Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННОГО КВАДРАТА

Миронова Ю.Н. 1
1 Казанский (Приволжский) Федеральный Университет, Елабужский институт
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука», 1977.
2. Пасынков Б.А. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств // Отображения и функторы. – М.: Изд-во МГУ, 1984.
3. Миронова Ю.Н. О t-псевдокомпактных отображениях // Сибирский математический журнал. Май-июнь 2001. – Том 42, № 3. – С. 634–644.
4. Миронова Ю.Н. О псевдокомпактных, счетно компактных, локально бикомпактных отображениях и k-отображениях // Сибирский математический журнал. – Новосибирск, 2002. – Том 43, № 5.– С. 1115–1129.
5. Миронова Ю.Н. Псевдокомпактность и счетная компактность непрерывных отображений. Монография. – М., ИЦ ГОУ МГТУ «СТАНКИН», 2006. – 76 с.
6. Миронова Ю.Н. Пример курсовой работы по общей топологии // Метрическая геометрия поверхностей и многогранников: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Н.В. Ефимова, Москва; 18–21 августа 2010 г.: Сборник тезисов. – М.: МАКС Пресс, 2010. – С. 105.
7. Миронова Ю.Н. Топологические свойства лексикографически упорядоченного квадрата. // Физико-математическое образование: проблемы и перспективы. Материалы научно-методической конференции, посвященной 60-летнему юбилею физико-математического факультета. – Елабуга: Изд-во ЕИ КФУ, 2013. – С. 113–115.
8. Миронова Ю.Н. Свойства лексикографически упорядоченного квадрата. // Научный электронный архив. (27.02.2014, 3 стр.) URL: http://econf.rae.ru/article/8270 (дата обращения: 27.02.2014).
9. Mironova Yu.N. ?-pseudocompact mappings. // Siberian Mathematical Journal. – 2001. – Т. 42. № 3. – С. 537–545.
10. Mironova Yu.N. On pseudocompact, countably compact locally bicompact mappings, and k-mappings. // Siberian Mathematical Journal. – 2002. – Т. 43. № 5. – С. 899–909.

При изучении общей топологии возникает необходимость рассматривать некоторые простые примеры топологических пространств, обладающие определенными свойствами. Наряду с такими топологическими пространствами, как стрелка, две стрелки, ковер Серпинского, можно рассмотреть топологическое пространство – лексикографически упорядоченный квадрат (см. рисунок).

miron1.tif

Лексикографически упорядоченный квадрат

1. Описание пространства.

Напомним определение нашего пространства.

Рассмотрим на плоскости OXY замкнутый квадрат со сторонами, параллельными осям координат и вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) и упорядочим множество всех точек z = (x, y), 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 этого квадрата в лексикографическом порядке, то есть:

mir01.wmf, если mir02.wmf или

если mir03.wmf.

Полученные в результате такого упорядочения порядковые интервалы и полуинтервалы [0, α[и] β, 1] образуют базу нашего пространства Q.

Эти интервалы имеют следующий вид: пусть даны mir04.wmf, причем mir05.wmf, тогда для любой точки z, лежащей в полосе mir06.wmf, мы получим, что mir07.wmf.

Полуинтервалы mir08a.wmf и mir08b.wmf также содержатся в порядковом интервале mir09.wmf, если mir10.wmf.

2. Пространство является линейно упорядоченным и содержит наибольший и наименьший элемент.

Напомним, что

Определение 1. Множество X называется частично упорядоченным, если в нём установлено отношение порядка, удовлетворяющее условию транзитивности: если x < x' и x' < x'', то x < x''.

Определение 2. Если в данном частично упорядоченном множестве X отношение порядка установлено для любых двух различных элементов, то частично упрядоченное множество называется линейно упорядоченным

Теорема 1. Лексикографически упорядоченный квадрат Q является линейно упорядоченным множеством.

Определение 3. Если в данном упорядоченном множестве mir11.wmf, то говорят, что элемент x лежит между элементами a и b. Множество всех элементов x, лежащих между элементами a и b, называется интервалом ]a, b[ упорядоченного множества X.

Обозначим в пространстве Q точку (0, 0) символом 0, точку (1, 1) – символом 1, а любой элемент mir13.wmf – символом x, тогда открытыми множествами в Q являются mir14.wmf, где 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 и всевозможные их пересечения.

Определение 4. Если элемент a частично упорядоченного множества X таков, что mir15.wmf, то a – первый (наименьший) элемент множества X.

Аналогичное определение даётся для наибольшего элемента.

В пространстве Q наименьшим элементом является 0, а наибольшим – 1.

То есть в пространстве Q имеются наименьший и наибольший элементы.

3. База топологии пространства Q.

Интервалы и полуинтервалы [0, ∞ [и] β, 1]образуют базу некоторой топологии на Q.

Имеется следующая теорема:

Теорема. Пусть X – множество, B – система его подмножеств. B является базой некоторой топологии на X, если выполняются условия:

a. mir16.wmf (система B является покрытием X);

b. mir17a.wmf

mir17b.wmf

Условия a и b этой теоремы выполняются для наших интервалов и полуинтервалов. Следовательно, множество всех порядковых интервалов образуют базу некоторой топологии на Q.

4. Существование системы мощности c попарно не пересекающихся интервалов. Несепарабельность.

Рассмотрим интервалы вида mir18.wmf Это вертикальные интервалы. Здесь x пробегает множество всех действительных чисел на [0, 1], то есть множество мощности c Для любых mir19.wmf имеем mir20.wmf. Интервалы являются открытыми множествами в Q.

То есть доказано существование системы не пересекающихся открытых множеств мощности c.

Докажем теперь несепарабельность Q. Напомним, что

Определение 5. mir21.wmf – всюду плотное множество, если mir22.wmf.

Определение 6. X – сепарабельно, если в X существует счетное всюду плотное множество.

Рассмотрим произвольное всюду плотное множество mir23.wmf. В любом из наших интервалов Ix имеется по крайней мере одна из точек множества A. Следовательно, мощность множества A не менее, чем континуум.

Следовательно, пространство Q несепарабельно.

5. Хаусдорфовость.

Определение 7. Хаусдорфовым топологическим пространством называется множество, в котором выделены некоторые подмножества, называемые открытыми множествами пространства, так что при этом выполняются следующие условия:

10. Всё пространство и пустое множество открыты.

20. Сумма любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

30. Ко всяким двум различным точкам x и y пространства имеются два непересекающихся множества Ox и Oy, содержащих соответственно эти точки.

Докажем хаусдорфовость нашего пространства Q.

Свойства 10 и 20 следуют из того, что Q – топологическое пространство.

Докажем свойство 30.

Пусть даны точки mir24.wmf, mir25.wmf, mir26.wmf. Тогда mir27.wmf или mir28.wmf.

А) Пусть x1 = x2, тогда существует x такой, что mir30.wmf, например, mir31.wmf, тогда mir32.wmf, mir33.wmf, где mir34.wmf.

Множества mir35.wmf открыты, mir36.wmf, mir37.wmf, mir38.wmf.

B) Пусть mir39.wmf тогда mir40.wmf, следовательно, mir41.wmf, и мы снова получаем mir42.wmf, mir43.wmf.

Таким образом, пространство Q – хаусдорфово пространство.

Эти и другие свойства пространства Q можно изучать на семинарах по общей топологии в университетах.


Библиографическая ссылка

Миронова Ю.Н. НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННОГО КВАДРАТА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 12-10. – С. 1908-1909;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=8408 (дата обращения: 25.02.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074