Во всех руководствах по расчету тепловых полей тонких покрытий космической и авиационной техники исходят из классических уравнений теплопроводности, где коэффициент теплопроводности считается постоянной величиной. Однако при толщине пленки менее 50–100 нм в ее физических свойствах начинают сказываться размерные эффекты. Рассмотрим задачу о тепловом поле неограниченной пластины толщиной δ. Ограничимся стационарным случаем. Тогда уравнение теплопроводности имеет вид:

(1)

В классическом случае l = const, а в нашем – l = l0(1 – a/a + x) [1]. Здесь a размерный фактор. С учетом размерного эффекта, уравнение (1) приводится к виду:

(2)

Здесь С1 – постоянная интегрирования. Решение уравнения (2) имеет вид:

(3)

Если в (1) l = const, то имеем классическое решение задачи:

(4)

В отличие от классической задачи (4) в уравнении (3) появляется логарифмический член. Это приводит к расходимости в начале координат. Поэтому граничные условия нужно задавать не при х = 0, а при x = lдБ – длине де Бройлевской волны электронов.