Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ

Иманалиев З.К. 1 Аширбаев Б.Ы. 1
1 Кыргызский государственный технический университет им. И. Раззакова
В данной работе на основе методов разделения движений и проблемы моментов предложен алгоритм построения равномерных нулевых асимптотических приближений к оптимальному управлению, приводящему к нахождению приближенного оптимального решения линейной сингулярно-возмущенной задачи оптимального управления с минимальной энергией. Эквивалентная система, полученная при полном разделении переменных состояний линейной стационарной сингулярно-возмущенной управляемой системы, обладает всеми свойствами исходной системы. Она состоит из двух подсистем низкого порядка, решения которых находится независимо, причем они связаны только управляющей функцией. Полученная оптимальная траектория задачи удовлетворяет всем граничным условиям и состоит из трех составляющих, первое из которых формирует магистраль, остальные осуществляют переходы от начального состояния на магистраль и с магистрали на конечное состояние. Термин «магистраль» употребляемый в математической экономике может служит синонимом нулевого члена регулярного ряда для быстрой переменной составляющей. Поправка к первому приближению не представляет трудности, то есть все изложенные процедуры для рассматриваемой системы аналогично повторяются для высших приближений. Предлагаемый подход сочетает в себе приемы асимптотических и приближенных методов анализа. Совместное использование методов разделения движений и проблемы моментов позволяет обходить трудности, связанные при применении Принципа максимума с недостаточными краевыми условиями. В работе рассмотрен численный пример подтверждающий теоретические выводы.
сингулярно-возмущенные системы
быстрые и медленные переменные
асимптотические приближения
оптимальная траектория
оптимальное управление с минимальноей энергией
магистраль
1. Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. С. 3–51.
2. Воропаева Н.В. Декомпозиция разнотемповых динамических систем со слабой диссипацией // Вестник СамГУ. Естественно-научная серия. 2013. № 9/2 (110). С. 5–10.
3. Соболев В.А., Осинцев М.С. Метод интегральных многообразий в задачах оптимального управления сингулярно-возмущенными системами // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014, ИПУ РАН. 2014. С. 769–779.
4. Воропаева Н.В. Декомпозиция задач управления разнотемповых систем с дискретным временем // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014, ИПУ РАН. 2014. С. 842–848.
5. Иманалиев З.К., Аширбаев Б.Ы. Разделение медленных и быстрых процессов в сингулярно-возмущенной управляемой системе // Известия КГТУ им. И. Раззакова. 2008. № 12. С. 173–178.
6. Иманалиев З.К., Кадыров Ч.А. Исследование задачи об оптимальном управлении для системы с разнотемповыми движениями в энергетическом пространстве // Автоматика и программная инженерия. 2017. № 2 (20). С. 121–125.
7. Калинин А.И. Асимптотический метод решения задачи об управлении с минимальной силой для линейной сингулярно-возмущенной системы // Ж. Вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 12. С. 2115–2125.
8. Калинин А.И., Лавринович Л.И. Сингулярные возмущения в линейно-квадратичной задаче оптимального управления // Докл. Национальной академии наук Беларуси. 2016. Т. 60. № 2. С. 31–34.
9. Даник Ю.Э., Дмитриев М.Г. Математические проблемы динамики неоднородных систем. Магистральные траектории в экономике и сингулярные возмущения // Труды ИСА РАН. 2015. Т 65. № 1. С. 60–67.
10. Дмитриев М.Г., Сачков Ю.Л. Асимптотическое решение сингулярно-возмущенной задачаи оптимального управления, связанной с восстановлением поврежденной кривой // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 11. С. 1381–1389. DOI: 10.1134/S0374064113110034.
11. Гребенникова И.В. Аппроксимация решения в минимаксной задаче управления сингулярно-возмущенной системой с запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2011. № 10. С. 28–39.
12. Калашникова М.А. Асимптотика приближения нулевого порядка решения трехтемповой линейно-квадратичной задачи оптимального управления // Моделирование и анализ информационных систем. 2015. Т. 22. № 1. С. 85–104.
13. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.
14. Викторов Б.В. Особенности поведения систем управления с резко отличными темпами составляющих движения //Изв. АН СССР, сер. Техн. Кибернетика. 1967. № 5. С. 190–195.
15. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

Теория и применение сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений в настоящее время активно развивается и применяется для решения широкого круга задач в различных отраслях науки. Такие системы появляются естественным образом в процессе моделирования и исследования объектов различной природы, способных одновременно совершать быстрые и медленные движения.

В сингулярно-возмущенных задачах эти системы являются жесткими и, как следствие, при вычислениях возникают серьезные трудности, выражающиеся в недопустимо большом времени счета и неизбежном накоплении вычислительных ошибок. Поэтому возрастает роль асимптотических методов, тем более, что при их применении происходит декомпозиция исходной задачи оптимального управления на задачи меньшей размерности.

Задачи оптимизации таких систем в различных постановках исследовались многими авторами [1]. Следует отметить, что нахождение допустимого управления с использованием метода разделения движений относится к перспективным методам оптимального управления [2–4]. Задача разделения движений сингулярно-возмущенной управляемой системы были предметом исследования и в наших работах [5, 6].

Данная работа посвящена построению асимптотических приближений к решению задачи оптимизации переходного процесса в линейной сингулярно-возмущенной системе. Эта задача состоит в нахождении допустимого управления с минимальными энергетическими затратами [7, 8] и построении оптимальной траектории обладающей магистральными свойствами [9]. Такие исследования начаты относительно давно, но сохраняют свою актуальность по настоящее время, о чем свидетельствуют новейшие работы, на эту тему в различной постановке [10–12].

Постановка задачи

Пусть управляемый процесс описывается сингулярно-возмущенной системой вида

imanul01.wmf (1)

где

imanul02.wmf

imanul03.wmf imanul04.wmf imanul05.wmf imanul06.wmf – постоянные матрицы, imanul07.wmf

imanul08.wmf imanul09.wmf imanul10.wmf – малый параметр, штрих обозначает транс- понирование.

Рассмотрим задачу перевода объекта (1) из некоторого состояния

imanul11.wmf (2)

в состояние

imanul12.wmf (3)

при этом функционал

imanul13.wmf (4)

принимал наименьшее возможное значение.

Предполагается, что система (1) вполне управляема. Функционал (4) можно рассматривать как квадрат нормы функции u(t) в пространстве imanul14.wmf Так как норма imanul133b.wmfдостигает минимума со своим квадратом в imanul15.wmf то необходимо выбрать среди допустимых решений задачи программного управления (задача о переводе системы (1) из заданной начальной точки (2) в конечную точку (3)) такое решение, которое имеет минимальную норму в imanul16.wmf [13].

Такое решение (с минимальной нормой) существует, если компоненты импульсной переходной вектор-функции линейно независимы и это условие выполняется, если заданная система вполне управляема [13]. По предположению система (1) вполне управляема.

Предположим также, что корни характеристического уравнения матрицы A4 удовлетворяют неравенству

imanul17.wmf (5)

В управляемых системах функционал (4) используется как критерий минимума затрат энергии на управление [13]. Поэтому данную задачу с минимальной нормой, иначе назовем задачей с минимальной энергией.

При выполнении условий (5), как показано в [2] систему (1) можно заменить эквивалентной системой, у которой разделены медленные x(t) и быстрые z(t) составляющие вектора состояния:

imanul18.wmf (6)

imanul19.wmf

где

imanul20.wmf (7)

imanul21.wmf

imanul22.wmf

Матрицы imanul23.wmf и imanul23a.wmf определяются из уравнения:

imanul24.wmf (8)

imanul25.wmf

Граничные условия системы (6) определяются соотношениями:

imanul26.wmf (9)

где

imanul27.wmf

imanul28.wmf

Теперь сформулируем задачу об управлении с минимальной энергией для системы (6) следующим образом: требуется найти управление imanul29.wmf среди всех допустимых управлений доставляющие минимум функционалу (4) при ограничениях (6), (7).

При μ = 0 из (1) получаем

imanul30.wmf (10)

imanul31.wmf

где imanul32.wmf

Задача (4), (10) является предельной к задаче (1)–(4). Поведение системы (1) или (6) в окрестности граничных точек существенно отличается от поведения системы (10). Поэтому рассмотрим систему

imanul33.wmf (11)

imanul34.wmf

Система (11) аппроксимирует систему (1) с точностью порядка μ, т.е. она является асимптотической с точностью О(μ) и получается из (6) при следующих приближениях:

imanul35.wmf (12)

imanul36.wmf imanul37.wmf imanul38.wmf imanul39.wmf

Граничные условия системы (11) определяются соотношениями:

imanul40.wmf (13)

Заметим, что системы (10) и (11) отличаются только вторыми уравнениями. Поэтому решение задачи (4), (6), (7) построим для системы (11). Поправка к первому приближению не представляет трудности, т.е. все изложенные процедуры для системы (11) аналогично повторяются для высших приближений. Следует заметить, что быстрая подсистема системы (11) рассматривается на большом промежутке времени, поэтому коэффициенты этой подсистемы считаются медленно меняющимся функциями [14].

Решение задачи

Решения системы (11) можно представить в виде

imanul42.wmf (14)

imanul43.wmf (15)

где imanul44.wmf – переходная матрица медленной подсистемы (11).

В силу соотношения (14) ограничение imanul45.wmf приводит к тому, что искомое управление imanul46.wmf должно удовлетворять условию

imanul47.wmf (16)

где imanul48.wmf

Управление imanul49.wmf удовлетворяющее моментному соотношению (16) и доставляющее минимум функционалу (4), определяется формулой [13]

imanul50.wmf (17)

где imanul51.wmf

Тогда оптимальные траектории imanul52.wmf imanul53.wmf системы (11), соответствующее оптимальному управлению (17) записываются в виде:

imanul54.wmf (18)

imanul55.wmf (19)

где imanul56.wmf определяется из (17).

При t = t0 и t = t1 из (19) получаем:

imanul57.wmf imanul58.wmf (20)

В силу соотношений (15), (19), (20) разность векторов imanul59.wmf определяет оптимальную траекторию задачи (4), (11), (13) в форме

imanul60.wmf (21)

imanul61.wmf

Для задачи (4), (11), (13) определим управление в виде

imanul62.wmf (22)

где imanul63.wmf – пограничная функция, которая имеет экспоненциальный характер убывания.

Управление imanul64.wmf имеющее минимальную норму и переводящее медленную подсистему (11) из начального состояния x(t0) = x0 в конечное состояние x(t1) = x1 известно. Теперь остается построить управление imanul65.wmf

При t = t1 с учетом (4), (22) из (21) получим

imanul66.wmf (23)

imanul67.wmf (24)

где

imanul68.wmf (25)

Решение задачи (23), (24) согласно проблемы моментов записывается в виде [13]

imanul69.wmf (26)

где

imanul70.wmf (27)

Управление imanul71.wmf переводит быструю подсистему систем (11) из начального состояния imanul72.wmf в конечное состояние imanul73.wmf имеет минимальную норму и при λ→+∞ (μ→0) стремится к нулю.

С учетом (26) из (21) будем иметь

imanul74.wmf (28)

imanul75.wmf

где imanul76.wmf

Матрица F(t, t0) в (28) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению [15]

imanul77.wmf imanul78.wmf (29)

По условию (5) A4 – устойчивая матрица, поэтому несобственный интеграл в (27) сходится и является единственным решением алгебраического матричного уравнения [15]

imanul79.wmf (30)

Введем в (29) замену переменной

imanul80.wmf (31)

Тогда с учетом (30) из (29) имеем

imanul81.wmf imanul82.wmf (32)

Решение матричного уравнения (32) имеет вид [15]

imanul83.wmf (33)

Тогда с учетом замены (31)

imanul84.wmf (34)

Подставляя (34) в (28) получаем

imanul85.wmf (35)

imanul86.wmf

Оптимальная траектория imanul87.wmf удовлетворяет всем граничным условиям (13) и для нее имеет место следующее предельное соотношение

imanul88.wmf

Траектория функции

imanul89.wmf (36)

формирует «магистраль». Оптимальная траектория процесса, выходя из начальной точки направляется к магистрали, и в течении достаточно долгого времени находится вблизи этой линии (при достаточно малых μ), и уходит с неё для достижения заданного конечного состояния.

Введем следующие значения параметров системы (1):

imanul90.wmf, imanul91.wmf, imanul92.wmf

imanul93.wmf imanul94.wmf

Корни характеристического уравнения матрицы A4 удовлетворяют неравенству (5):

imanul95.wmf

Согласно (12) находим: imanul96.wmf

imanul97.wmf imanul98.wmf imanul99.wmf

Находим переходную матрицу imanul100.wmf, используя преобразования Лапласа [15]:

imanul101.wmfimanul102.wmf (37)

imanul103.wmf

Далее вычисляем элементы матриц W из (17) при t0 = 0, t1 = 1:

imanul104.wmf

При фиксированных начальных и конечных условиях:

imanul105.wmf imanul106.wmf (38)

imanul107.wmf imanul108.wmf (39)

согласно (17) получаем оптимальное управление imanul109.wmf имеющее минимальную норму и переводящее медленную подсистему (11) из начального состояния (38) в конечное состояние (39):

imanul110.wmfimanul111.wmf (40)

Теперь построим управление imanul112.wmf, которые переводит быструю подсистему систем (11) из начального состояния

imanul113.wmf (41)

в конечное состояние

imanul114.wmf (42)

имеет минимальную норму и при λ→+∞ (μ→0) стремится к нулю.

Переходная матрица imanul115.wmf и α2 из (25) при μ = 0,01, t0 = 0, t1 = 1 имеют вид:

imanul116.wmf

imanul117.wmf (43)

Далее вычисляем Θ из (26) и Θ-1:

imanul118.wmf, imanul119.wmf

Управление imanul120.wmf, которые переводит быструю подсистему систем (11) из начального состояния (41) в конечное состояние (42) согласно (26) записываем в виде

imanul121.wmf (44)

Магистраль imanul122.wmf и пограничные функции imanul123.wmf и imanul123a.wmf имеют вид:

imanul124.wmf (45)

imanul125.wmf (46)

imanul126.wmf (47)

imanul127.wmf

imanul128.wmf

Результаты моделирование оптимального управления imanul129.wmf имеющее минимальную норму и переводящее медленную подсистему (11) из начального состояния (38) в конечное состояние (39) согласны (40) показаны на рис. 1.

imanal1.tif

Рис. 1. Оптимальное управление медленной подсистемы

imanal2.tif

Рис. 2. Оптимальное управление быстрой подсистемы

imanal3.tif

Рис. 3. Оптимальная траектория процесса

Результаты моделирование оптимального управления imanul130.wmf, которые переводит быструю подсистему систем (11) из начального состояния (41) в конечное состояние (42) согласно (44), при различных значениях параметра μ(μ = 0,01 и μ = 0,1) приведены на рис. 2.

Результаты моделирования оптимальных траекторий соответствующие оптимальным управлениям (40) и (44) приведены на рис. 3.

Таким образом, оптимальная траектория imanul131.wmf состоит из трех составляющих первое из них imanul132.wmf из (45) формирует «магистраль», остальные две пограничные функции: imanul133.wmf и imanul133a.wmf соответственно описывают переходы от начального состояния на магистраль и с магистрали в конечное состояние.

Заключение

В данной работе предложен способ решения сингулярно-возмущенной задачи оптимального управления при минимума квадратичного функционала, который оценивает энергии управляющего воздействия. Для данной задачи предложен эффективный алгоритм нулевого равномерного асимптотического приближенного решения на основе совместного использования методов разделения движений и проблемы моментов.


Библиографическая ссылка

Иманалиев З.К., Аширбаев Б.Ы. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2020. – № 3. – С. 89-97;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=13041 (дата обращения: 21.09.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074