Рассмотрим дифференциальный оператор третьего порядка, задаваемый дифференциальным уравнением:
(1)
с разделёнными граничными условиями самого общего вида:
(2)
где λ – спектральный параметр, – весовая функция, потенциал
– суммируемая функция:
почти всюду на
. (3)
Пусть – фиксированная ветвь корня, причём
.
Пусть .
В работе [1] нами доказана следующая теорема.
Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид:
, (4)
где – произвольные постоянные, причём при
имеем:
(5)
Изучение граничных условий (2) зависит от коэффициентов и проводится с использованием методики работ [2] и [3]. Например, если , то граничные условия (2) можно упростить до равносильных условий вида
.
В качестве примера таких разделённых граничных условий рассмотрим следующие:
. (6)
По терминологии Наймарка М.А. [4, с. 66-77] граничные условия (6) являются нерегулярными. Ранее асимптотика собственных значений краевых задач с нерегулярными граничными условиями (даже в случае гладкого потенциала) фактически не изучалась.
Теорема 2. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(2) с граничными условиями (6) имеет следующий вид:
, (7)
(8)
Библиографическая ссылка
Митрохин С.И. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЁННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 1-2. – С. 221-222;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4632 (дата обращения: 17.08.2024).