Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Мусаев В.К. 1

---

1 Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II

Приводится некоторая информация о моделировании плоских нестационарных упругих волн в упругой полуплоскости. Для решения поставленной задачи применяется волновое уравнение механики деформируемого твердого тела. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных динамических задач теории упругости. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями. Получена явная двухслойная схема. При решении сложных задач возникают проблемы оценки достоверности полученных результатов. В работе рассматривается оценка точности и достоверности результатов численного моделирования волн напряжений при распространении плоской нестационарной упругой волны в полуплоскости. В качестве воздействия применяется функция Хевисайда. Решается система уравнений из 59048 неизвестных.

Статья в формате PDF

1073 KB

вычислительная физика

техносферная безопасность

численный метод Мусаева В.К.

алгоритм

комплекс программ

метод

нестационарные упругие волны

плоская продольная волна

физика и механика динамики сплошных сред

фундаментальное воздействие

распространение волн

исследуемая расчетная область

функция Хевисайда

математическая точность

физическая достоверность

верификация численного метода

1. Мусаев В.К. О достоверности компьютерного моделирования нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах сложной формы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 11. – С. 10–14.

2. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью метода конечных элементов в перемещениях // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 12 (1). – С. 28–32. 

3. Мусаев В.К. Оценка точности и достоверности численного моделирования при решении задач об отражении и интерференции нестационарных упругих волн напряжений // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1 (часть 7). – С. 1184–1187.

4. Мусаев В.К. Численное решение задачи о распространении нестационарных упругих волн напряжений в подкрепленном круглом отверстии // Современные наукоемкие технологии. – 2015. – № 2. – С. 93–97. 

5. Мусаев В.К. Математическое моделирование поверхностных волн напряжений в задаче Лэмба при воздействии в виде дельта функции // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 2  (часть 1). – С. 25–29.

6. Мусаев В.К. Математическое моделирование поверхностных волн напряжений в задаче Лэмба при воздействии в виде функции Хевисайда // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 5 (часть 1). – С. 38–41.

7. Мусаев В.К. Численное моделирование плоских продольных волн в виде импульсного воздействия (восходящая часть – четверть круга, средняя – горизонтальная, нисходящая – линейная) в упругой полуплоскости // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 11 (часть 2). – С. 222–226.

8. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных стоячих упругих волн в бесконечной полосе при воздействии в виде треугольного импульса // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 11 (часть 2). – С. 248–251.

9. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в Курпсайской плотине с основанием (полуплоскость) с помощью волновой теории сейсмической безопасности // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 3–1. – С. 47–50.

10. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих динамических напряжений в полуплоскости без полости и с полостью с помощью волновой теории сейсмической безопасности // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 3–2. – С. 227–231.

Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 109 кг/м3.

Некоторая информация о моделировании нестационарных волн напряжений в деформируемых телах различной формы приведена в работах [1–10] .

В работах [1, 3–4, 7–8] приведена информация о физической достоверности и математической точности рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.

Приводится информация о численном моделировании нестационарных упругих плоских волн напряжений в упругой полуплоскости.

Для оценки физической достоверности и математической точности применяется численное моделирование. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач динамической теории упругости. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Задачи решаются методом сквозного счета, без выделения разрывов. Исследуемая область по пространственным переменным разбивается на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений. За основные неизвестные в узле конечного элемента приняты два перемещения и две скорости перемещений. Задача с начальными условиями с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина приведена к явной двухслойной схеме.

Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной волны в виде функции Хевисайда (рис. 2) на упругую полуплоскость (рис. 1).

Рис. 1. Постановка задачи о распространении плоских продольных нестационарных упругих волн в полуплоскости

На границе полуплоскости AB приложено нормальное напряжение , которое при изменяется линейно от 0 до P, а при равно P (, МПа (–1 кгс/см2)). Граничные условия для контура BCDA при . Отраженные волны от контура BCDA не доходят до исследуемых точек при . Расчеты проведены при следующих исходных данных: ; Dt=1,393•10–6 с; E=3,15•104 МПа (3,15•105 кгс/см2); ; r=0,255•104 кг/м3 (0,255•10–5 кгс•с2/см4); Cp= 3587 м/с; Cs=2269 м/с. Решается система уравнений из 59048 неизвестных.

На рис. 3–12 представлено изменение нормального напряжения () во времени n в точках B1–B10: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение.

Рис. 2. Воздействие типа функции Хевисайда

Рис. 3. Изменение упругого нормального напряжения во времени в точке В1: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

Рис. 4. Изменение упругого нормального напряжения во времени в точке В2: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

Рис. 5. Изменение упругого нормального напряжения во времени в точке В3: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

Рис. 6. Изменение упругого нормального напряжения во времени в точке В4: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

Рис. 7. Изменение упругого нормального напряжения во времени в точке В5: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

Рис. 8. Изменение упругого нормального напряжения во времени в точке В6: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

Рис. 9. Изменение упругого нормального напряжения во времени в точке В7: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

Рис. 10. Изменение упругого нормального напряжения во времени в точке В8: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

Рис. 11. Изменение упругого нормального напряжения во времени в точке В9: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

Рис. 12. Изменение упругого нормального напряжения во времени в точке В10: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

На фронте плоской продольной волны имеется следующая аналитическая зависимость для плоского напряженного состояния . Отсюда видим, что точное решение задачи соответствует воздействию (рис. 2). Для нормального напряжения имеется хорошее качественное и количественное совпадение с результатом аналитического решения. На основании проведенных исследований можно сделать вывод о физической достоверности результатов численного решения задач при распространении нестационарных упругих волн в деформируемых телах. Сравнение результатов нормальных напряжений, полученных с помощью метода конечных элементов в перемещениях, при решении задачи о распространении плоских продольных нестационарных упругих волн в полуплоскости с результатами аналитического решения, показало хорошее совпадение.

Библиографическая ссылка