Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Ковалев М.Д. 1
1 Московский городской педагогический университет
Во многих случаях течения жидкостей (и газов) их плотность можно считать неизменяющейся, то есть постоянной вдоль всего объема жидкости в течение всего времени движения. Другими словами, в этих случаях при движении не происходит заметных сжатий или расширений жидкости. О таком движении говорят как о движении несжимаемой жидкости. Для решения практических задач, связанных с моделированием осаждения частиц в несжимаемой жидкости и с моделированием движения пузырьков, требуется выявление зависимости гидродинамической силы от параметров движения (скорости, ускорения и др.). Сами частицы, как правило, по форме близки к сферическим, поэтому для решения задач требуется определить зависимость гидродинамической силы, действующей на сферу, движущуюся в жидкости, от параметров ее движения. Данные вопросы особенно актуальны в настоящее время в связи с созданием новых дисперсных материалов на основе вязкой жидкости. Примерами таких материалов являются коллоидные кристаллы, составные эмульсии и наножидкости. В таких системах частицы обладают наперед заданными свойствами, что позволяет моделировать изменение данных сред при различных внешних воздействиях. Помимо этого, данная модель представляет интерес при расчете движения взвешенных примесей в жидких средах (например, в атмосфере и океанах). В данной работе будет представлен новый подход к исследованию этой модели, который позволяет устранить недостатки полученных ранее для нее решений.
несжимаемая вязкая жидкость
нестационарное движение
гидродинамическая сила
сила Бассе
дробные производные
метод возмущений
1. Mainardi F., Pironi P., Tampieri F. On a generalization of the Basset problem via fractional calculus. CANCAM 95. 1995. Vol. II. P. 836–837.
2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, 2006. Сер. 204 North-Holland Mathematics studies. 523 p.
3. Водопьянов И.С., Петров А.Г., Шундерюк М.М. О нестационарном осаждении сферической твердой частицы в вязкой жидкости // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2010. № 2. С. 97–106.
4. Архипов В.А., Васенин И.М., Усанина А.С. Экспериментальное исследование нестационарных режимов всплытия одиночного пузырька // Инженерно-физический журнал. 2013. Т. 86. № 5. С. 1097–1106.
5. Архипов В.А. Физико-химические основы процессов тепломассообмена: учебное пособие. Томск: Издательство Томского политехнического университета, 2011. 195 с.
6. Мартынов С.И., Ткач Л.Ю. Моделирование динамики агрегатов частиц в вязкой жидкости // Вестник Югорского государственного университета. 2013. Вып. 2 (29). С. 46–50.
7. Гувернюк С.В., Дынникова Г.Я., Андронов П.Р. Отчет № 5053 о научно-исследовательской работе по теме НИР: Нестационарные взаимодействия сплошных и проницаемых тел с вихревыми течениями жидкости и газа // Государственное учебно-научное учреждение НИИ механики МГУ им М.В. Ломоносова. 2010. 73 с.

Известно, что на твердую сферическую частицу, движущуюся с переменной скоростью t в вязкой жидкости, действует сила, зависящая от предыстории движения. Британскому математику Альфреду Бассе удалось построить интегрально-дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет скорость V(t) осаждения частицы.

При построении решения данного уравнения приходится рассматривать различные случаи, возникающие из-за различных значений плотностей жидкостей и порядков дробных производных, входящих в уравнение. Более того, решение для каждого отдельного случая представляет существенную сложность и не является удобным в применении. Это заметно по решениям, представленным в [1] и [2].

Ввиду этого возникает необходимость поиска другого подхода к поиску решения задачи. Целью данной работы является построение асимптотического ряда решения уравнения, справедливого для любых значений плотностей жидкостей и порядков дробной производной 0 < α < 1, а также сравнение полученного результата с известным точным решением.

Перед формулировкой задачи отметим, что для частных производных порядка 0 < α < 1 при нулевом начальном условии дробные производные по Капуто и Риману – Лиувиллю являются эквивалентными, то есть при y(a) = 0 и 0 < α < 1 выполняется равенство kov01.wmf [2, с. 92–93].

В рамках рассматриваемой задачи справедливы обозначенные выше условия. Поэтому при ее решении, не оговаривая дополнительно, будем подразумевать справедливость перехода от дробной производной Капуто к дробной производной по Риману – Лиувиллю.

Постановка задачи и составление модели

Рассмотрим нестационарное движение сферы, погруженной в несжимаемую вязкую жидкость, под действием гравитации. Ограничиваясь линеаризованной теорией, предполагают, что гидродинамическая наследственная сила обобщается в классическую силу Бассе по параметру 0 < α < 1. При этом, вводя в рассмотрение дробные производные, можно выразить силу Бассе через производную порядка 1/2 от скорости частицы.

Уравнение движения сферической частицы под действием силы тяжести в вязкой жидкости выражается через скалярную скорость V(t), действующую в вертикальном направлении (предполагается, что она будет положительной, если направлена вниз) по формуле [1, с. 836]

kov02.wmf (1)

где kov03.wmf – масса частицы плотности ρp и радиуса R, g – ускорение свободного падения, FH – результирующая гидродинамических сил.

Если начальным состоянием частицы является состояние покоя в неподвижной жидкости с плотностью ρf и кинематической вязкостью v, то справедлива следующая формула [1, с. 836]

kov04.wmf

где

kov05.wmf

Записи FS и FB означают силы Стокса и Бассе соответственно, а выражение

kov06.wmf

означает дробную производную kov07.wmf по Риману – Лиувиллю порядка 0 < α < 1 [2, с. 71].

После подстановки составляющих результирующей гидродинамических сил и преобразований, учитывая начальное состояние покоя, уравнение (1) приводится к виду [1, с. 837; 2, с. 435]:

kov08.wmf (2)

где V* и t* – безразмерные параметры скорости и времени, которые связаны с размерными переменными соотношениями

kov09.wmf (3)

Решение модели

Для решения классического случая, рассмотренного Бассе, достаточно положить в (2) α = 1/2 и решить задачу Коши с учетом начального условия. Однако, следуя обозначенной цели, решим задачу в общем случае методом возмущений для малого положительного параметра kov10.wmf. Символ «kov11.wmf» в уравнении (2) для удобства будем опускать. Таким образом, имеем следующую систему:

kov12.wmf (4)

Решение первого уравнения в (4) будем искать в виде ряда по степеням ε, то есть

kov13.wmf

Подставляя это разложение в (4), получим

kov14.wmf

kov15.wmf (5)

При ε = 0 решением уравнения является функция V0(t) = 1 – e-t. Подставляя найденную функцию в (5) и приравнивая коэффициенты при первой степени ε, получим

kov16.wmf (6)

Для решения последнего уравнения предварительно преобразуем интеграл в дробной производной. Для этого введем вспомогательную функцию f(t), где

kov17.wmf

Обозначая дробную производную в (6) через b(t), получим уравнение вида kov18.wmf. Решая его методом вариации произвольной постоянной, получим

kov19.wmf

Производя обратную замену kov20.wmf имеем

kov21.wmf

Вычисляя недостающие слагаемые в правой части полученного равенства, получаем, что f(0) = 0 и

kov22.wmf

Тогда

kov23.wmf

После преобразований получим

kov24.wmf (7)

Аналогичным образом вычислим V2(t). Приравнивая коэффициенты при второй степени ε, получим уравнение

kov25.wmf

решение которого, очевидно, представимо в виде

kov26.wmf (8)

Находя слагаемые в правой части (8), получим следующие равенства

kov27.wmf

kov28.wmf

где B(x, y) – бета-функция Эйлера.

Подставляя данные выражения в (8), учитывая f2(0) = 0 и выполняя элементарные преобразования, получим равенство

kov29.wmf (9)

Таким образом, получаем

kov30.wmf (10)

где V1(t) и V2(t) определены равенствами (7) и (9) соответственно.

Тогда асимптотический ряд для случая α= 1/2 будет иметь вид

kov31.wmf

kov32.wmf (11)

Для практических расчетов в равенствах (10) и (11) надо положить V = V* и t = t*, которые определяются формулами (3).

Сравнение с точным решением

Сравним полученный нами результат с точным решением дифференциального уравнения в (4) при α= 1/2, которое представлено в [2, с. 298]:

kov33.wmf

где kov34.wmf – обобщенная функция Райта, определенная, например, в [2, с. 56]. В нашем случае она имеет вид

kov35.wmf

Тогда, учитывая f(r) = 1, получим

kov36.wmf

или

kov37.wmf (12)

Сравнение точного решения с асимптотическим рядом при α = 1/2

t

Точное решение (12)

1 – e-t

1 – e-t + εV1(t)

1 – e-t + εV1(t) + ε2V2(t)

1

0,495417

0,632120

0,458847

0,504832

2

0,677900

0,864664

0,625311

0,692978

3

0,764828

0,950212

0,719846

0,775856

4

0,812661

0,981684

0,780815

0,817446

5

0,842017

0,993262

0,821212

0,842268

6

0,861646

0,997521

0,848403

0,859556

 

Полагая ε = 0,5, получим следующие результаты (для вычисления значения V(t) воспользуемся базой Wolfram Alpha) (таблица).

Из таблицы видно, что увеличение числа приближений, как и ожидалось, дает более точные значения. Второе приближение даже при ε = 0,5 дает вполне удовлетворительные результаты. При уменьшении значения ε точность полученного решения возрастает.

При изменении порядка дробной производной в асимптотическом ряде (10) (ε = 0,5) наблюдается следующая зависимость (рисунок).

Из графика видно, что порядок дробной производной оказывает существенное влияние на скорость частицы, то есть эффекты вязкости подобны аномальным диффузионным явлениям, которые описываются дробными производными.

Заключение

Построенное нами асимптотическое решение справедливо для любых значений плотностей жидкостей и порядков дробной производной 0 < α < 1. Удовлетворительное совпадение результатов точного и приближенного решений позволяет использовать полученную формулу для практических расчетов. На основании этого можно утверждать, что цель работы была достигнута.

Kovalev1.tif

График зависимости V(t) от безразмерного параметра t при различных значениях порядка дробной производной: 1. α = 0,1, 2. α = 0,3, 3. α = 0,5, 4. α = 0,7, 5. α = 0,9

С практической важностью рассмотренной темы, анализом литературных данных и экспериментальными результатами можно ознакомиться в работах [3–6], а в работе [7] для численного моделирования нестационарных течений проводится верификация метода вязких вихревых доменов.

Автор выражает благодарность научному руководителю департамента математики и физики МГПУ В.А. Чугунову за ценные советы при написании текущей работы.


Библиографическая ссылка

Ковалев М.Д. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2020. – № 11. – С. 51-56;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=13148 (дата обращения: 21.07.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674