/0515056.
2. Шумилов Б.М. О сплайн-вейвлетах, полуортогональных с производными, и алгоритме с расщеплением // Сиб. журн. вычисл. матем. 2017. Т. 20. № 1. C. 107–120. DOI: 10.15372/SJNM20170108.
3. Сулайманов З.М., Шумилов Б.М. Алгоритм с расщеплением вейвлет-преобразования кубических сплайнов на неравномерной сетке // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57. № 10. С. 1600–1614. DOI: 10.7868/S004446691710012X.
4. Демьянович Ю.К., Пономарев А.С. О реализации сплайн-всплескового разложения первого порядка // Численные методы и вопросы организации вычислений. XXIX, Зап. научн. сем. ПОМИ. 2016. № 453. С. 33–73.
5. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Интерполяционные всплески в краевых задачах // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22. № 4. С. 257–268. DOI: 10.21538/0134-4889-2016-22-4-257-268.
6. R.-Q. Jia, S.-T. Liu. Wavelet bases of Hermite cubic splines. Adv. Comput. Math. 2006. no. 25. P. 23–39.
7. Турсунов Д.А. Применение эрмитовых мультивейвлетов седьмой степени для решения дифференциальных уравнений четвертого порядка // Известия АлтГУ. 2013. С. 72–75.
8. Турсунов Д.А. Применение сплайн-вейвлетов для решения интегро-дифференциальных уравнений // Известия АлтГУ. 2011. С. 42–44.
9. Турсунов Д.А., Эшаров Э.А., Бекмуратов А.Т. Численное решение интегро-дифференциальных уравнений с помощью эрмитовых сплайн-вейвлетов // Вестник КРСУ. 2010. Т. 10. № 9. С. 140–142.
10. Brenner S.C., Scott L.R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods (Texts in Applied Mathematics). Volume 15: 3rd ed. Springer-Verlag New York. 2008. 400 p. DOI: 10.1007/978-0-387-75934-0.

Автором термина «вейвлет» (wavelet) являются Гроссманн (Grossmann) и Морле (Morlet). Они в середине 1980-х гг. при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов ввели этот термин [1]. Их работа послужила толчком исследования вейвлетов рядом ученых, таких как Добеши, Мейер, Малл, Фарж, Чуи и др. Термин «вейвлет» звучит как маленькая или короткая волна. Малость относится к условию, что эта функция имеет конечную длину (компактный носитель). Волна относится к условию, что функция колебательная (осциллирующая). В некоторых русскоязычных литературах термин «вейвлет» переведен как «всплеск». Далее мы используем этот термин. К всплеску можно применить две операции: сдвиг и масштабирование. Под сдвигом понимается перемещение области его локализации во времени; а под масштабированием растяжение или сжатие, т.е. перемещение области его локализации по частоте. Использование операций сдвиг и масштабирование, с учетом свойства локальности всплеска в частотно-временной области, позволяет нам анализировать данные на различных масштабах и точно определять положение их характерных особенностей во времени [2, 3]. В работе [4] исследованы реализации сплайн-всплескового разложения первого порядка. А в [5] интерполяционные всплески применены в краевых задачах Дирихле в круге для однородного уравнения с оператором Лапласа.

В [6] было доказано, что полуортогональные кубические мультивсплески на суперкомпактном носителе, равном носителю базисного сплайна, можно построить относительно скалярного произведения с производными. В [3] для случая сплайнов третьей степени получен алгоритм всплеск-преобразования в виде решения трехдиагональной системы линейных уравнений со строгим диагональным преобладанием. Представлены результаты численных экспериментов по вычислению производных дискретно заданной функции. Применение эрмитовых мультивсплесков седьмой степени для решения дифференциальных уравнений четвертого порядка рассмотрено в [7].

Цель исследования: применить Эрмитовы кубические сплайн-всплески к численному решению обыкновенных дифференциальных уравнений и показать преимущества предлагаемого метода.

Результаты исследования и их обсуждение

Введем следующие обозначения:

H1(0,1) – пространство непрерывных функций на интервале (0,1), т.е. kud01.wmf таких, что kud02.wmf;

kud03.wmf – замыкание множества kud04.wmf в H1(0,1);

П3 – множество кубических многочленов;

Vn – пространство кубических сплайнов, удовлетворяющих следующим условиям, n > 0:

а) kud05.wmf;

б) kud06.wmf;

в) kud07.wmf,

kud08.wmf j = 0,…,2n –1;

kud09.wmf,

C(An) – число обусловленности матрицы An.

Ранее построенные всплески, например вейвлеты Добеши, Мейер, Малл, Фарж, Чуи и др., не имеют аналитического представления и расположены на достаточно широком носителе. Эти свойства можно считать недостатками всплесков. Аналитическое представление всплесков с суперкомпактным носителем удачно подходит к применению всплесков для численного анализа. В работах [6] предложен новый подход к построению базисных всплесков с суперкомпактным носителем на пространстве эрмитовых кубических сплайнов, т.е. всплески ортогональны со скалярным произведением производных kud10.wmf. Всплески ортогональные со скалярным произведением производных kud11.wmf лучше подходят для применения мультивсплесков к численному решению дифференциальных уравнений второго порядка. В работах [8, 9] эти всплески применены для решения интегро-дифференциальных уравнений второго порядка.

Пусть f1 и f2 кубические сплайны вида [8, 9]:

kud12.wmf

kud13.wmf

где kud14.wmf – характеристическая функция, kud15.wmf, при kud16.wmf и kud17.wmf, при kud18.wmf.

Множество kud19.wmf, является базисом для пространства Vn. Элементы множества Фn обозначим через kud20.wmf.

Множество всплесков обозначим через Ψn:

kud21.wmf

Пространство, натянутое на множество всплесков, обозначим через Wn. Нетрудно заметить, что размерность этого пространства kud22.wmf.

Всплески Ψ1, Ψ2 конкретизируются ниже.

В работе [6] доказано следующее равенство:

kud23.wmf (1)

Пересечение пространств сплайнов Vn и всплесков Wn не пустое, т.е. kud24.wmf. Как отмечено выше, размерности этих пространств kud25.wmf, kud26.wmf и если учитывать, что cумма kud27.wmf то

dim(Vn + Wn) = dim(Vn) + dim(Wn) = 2n + 1 + 2n + 1 = 2n + 2 = dim(Vn + 1).

Отсюда получаем, что Vn + 1 = Vn⊕Wn, т.е. V n + 1 = Vn⊕Wn, Vn = Vn–1⊕Wn–1, ..., V3 = V2⊕W2, V2 = V1⊕W1. Таким образом, получаем разложение пространства kud28.wmf:

kud29.wmf

Как отмечено выше, F1 = {v1, v2, v3, v4}; а элементы множества вейвлетов Yn обозначим через Yn = {w2 n + 1,…, w2 n + 2}, n∈N.

Теперь приступим к построению базиса Рисса.

Введем обозначение, пусть gk: = vk/||v'k||2 при k = 1,2,3,4 и gk: = wk/||w'k||2 при k > 4. Тогда ||g'k||2 = 1 при n∈N. Последовательность (g'k)k∈N является последовательностью Рисса в L2(0,1) [8, 9].

Очевидно, что эрмитовы кубические сплайны f1 и f2 удовлетворяют условиям

kud30.wmf

Поэтому эрмитова интерполяция для непрерывно дифференцируемой функции в оси kud31.wmf имеет следующий вид:

kud32.wmf

где kud33.wmf.

Пусть пространство S представляет собой инвариантное пространство сдвигов, порожденное сплайнами f1 и f2. В таком случае, функция g принадлежит пространству S тогда и только тогда, когда существуют две последовательности b1, b2 на множестве целых чисел Z, для которых выполняется равенство [8, 9]:

kud34.wmf

Пусть S1 = {g(2•): g∈S}, тогда S⊂S1. Мы ищем пространство всплесков W, для которого выполняется условие S1 = S⊕W, т.е. «дополняет» пространство S до S1. Мы ищем два всплеска ψ1, ψ2, сдвиги которых порождают пространство всплесков W. Учитывая (1), также требуем выполнение равенств

kud35.wmf

kud36.wmf (2)

Для этой цели нам необходимо вычислить скалярное произведение производных сдвигов кубических эрмитовых сплайнов f1 и f2. Заметим, что

kud37.wmf

kud38.wmf

Предположим, что искомые всплески имеют вид

kud39.wmf

Вычисляя скалярное произведение с производными, получим

kud40.wmf

kud41.wmf

kud42.wmf

kud43.wmf

Чтобы найти неизвестные коэффициенты, введем преобразование Лапласа последовательностей b1, b2 на множестве целых чисел. Здесь положительная или отрицательная степень z означает сдвиг на один шаг по шаблону узлов эрмитового сплайна вправо или влево. Тогда

kud44.wmf

kud45.wmf

Составляем функциональное уравнение. Решение функционального уравнения

kud46.wmf

где z∈C\{0}, j∈Z, kud47.wmf,

kud48.wmf,

будет означать, что скалярное произведение с производными равняется нулю, т.е.

kud49.wmf

Решая функциональное уравнение, находим два линейно независимых решения:

kud50.wmf

и

kud51.wmf

Эти два решения порождают искомые всплески y1, y2, их также называют материнскими всплесками:

kud52.wmf

kud53.wmf

Носителями построенных всплесков ψ1, ψ2 является отрезок от –1 до 1, они удовлетворяют условию (2), и их сдвиги генерируют пространство всплесков W, так что S1 является прямой суммой S и W. Кроме того, y1 – симметричен, а y2 – антисимметричен.

Теперь мы построим всплеск-базис в пространстве kud54.wmf из этих сплайн-всплесков. Пусть выполняется равенство (1) и kud55.wmf, тогда имеем, что для любого натурального n выполняется соотношение

kud56.wmf

Отсюда, получаем равенство

kud57.wmf

Пусть, при kud58.wmf:

kud59.wmf при kud60.wmf

kud61.wmf при kud62.wmf

kud63.wmf

kud64.wmf

Тогда имеем

kud65.wmf

Ясно, что пространство V1 разлагается на kud66.wmf. Отсюда следует, что kud67.wmf разлагается на kud68.wmf, здесь kud69.wmf, kud70.wmf, k = 1, 2,..., n–1, j = 1,…,2n.

Нетрудно доказать, что kud71.wmf является базисом Рисса в L2(0,1), или можно посмотреть [6].

Применение. В этом разделе мы используем построенные всплески для решения дифференциальных уравнений второго порядка вида

kud72.wmf, (3)

с граничным условием Неймана

u'(0) = u'(1) = 0, (4)

где kud73.wmf. Коэффициенты уравнения (4) удовлетворяют условиям: 0 ≤ p(x) ≤ c3, 0 ≤ q(x) ≤ c4, x∈[0,1].

Если q(x)≡0, то для разрешимости задачи (3)–(4) требуем выполнение условия

kud74.wmf

Введем билинейную форму a(u, v):

kud75.wmf

где kud76.wmf.

Учитывая билинейную форму, задачу (3)–(4) можно записать в виде

kud77.wmf

Отсюда получаем задачу Галеркина:

Найти kud78.wmf, для которых выполняется равенство

a(un, v) = <f, v> ∀v∈Vn. (5)

Задача (5) имеет единственное решение [10]. Мы будем использовать выше построенное множество всплесков G = {g1,…,g2n + 1} как базис для пространства Vn. Тогда задача (5) дискретизируется следующим образом:

kud79.wmf.

Введем обозначение kud80.wmf.

Экспериментальная часть. Ниже привели применение построенных базисных всплесков Gn к конкретным дифференциальным уравнениям.

Вычисления проведены в системе MathCad 15.

Пример 1. –u'' + u = 2t3–3t2–12t + 6, u'(0) = u'(1) = 0.

Точное решение u(t) = 2t3–3t2,

численное решение u16(t) = –5,821×10–6 g1(t)–1,095g2(t)–1,549g3(t)–0,548g4(t)–

–1,736×10-7 g5(t)–2,021×10–11 g6(t) + 1,742×10–7 g7(t) + 6,122×10–7 g8(t) +

+ 2,205×10–6 g9(t) + 3,702×10–7g10(t) + 1,044×10–6 g11(t) + 9,274×10–7g12(t) +

+ 5,646×10–7g13(t)–1,312×10–6 g14(t) + 3,148×10–6 g15(t) + 4,187×10–7g16(t);

||u(t)–u4(t)||2 = 3,933×10–6, ||u(t)–u8(t)||2 = 3,933×10–6, ||u(t)–u16(t)||2 = 3,933×10–6,

С(A4) = 19,69; С(A8) = 19,69, С(A16) = 19,69.

Пример 2. –u'' + etu = p2cos(pt) + etcos(pt), u'(0) = u'(1) = 0.

Точное решение u(t) = cos(pt),

численное решение u8(t) = 1,556g1(t)–2,771×10-6 g2(t)–1,556g3(t)–1,179g4(t)–

–0,026g5(t) + 5,798×10–7g6(t) + 0,026g7(t) + 0,029g8(t);

||u(t)–u4(t)||2 = 2,389×10–3, ||u(t)–u8(t)||2 = 2,092×10–4, ||u(t)–u16(t)||2 = 1,468×10–5,

С(A4) = 1,723; С(A8) = 2,342, С(A16) = 3,201.

Пример 3. –u'' + u' + u = t4 + 2t3–17t2 + 14t–2, u'(0) = u'(1) = 0.

Точное решение u(t) = t2(1–t)2,

численное решение: u8(t) = 3,502×10-3 g1(t) + 0,142g2(t) + 3,331×10-3 g3(t)–1,503×10-5 g4(t)–

–0,019g5(t)–0,026g6(t)–0,019g7(t) + 5,576×10-5 g8(t);

||u(t)–u4(t)||2 = 1,37×10–3, ||u(t)–u8(t)||2 = 1,528×10–4, С(A4) = 20,9; С(A8) = 21,21.

Следует отметить, что численные результаты показывают, что точность улучшается с повышением n. И значение n не влияет на число обусловленности матрицы An.

Работа выполнена при поддержке МОиН КР.


Библиографическая ссылка

Кудуев А.Ж., Турсунов Э.А., Абдыкалык Ж.А., Турсунов Д.А. ПРИМЕНЕНИЕ МУЛЬТВЕЙВЛЕТОВ К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2019. – № 6. – С. 153-158;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12785 (дата обращения: 14.07.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674