Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,564

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ)

Голикова Е.А. 1
1 ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет им. Б.Н. Ельцина»

Представляемое учебное пособие создано в рамках курса «Теория вероятностей и математическая статистика», который читается в Физико-техническом институте Уральского федерального университета для физических специальностей. Этот стандартный по количеству часов (32 часа) семестровый курс предполагает, однако освоение студентами – будущими физиками, основ теории вероятностей в достаточной степени. А именно, студенты должны быть готовы к неизбежному в своей будущей профессиональной деятельности дальнейшему расширению знаний в этой математической области.

Принимая во внимание приведенные соображения, в пособии изложены предусмотренные программой разделы теории вероятностей кратко (без доказательств больших теорем), структурировано и в сопровождении достаточного количества разобранных задач и задач для самостоятельного решения. Для успешного понимания теории вероятностей мало простого изложения алгоритмов решения стандартных задач. Необходимо сформировать понимание аксиоматического характера этой теории, выросшего из построения математической модели опыта со случайным исходом. В пособии приводятся формулировки определений и теорем с необходимой для физических специальностей строгостью. Приводимые параллели алгебры случайных событий с алгебрами множеств и высказываний помогают осознать теорию вероятностей как аксиоматическую. Тем не менее, подробное математическое изложение подобных вопросов в программу курса не входит.

Довольно часто причиной непонимания способа решения той или иной вероятностной задачи является отсутствие внимания к первоначальному этапу решения – созданию адекватной математической модели. Пошаговому построению этой модели (т.е. вероятностного пространства) соответствуют параграфы раздела 1.2 первой главы:

1.2. Математическая модель опыта со случайным исходом

1.2.1. Пространство элементарных событий

1.2.2. Алгебра событий

1.2.3. Вероятность.

В каждом параграфе новые понятия иллюстрируются примерами. Некоторые из них рассматриваются как в первом, так и во втором и в третьем параграфах. Таким образом, на конкретном сквозном примере постепенно строится математическая модель опыта со случайным исходом. В разделе 1.2.3 обсуждается адекватность модели как соответствие реальным опытным данным. В частности рассматривается простейший пример двух разных математических моделей для опыта с двумя монетами. Мысль о связи постановки опыта с математической моделью иллюстрируется и на других примерах (парадокс Бертрана и т.п.).

Следующим этапом решения вероятностной задачи (после построения адекватной математической модели) в случае использования классического определения вероятности, является подсчет количества элементов в пространстве элементарных событий и в его подмножествах. Это, как правило, комбинаторная задача. Ни в школе, ни в вузе обычно отдельно комбинаторикой не занимаются. Чтобы ликвидировать этот пробел и не нарушать целостность изложения раздел «1.1. Элементы комбинаторики» вынесен в начало первой главы.

В пособии ставится цель не только изложить необходимые сведения из теории вероятностей, но также научить студентов разбираться в типах задач. Любая математическая задача решается либо «по определению» либо «с помощью теорем». Определение вероятностного пространства и соответствующие задачи разбирались в разделе 1.2. В разделе 1.3 рассматриваются простейшие теоремы алгебры событий, разведенные по соответствующим параграфам:

1.3. Вычисление вероятности сложных событий

1.3.1. Теоремы о вероятности суммы и произведения событий

1.3.2. Формулы полной вероятности и Байеса

1.3.3. Схема Бернулли и формула Бернулли

1.3.4. Асимптотические приближения формулы Бернулли.

В разделе 1.3 разобраны задачи, в которых математическая модель опыта со случайным исходом считается построенной и известны вероятности «простых» событий A1, A2, ..., An при этом требуется вычислить вероятность «сложного» события A, выраженного в алгебре событий A1, A2, ..., An. Перечисленные разделы 1.1, 1.2, 1.3 образуют первую главу «Случайные события».

Вторая глава посвящена случайным величинам. Заложенный в первой главе понятийный аппарат позволяет дать определение случайной величины как числовой функции на пространстве элементарных событий. Автор считает, что даже для студентов-нематематиков называть определением предложения вроде «величина называется случайной, если в результате испытания она принимает то или иное значение» нельзя. Затем вводятся определения функциональных и числовых характеристик параллельно как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин и рассматриваются их свойства. Довольно традиционно вторая глава разделена на части:

2.1. Одномерные случайные величины

2.2. Основные законы распределения

2.3. Последовательности случайных величин

2.4. Двумерные случайные величины .

В разделе 2.3. идет речь о законе больших чисел, применяемом в математической статистике. Здесь разбираются примеры как на сходимость по вероятности, так и на сходимость по функции распределения. Примеры помогают разобраться не только в теоремах, но и в возможностях их применения.

Целью пособия было построить математически достаточно четкую конструкцию определений и теорем, подкрепленную подробным разбором примеров. При этом, учитывая рамки курса, необходимо было не перегружать изложение математическими выкладками. Большое количество примеров призвано помочь студентам разобраться с классификацией и методами решения задач. Пособие снабжено большим количеством схем, рисунков и таблиц.


Библиографическая ссылка

Голикова Е.А. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 3-2. – С. 212-213;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4949 (дата обращения: 07.07.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074