Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,570

СВОЙСТВА ПАРАМЕТРОВ РОДРИГА-ГАМИЛЬТОНА В ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Данилюк Д.А. 1
1 Институт прикладной математики и механики НАН Украины
Исследована зависимость от времени параметров Родрига-Гамильтона в решениях Бобылева-Стеклова, Лагранжа, Гриоли и Гесса уравнений движения тела с неподвижной точкой. Получены типы инвариантных соотношений в указанных решениях.
параметры Родрига-Гамильтона (Р.-Г.)
решения уравнений Эйлера-Пуассона
инвариантные соотношения (ИС)
1. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалев А.М. Классические задачи динамики твердого тела. − Киев: Наукова думка, 2012. − 401 с.
2. Горр Г.В., Ковалев А.М. Движение гиростата. − Киев: Наукова думка, 2013. − 408 с.
3. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. Развитие и современное состояние − Киев: Наукова думка, 1978. − 296 с.
4. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. − Донецк: ДонНУ, 2010. − 364 с.
5. Ковалев А.М., Данилюк Д.А. Линейные нормальные колебания твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона // Механика твердого тела. − 2003. − Вып. 33. − С. 3-9.
6. Козлов В.В. Уравнения Гамильтона задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой в избыточных координатах // Теоретическая и прикладная механика. − Белград: Югославское общество механики, 1982. − № 8. − С.59-65.
7. Кошляков В.Н. Параметры Родрига-Гамильтона и их приложения в механике твердого тела. − Киев: Институт математики НАН Украины, 1994. − 176 с.
8. Лурье А.И. Аналитическая механика. − М.: Физматгиз, 1961. − 824 с.
9. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. − Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та. − 1965. − 221 с.
10. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений // Механика твердого тела. − 1969. − Вып. 6. − С. 15-24.
11. Челноков Ю.Н. Об определении ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильтона по его угловой скорости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. − 1977. − № 3. − С.11-20.
12. Bressan A. Sulleprecessionid'un corporigido costituentimoti di Hess // Rendicontidel Seminario Matematicodella Università di Padova, − 1957. T. 27 − P. 276-283.
13. Grioli G. Esistenza e determinazione della precessioni regolari dinamica mente possibili per un solido pesantea simmetrico // Ann. mat. puraed appl. − 1947.T. XXVI, Ser. IV. − P.271-281.
14. Hess W. Über die Eulerschen Bewegungsgleichungen und über eine neue particulare Lösung des Problems der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt // Math. Annalen. − 1890.B.37,H.2. − S. 153-181.

Введение

В динамике твердого тела для изучения свойств движения применяются различные методы и параметры (метод инвариантных соотношений (ИС)[10], углы Эйлера [1-4], параметры Родрига-Гамильтона (Р.-Г.)[5-7,11] и другие). На их базе получена значительная информация о движении твердого тела под действием силы тяжести [2,3] и под действием потенциальных и гироскопических сил [4]. Использование параметров Р.-Г. актуально не только в задачах ориентации движущихся объектов [7,11], но и при изучении колебаний тяжелого твердого тела с неподвижной точкой [5]. Поэтому представляет интерес исследование свойств параметров Р.-Г. в частных решениях уравнений Эйлера-Пуассона.

Данная статья посвящена изучению зависимостей от времени параметров Р.-Г. в решениях Бобылева-Стеклова, Лагранжа, Гриоли и Гесса, и исследованию структуры ИС в этих решениях.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнения движения твердого тела под действием силы тяжести [1-3]

dan1.tif (1)

Здесь обозначено: ω=(ω1, ω2, ω3) − вектор угловой скорости; v=(v1, v2, v3) − единичный вектор, указывающий направление силы тяжести; A=(Aij) − тензор инерции; e=(e1, e2, e3) − единичный вектор dan2.tif, где O − неподвижная точка, C − центр тяжести тела; dan3.tif, где m − масса тела, g − ускорение свободного падения.

Уравнения (1) имеют первые интегралы

dan4.tif (2)

где E и k − произвольные постоянные.

Пусть θ,φ,ψ − углы Эйлера, введенные таким образом, что θ=<(e,v), φ − скорость собственного вращения вокруг вектора e, ψ – скорость прецессии вокруг вектора v. Тогда [8]

dan5.tif (3)

dan6.tif (4)

Если известно решение уравнений (1)

dan7.tif (5)

то углы Эйлера можно определить из (3), (4)

dan8.tif (6)

Параметры Р.-Г. выражаются через переменные (6) следующим образом [8]:

dan9.tif (7)

Они удовлетворяют соотношению

dan10.tif (8)

Если известны параметры Р.-Г., то углы Эйлера определим из формул

dan11.tif (9)

а vi из равенств

dan12.tif (10)

Для записи уравнений (1) в параметрах Р.-Г. необходимо в эти уравнения подставить значения (10). Например, в главной подвижной системе координат уравнения Эйлера-Пуассона (1) принимают вид

dan13.tif (11)

dan14.tif (12)

Уравнения (11) с помощью формул

dan15.tif (13)

можно привести к системе трех дифференциальных уравнений на параметры λ1, λ2, λ3 [5,7].Интегралы (2) преобразуются очевидным образом на основе (10).

2. Решение Бобылева-Стеклова

Пусть в уравнениях (1) e=(1,0,0), A=diag(2A2,A2,A3), а в интегралах (2) значения постоянных таковы:

dan16.tif

где x, H − параметры.Тогда уравнения (1) допускают решение [9] (поскольку формулы (3), (10) для параметров Р.-Г. записаны в другой системе координат по сравнению с рассматриваемым решением, то для новых переменных используем “~”)

dan17.tif (14)

где

dan18.tif (15)

Из (14) следует, что подвижный годограф вектора угловой скорости − отрезок прямой.

Опуская знак “~” представим решение (14), (15) в эллиптических функциях, используя систему координат, в которой записаны соотношения (3)– (6):

dan19.tif (16)

где

dan20.tif (17)

а переменная v3 изменяется в промежутке dan21.tif, где эти значения указаны в формулах (17).Эллиптические функции (16) имеют модуль

dan22.tif (18)

Для нахождения параметров Р.-Г. в решении Бобылева-Стеклова воспользуемся соотношениями (6) и (16)

dan23.tif (19)

dan24.tif (20)

dan25.tif (21)

Зависимость параметров dan26.tif от времени найдем из соотношений (7) с учетом формул (19)-(21).Обозначим

dan27.tif (22)

С помощью (22) из равенств (19), (20) определим ИС на параметры Р.-Г. для случая Бобылева-Стеклова:

dan28.tif (23)

где dan29.tif − сопряженный к k1 модуль эллиптических функций.Итак ИС (23) является многочленом по параметрам Р.-Г. восьмого порядка.

Последняя формула из системы (21) представляет интерес, поскольку из неё следует достаточно наглядное представление скорости прецессии от угла собственного вращения тела

dan30.tif

ИС для компонент вектора угловой скорости в силу (14) имеет линейный характер.

3. Сферический гороскоп (изоконические движения)

Рассмотрим тяжелое твердое тело, эллипсоид инерции которого является сферой: A3=A2=A1 Выбором системы координат можно принять s2=s1=0. Тогда из (1), (2) имеем

dan31.tif (24)

dan32.tif (25)

dan33.tif (26)

dan34.tif (27)

Изучим изоконические движения сферического гироскопа [2,4].Для этих движений подвижный и неподвижный годографы вектора угловой скорости симметричны относительно касательной плоскости к аксоидам. При этом необходимым и достаточным условием является ИС

dan35.tif (28)

где c − единичный вектор, неизменно связанный с телом. Положим c=(0,0,1)[4]. Тогда из (28) следует

dan36.tif (29)

Уравнения (24), (25) и интегралы (26) описывают движение гироскопа Лагранжа для случая сферического распределения масс. Из третьего уравнения системы (24) получим ω3=c*, где c* − произвольная постоянная. Потребуем, чтобы (29) было следствием (27). Тогда для ω3 имеем следующее значение

dan37.tif (30)

В [4] показано, что, если компоненты угловой скорости заданы в виде (3), то (29) выполняется при условии, когда в соотношениях (3) ψ=φ. Сравнивая (3) и (30), получим

dan38.tif (31)

Для получения уравнения на функцию θ(t) воспользуемся первым уравнением из (26) и соотношениями (3)

dan39.tif (32)

где dan40.tif, dan41.tif,

dan42.tif.

При преобразовании решения уравнения (32) к эллиптическим функциям запишем его в виде

dan43.tif (33)

Без ограничения общности считаем s>0. Тогда переменная v3 изменяется в промежутке

dan44.tif (34)

Из уравнения (33) в силу (31) получим

dan45.tif (35)

где sn(ɡt) − эллиптическая функция с модулем k2 и параметром ɡ, имеющими следующие значения

dan46.tif (36)

Таким образом, на основании (35) и равенства v3 =cos θ можно записать

dan47.tif (37)

Функцию φ(t) определим из (31) в силу (35)

dan48.tif (38)

В случае изоконичных движений сферического гироскопа для параметров Р.-Г. из (7) получим

dan49.tif (39)

где функции dan50.tif находятся из (37), а функция φ(t) из (38), в которых необходимо учесть равенства (36). Таким образом для рассматриваемых движений найдены зависимости параметров Р.-Г. от времени − соотношения (39). Из них следует, что одно ИС имеет линейный вид. Другое ИС для уравнений (11) тоже линейное, но оно линейно по отношению к компоненте ω3. Следовательно, в случае сферического гиростата для этих уравнений имеем два линейных ИС по отношению к переменным задачи.

4. Решения, описывающие прецессионные движения тела

В динамике твердого тела особую роль играют решения, которые характеризуются прецессионными движениями тела. В книге [4] показано существование прецессий тела относительно оси, не совпадающей с вектором v.

Пусть ось l1 с единичным вектором a и с началом в неподвижной точке неизменна по отношению к телу и составляет постоянный угол θ0 с осью l2, которая неподвижна в пространстве. Обозначим через γ − вектор, принадлежащий оси l2. Для прецессий выполнятся следующие кинематические уравнения [4]

dan51.tif (40)

где

dan52.tif (41)

Класс прецессий твердого тела, имеющего неподвижную точку, характеризуется инвариантными соотношениями [4]

dan53.tif (42)

Если неподвижную систему координат связать с вектором a, то есть третью ось её направить по вектору a=(0,0,1), то имеют место cоотношения

dan54.tif (43)

Они удовлетворяют кинематическому уравнению для вектора γ из (40) и соотношению γ2=1 из (41). Для вектора v в [4] получено следующее разложение

dan55.tif (44)

Когда вектор v имеет вид (44), а вектор γ − (43), то кинематическое уравнение для v из (40) становится тождеством.

При рассмотрении прецессий относительно наклонной оси параметры Р.-Г. можно найти по аналогии с (3), (4), (7). То есть в дальнейшем полагаем

dan56.tif (45)

где углы θ0, ψ, φ − углы Эйлера, введенные с помощью неподвижной системы координат, которая связана с вектором γ, (но не с вектором v, как ранее).

Пример 1 − Решение Д. Гриоли. Пусть в уравнениях (1) e=(0,0,1), компоненты тензора A удовлетворяют равенствам

dan57.tif (46)

параметр S имеет значение

dan58.tif (47)

Тогда при выполнении (46), (47) уравнения (1) допускают решение Д. Гриоли[13], которое запишем в обозначениях [4]

dan59.tif (48)

dan60.tif (49)

характеризующееся регулярной прецессией тела относительно наклонной оси (угол между этой осью и вектором γ приведен выше, а угол θ0 = π/2).

Указанное свойство можно доказать следующим образом. На основании решения (48), (49) получим, что вектор γ с компонентами в подвижном пространстве

dan61.tif (50)

не изменяет своего положения в неподвижном пространстве. В процессе движения выполняется инвариантное соотношение e·γ=0, то есть вектор e перпендикулярен вектору γ (θ0 = π/2). Угловая скорость тела в силу соотношений (50) в векторном виде такова:

dan62.tif (51)

Из формулы (51) следует, что в (42), (45) ϕ=ψ=m. Выберем неподвижную систему так, что ϕ=ψ=mt (t − время). Подставив θ0 = π/2, ϕ=ψ=mt в соотношения (45) имеем

dan63.tif (52)

Из (52) следует, что имеют место два линейных ИС на параметры (45). Для получения зависимостей компонент вектора v от параметров Р.-Г. подставим cosmt, sinmt из (52)в (49):

dan64.tif (53)

при этом компоненты ωi из (48) выражаются через параметры Р.-Г. следующим образом

dan65.tif (54)

Соотношения (53), (54) являются решением уравнений (1), если в них учесть условия (46), (47).

Пример 2 − Решение В. Гесса. Как показал А. Брессан[12], в решении В. Гесса[14] при нулевом значении постоянной интеграла моментов из (2) имеет место прецессия относительно горизонтальной оси. То есть

dan66.tif (55)

и в формуле (44) χ0=π/2, θ0 = π/2. Для записирешения, описывающего данную прецессию, воспользуемся введенной выше системой координат e=(0,0,1). Пусть компоненты тензора Aij удовлетворяют условиям [4]

dan67.tif (56)

Следуя обозначениям [4], имеем

dan68.tif (57)

dan69.tif (58)

dan70.tif (59)

где

dan71.tif (60)

Выпишем решение уравнений (60). Из первого уравнения данной системы имеем [4]

dan72.tif (61)

где c − произвольная постоянная. Формулы (57) − (59) характеризуют все переменные задачи (1).

Для нахождения решения ψ(t) из второго уравнения системы (60) положим

dan73.tif (62)

Тогда из (60), (62) получим

dan74.tif (63)

где μt, snμt, cnμt − эллиптические функции, имеющие модуль k3 из (62). Параметры Р.-Г. имеют вид

dan75.tif (64)

где функции ψ(t), φ(t) выражаются из формул (61), (63). Представляет интерес вид ИС для прецессий Брессана-Гесса. Используя (9), (64) и (61), (63) найдем

dan76.tif (65)

dan77.tif (66)

Таким образом, в случае прецессии относительно горизонтальной оси гироскопа Гесса для параметров Р.-Г. имеет место два квадратичных ИС (65) и одно ИС трансцендентного вида (66).

Заключение

Исследованы свойства параметров Р.-Г. в решениях уравнений Эйлера-Пуассона, моделирующего движение тяжелого твердого тела, в случаях Бобылева-Стеклова, Лагранжа, Гриоли и Гесса. Полученные результаты могут быть применены в истолковании движения тела.

Автор выражает благодарность профессору Г.В. Горру за внимание к работе.


Библиографическая ссылка

Данилюк Д.А. СВОЙСТВА ПАРАМЕТРОВ РОДРИГА-ГАМИЛЬТОНА В ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 8-2. – С. 124-131;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=5597 (дата обращения: 23.09.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074