Вибрационные воздействия создают напряженное динамическое состояние для элементов механических колебательных систем вих взаимодействиях между собой ис опорными поверхностями, что делает необходимым развитие методов оценки усилий вконтактах [1]. Многие вопросы определения динамических реакций рассматриваются всоответствующих разделах теории механизмов имашин, теоретической механики, прикладной теории колебаний. Вместе стем, динамические взаимодействия элементов колебательных систем еще не получили должного освещения всовременной научной литературе. Вчастности, это относится квиброзащитным системам, состоящим, как правило, из нескольких массоинерционных элементов, входящих всоединения супругими, диссипативными звеньями иустройствами для преобразования движения [2, 3].
Общие положения. Постановка задачи исследования. Встатье динамические реакции рассматриваются как силовые взаимодействия между элементами виброзащитных систем, атакже– сопорными поверхностями. При этом предполагается, что движение механической колебательной системы возникает за счет внешних периодических сил относительно положения статического равновесия. Последнее предопределяет существование полной реакции, которая является суммой двух составляющих: статической идинамической. Раздельное рассмотрение каждой из составляющих представляет интерес при решении задач взаимодействия элементов системы при неудерживающих связях.
Рис. 1.Расчетная (а) иструктурная (б) схемы виброзащитной системы сдвумя степенями свободы
Метод определения динамических реакций основан на использовании принципа Даламбера споследующим применением структурных подходов, изложенных вработах [1, 3]. На рис.1а, бпредставлены расчетная (рис. 1а) иструктурная (рис. 1б) схемы механической колебательной системы сдвумя степенями свободы.
Система дифференциальных уравнений движения вкоординатах у1иу2, связанных снеподвижным базисом, имеет вид:
, (1)
. (2)
Используя преобразования Лапласа, можно (1) и(2) привести кформе:
, (3)
где p= jω (j = 
)– комплексная переменная [1]; 
, 
, 
, 
, 
– изображение величин по Лапласу.
В выражении (3) вквадратных скобках обозначена динамическая реакция, которая может быть отнесена кт. А, А1, что соответствует определению динамической реакции связи, вытекающему из принципа Даламбера.
Задача исследования заключается вразвитии иобосновании возможностей методов определения динамических реакций всистемах колебательного типа.
Рис. 2.Преобразования структурных схем: а– объект защиты m1; б– объект защиты m1, парциальная система m1,k1; в– объект защиты m1, отрицательная обратная связь; г – объект защиты m2, отрицательная обратная связь
II. Построение математических моделей для определения динамических реакций. Основой структурного подхода является, как показано на рис. 1б, сопоставление механической колебательной системе эквивалентной вдинамическом отношении структурной схемы системы автоматического управления ссоответствующими входными ивыходными сигналами. На рис.2а представлена последовательность преобразований, которая отражает основные особенности динамических реакций. Структурная схема, соответствующая системе на рис.1а, может быть путем последовательных преобразований (от схемы на рис.2а до рис.2в) приведена квиду, когда впрямой цепи остается объект защиты смассой m1. На структурной схеме (рис.2в) объекту защиты соответствует базовое звено спередаточной функцией интегрирующего звена второго порядка. Что касается динамической реакции вт.т. Аи А1, то она определяется выражением:
, (4)
где 
определяется из структурной схемы на рис. 1б.
Передаточная функция системы при силовом возмущении ввиде сосредоточенной гармонической силы Q1имеет вид:
, (5)
где А0является частотным уравнением системы:
. (6)
После преобразований (5) и(6) можно получить:
, (7)
что предопределяет структуру системы, приведенную на рис. 2а, б, в.
В соответствии сполученными соотношениями иструктурными схемами, найдем, что 
или
. (8)
От выражения (8) легко перейти камплитудно-частотной характеристике, используя передаточную функцию:
. (9)
Физический смысл обратной связи на структурной схеме по рис. 2в состоит втом, что величина (или коэффициент усиления) обратной связи соответствует приведенной жесткости обобщенной пружины:
. (10)
Если умножить kпр на 
, то можно получить полную динамическую реакцию на элементе m1.Одна её часть (
) определяется жесткостью k1пружины, авторая (
)– формируется динамическим взаимодействием между массами m1иm2.Отметим, что вышеприведенные определения предполагают действие только одной силы Q1≠ 0(принимается, что Q2= 0). Если Q2≠ 0, то врассматриваемой задаче необходимо учитывать два входных сигнала, адинамические реакции определяются на основе метода суперпозиции. При Q1≠ 0 (Q2= 0) реакция вточке А2имеет вид:
. (11)
Полная динамическая реакция на объекте массой m2определится:
. (12)
Аналогичным образом могут быть найдены:
. (13)
В свою очередь, полная динамическая реакция на массе m2всоответствии со структурной схемой на рис. 2г примет вид:
. (14)
. (15)
Передаточная функция при входе 
ивыходной полной динамической реакцией 
может быть записана:
. (16)
Заключение
1.Таким образом, динамические реакции вточках контакта (т.т. А, А1, А2иВ, В1, В2) могут быть найдены аналитически на основе предлагаемого метода. Суть метода заключается втом, что составляется структурная схема, которая преобразуется копределенному виду всоответствии свыбором объекта защиты (или объекта контроля динамического состояния при внешних воздействиях). Обратная цепь (или обратная связь) втаком случае по физическому смыслу соответствует приведенной жесткости обобщенной пружины. Полная динамическая реакция (т. А2, В2) определяется сучетом приведенной жесткости ивыбранных смещений по координатам у1иу2.Предлагаемые соотношения позволяют получить передаточные функции при известном входе внешней силы ивыходе ввиде динамической реакции.
2.Динамические реакции внаблюдаемых точках, вобщем случае, будут различными.
3.При определении передаточных функций по динамическим реакциям может быть отмечено появление эффекта дополнительно резонанса, что вфизическом плане соответствует режиму динамического гашения колебаний по координате у1.Вэтом случае координата у1«обнуляется» при Q1≠ 0. Отметим также, что внешняя сила может переноситься из координаты у1ккоординате у2, реализуя эквивалентное преобразование.
Исследования выполнены по гранту врамках федеральной целевой программы «Научные ипедагогические кадры инновационной России» на 2012– 2013гг. (мероприятие 1.3.2.– естественные науки) № 14.132.21.1362.
Библиографическая ссылка
Каимов Е.В., Елисеев А.В. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ В МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2013. – № 10-1. – С. 21-24;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4043 (дата обращения: 04.12.2024).