В настоящее время к числу важнейших и наиболее быстро развивающихся направлений относится теория оптимального проектирования конструкций. Оптимальный выбор геометрических характеристик тонкостенных упругих конструкций, а именно: форма и размеры сечений стержней и балок, толщины мембран или пластинок, кривизны и толщины оболочек занимают существенное место среди широкого класса практически важных задач. В качестве примера оптимизации была выбрана прямоугольная в плане трехслойная пластина с размерами сторон 3*6 м опертая по коротким сторонам.
В первом варианте задачи внешние слои пластины представляют собой гофрированные металлические листы трапецеидальной формы с образующей, направленной вдоль длинной стороны. Во втором варианте была рассмотрена трехслойная пластина с гофрированными волнистыми обшивками, образованными по дуге окружности. Обшивки пластины как в первом, так и во втором варианте выполнены из сплава алюминия АМцМ с нормативным сопротивлением при изгибе 60 МПа. Материалом среднего слоя является пенопласт ПХВ-1 с объемным весом 1 кН/м3 и нормативным сопротивлением сдвигу 0,73 МПа. Расчет пластины выполнялся для равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q = 2,5 кН/м2; 3,0 кН/м2 и 4,0 кН/м2.
При оптимизации пластины с гофрированными трапецеидальными обшивками геометрические параметры пластины определялись при заданном количестве гофров n = 15, 20, 30. При этом для каждого количества выполнялась серия расчетов с заданными толщинами внешних слоев. Изменение толщины δ выполнялось с шагом 0,01 мм в интервале 0,08–0,12 см. Расчеты по определению оптимальных параметров проводились методом нелинейного программирования. В процессе решения задачи определялись оптимальные значения ширины полки гофра ai, расстояния между геометрическими осями обшивок Нi и толщины подкрепляющего слоя заполнителя Н0.
В работе, при разработке методики оптимизационного расчета составных пластин приняты следующие допущения:
– равномерно распределенная нагрузка носит статический характер, процесс нагружения – однократный;
– материал системы ортотропный, идеально жесткопластичный. Материал считается недеформируемым до тех пор, пока напряжения не превысят предел текучести. Это допущение позволяет перейти к идеальной жесткопластической модели реального тела, описываемой диаграммой Прандтля;
– трехслойная пластина представляет собой ряд тонких упругих пластинок, соединенных между собой упругоподатливыми связями сдвига и абсолютно жесткими поперечными связями. Для каждой составляющей пластинки считается гипотеза прямых нормалей;
– предельным состоянием составной пластины считается наступление пластического разрушения;
– учитывая, что деформации при пластическом разрушении незначительны, уравнения равновесия составляются для недеформированной системы;
– пластина отнесена к ортогональной системе координат xyz. Нормальные напряжения в к-том слое, действующие на площадках, параллельных к поверхностям координат хоу пренебрежительно малы.
Математическая модель оптимального проектирования трехслойной пластины с несущими гофрированными слоями в форме трапеций представляется целевой функцией стоимости материала конструкции С [1]:
,
где δ – толщина обшивки листа; n – количество гофров на ширину пластины В; L – длина пластины; l – длина участков поперечного сечения пластины с одинаковыми параметрами гофров; ai – ширина полки i-го гофра; ki – количество гофров на j-том участке поперечного сечения пластины; Hj – расстояние между геометрическими осями обшивок; H0 – толщина слоя заполнителя, подкрепляющего внутренние полки профиля обшивок; bi – длина наклонной стенки i-го трапецеидального гофра. Кроме того математическая модель представляется областью допустимых значений в пространстве Мх, Му, Мху, Тх, Ту определяемой ограничениями.
Результаты оптимизации пластины с круговой формой гофров внешних обшивок
|
Нагрузка q, кН/м2 |
Угол раскрытия волны гофра, α, град |
Высота гофров, см |
min толщина среднего слоя Н0, см |
Стоимость материала пластины, $ |
||||
|
α1 |
α2 |
α3 |
h1 |
h2 |
h3 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
δ = 0,10 см |
||||||||
|
2,5 |
80,26 |
80,00 |
80,38 |
3,83 |
1,98 |
1,21 |
2,42 |
73,73 |
|
3,0 |
80,40 |
80,10 |
80,30 |
3,87 |
1,91 |
1,04 |
3,59 |
82,20 |
|
4,0 |
80,80 |
80,06 |
80,50 |
3,75 |
1,97 |
1,37 |
5,96 |
100,94 |
|
δ = 0,12 см |
||||||||
|
2,5 |
80,28 |
79,89 |
80,66 |
4,02 |
1,99 |
1,59 |
1,91 |
78,62 |
|
3,0 |
80,30 |
79,84 |
79,90 |
3,87 |
2,00 |
1,56 |
2,64 |
83,89 |
|
4,0 |
80,40 |
80,00 |
80,20 |
3,75 |
1,86 |
1,43 |
4,32 |
95,65 |
В качестве ограничений приняты [2]: – уравнение равновесия для k-той точки дискретной модели пластины; – выражения приведенных толщин относительно осей Ох и Оу; – условие Хилла [3] с матрицей текучести; – условия прочности для заполнителя; – условие местной устойчивости для сжатых полок гофра, условия теплотехнического расчета и технологической осуществимости.
Ограничения в виде равенств и неравенств составлялись для всех точек конечно разностной сетки. Для рассмотренной четвертой части пластины задача имеет 48 неизвестных (25 моментов, 10 сдвигающих усилий, 13 геометрических параметров) и 97 ограничений (19 равенств и 78 неравенств).
Результаты расчетов по определению оптимальных параметров трехслойной пластины с трапецеидальными гофрированными обшивками показали, что увеличение нагрузки с 2,5 кН/м2 до 4,0 кН/м2 приводит к увеличению минимальной толщины среднего слоя для различного количества гофров но не более чем в 2 раза. С увеличением нагрузки до 4,0 кН/м2 стоимость трехслойной пластины с трапецеидальными гофрами увеличивается в среднем на 20 %. При этом минимальное изменение стоимости на 10,4 % приходится на пластину с количеством гофров n = 15 и толщиной листа обшивки δ = 0,12 см. Максимально увеличилась стоимость (на 32,8 %) в пластине с количеством гофров n = 30 и толщиной листа обшивки δ = 0,02 см. Выборочные результаты расчетов по определению оптимальных параметров трехслойной пластины с трапецеидальными гофрированными обшивками приведены в [4].
Результаты расчетов (выборочные) по определению оптимальных параметров трехслойных пластин с волнистыми гофрами внешних обшивок приведены в таблице.
Анализ результатов оптимизации трехслойных пластин с волнистыми гофрами показал, что изменение минимальной толщины среднего слоя Н0 и стоимости пластины изменяются по линейному закону. С увеличением нагрузки до 4,0 кН/м2 минимальная толщина среднего слоя увеличивается до 2,5 раз, а стоимость пластины увеличивается на 20–30 %.
Библиографическая ссылка
Должиков В.Н., Должикова Е.Н. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ОРТОТРОПНЫХ СОСТАВНЫХ ПЛАСТИН // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 12-6. – С. 961-963;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=8061 (дата обращения: 13.09.2024).