Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Мусаев В.К. 1

---

1 Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II

Приводится информация о моделировании безопасности некоторых задач при нестационарных волновых сейсмических воздействиях на надземный нефтепровод с помощью метода конечных элементов. Для решения поставленной задачи применяются уравнения нестационарной динамической теории упругости. Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Применяется однородный алгоритм. С помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши. Рассмотрена постановка четырех задач при различных углах подхода сейсмического воздействия на надземный нефтепровод. Сейсмическое воздействие моделируется в виде функции Хевисайда. Решается система уравнений из 32032288 неизвестных.

Статья в формате PDF

2035 KB

численный метод Мусаева В.К.

алгоритм

комплекс программ

нестационарные упругие волны

динамика сплошных сред

волновая теория сейсмической безопасности

сейсмика

сейсмическая стойкость

сейсмическое воздействие

сейсмическая нагрузка

фундаментальное воздействие

полуплоскость

неотражающие граничные условия

исследуемая расчетная область

нефтепровод

надземное сооружение

импульс в виде ступеньки

функция Хевисайда

1. Мусаев В.К. О достоверности компьютерного моделирования нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах сложной формы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 11. – С. 10–14.

2. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью метода конечных элементов в перемещениях // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 12 (1). – С. 28–32.

3. Мусаев В.К. Оценка точности и достоверности численного моделирования при решении задач об отражении и интерференции нестационарных упругих волн напряжений // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1 (часть 7). – С. 1184–1187.

4. Мусаев В.К. Численное решение задачи о распространении нестационарных упругих волн напряжений в подкрепленном круглом отверстии // Современные наукоемкие технологии. – 2015. – № 2. – С. 93–97.

5. Мусаев В.К. Исследования устойчивости явной двухслойной линейной конечноэлементной схемы для внутренних узловых точек на равномерной прямоугольной сетке // Современные наукоемкие технологии. – 2015. – № 5. – С. 39–42.

6. Мусаев В.К. Математическое моделирование поверхностных волн напряжений в задаче Лэмба при воздействии в виде функции Хевисайда // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 5 (часть 1). – С. 38–41.

7. Мусаев В.К. Численное моделирование плоских продольных волн в виде импульсного воздействия (восходящая часть – четверть круга, средняя – горизонтальная, нисходящая – линейная) в упругой полуплоскости // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 11 (часть 2). – С. 222–226.

8. Мусаев В.К. Численное моделирование нестационарных упругих волн напряжений в некоторых задачах методического характера // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 11 (часть 2). – С. 227–230.

9. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных процессов в геообъектах с помощью волновой теории сейсмической безопасности // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 12. – С. 347–352.

10. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в Курпсайской плотине с основанием (полуплоскость) с помощью волновой теории сейсмической безопасности // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 3–1. – С. 47–50.

Рассматриваются вопросы численного моделирования сейсмического воздействия на надземный нефтепровод с основанием в виде полуплоскости.

Поставленная задача решается с помощью численного моделирования уравнений нестационарной математической теории упругости.

В работах [1–10] приведена информация о моделировании нестационарных волн напряжений в деформируемых телах сложной формы с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.

Постановка волновой задачи с начальными и граничными условиями

Для решения задачи о моделировании упругих нестационарных волн напряжений в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t=0 сообщается механическое нестационарное импульсное воздействие.

Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

, ,

,

,

, ,

, , ,

, (1)

где , и – компоненты тензора упругих напряжений; , и – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; – плотность материала; – скорость продольной упругой волны; – скорость поперечной упругой волны; – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Разработка методики и алгоритма

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

, ,

, (2)

где – диагональная матрица инерции; – матрица жесткости; – вектор узловых упругих перемещений; – вектор узловых упругих скоростей перемещений; – вектор узловых упругих ускорений; – вектор внешних узловых упругих сил.

Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1) привели к линейной задаче Коши (2).

Интегрируя по временной координате соотношение (2) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

,

, (3)

где – шаг по временной координате.

Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.

Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате и по пространственным координатам, а именно

, (4)

где – длина стороны конечного элемента.

Для исследуемой области, состоящей из материалов с разными физическими свойствами, выбирается минимальный шаг по временной координате (4).

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать задачи при нестационарных волновых воздействиях на сложные системы. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.

В работах [1, 3–5, 7] приведена информация о физической достоверности и математической точности моделирования нестационарных волн напряжений с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.

Постановка задач о сейсмическом воздействии на надземный нефтепровод

В работе приводится постановка для четырех задач. Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с).

Для рассматриваемых материалов приняты следующие исходные данные. Для трубы приняты следующие исходные данные: ; с; E = 2,1*10 6 кгс/см2; n= 0,3; r= 0,8*10-5 кгс с2/см4; Сp= 5371 м/с; Сs= 3177 м/с. Для основания приняты следующие исходные данные:

; с; E = 3,15*105 кгс/см2; n= 0,2; r= 0,255*10-5 кгс с2/см4; Сp= 3587 м/с; Сs= 2269 м/с.

Внутренний диаметр трубы равен 14,5H. Средний диаметр трубы равен 15H. Наружный диаметр трубы равен 15,5H. Толщина трубы равна 0,5H. Решается система уравнений из 32032288 неизвестных.

1. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом девяносто градусов к горизонту на наземный нефтепровод (рис. 1). От точки J под углом девяносто градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение , которое при () изменяется линейно от 0 до P, а при равно P(, кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при . Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при . Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. Наружный контур EFGH трубы свободен от напряжений, кроме точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью. В точке G контакта трубы и основания приняты условия непрерывности перемещений. Контур KJGI свободен от нагрузок, кроме точек G и J, которые находятся в упругой полуплоскости.

Рис. 1. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом девяносто градусов к горизонту на надземный нефтепровод

Рис. 2. Сейсмическое воздействие в виде ступенчатой функции (функция Хевисайда)

2. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом восемьдесят градусов к горизонту на наземный нефтепровод (рис. 3). От точки J под углом восемьдесят градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение , которое при () изменяется линейно от 0 до P, а при равно P(, кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при . Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при . Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. Наружный контур EFGH трубы свободен от напряжений, кроме точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью. В точке G контакта трубы и основания приняты условия непрерывности перемещений. Контур KJGI свободен от нагрузок, кроме точек G и J, которые находятся в упругой полуплоскости.

Рис. 3. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом восемьдесят градусов к горизонту на надземный нефтепровод

3. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом семьдесят градусов к горизонту на наземный нефтепровод (рис. 4). От точки J под углом семьдесят градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение , которое при () изменяется линейно от 0 до P, а при равно P(, кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при . Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при . Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. Наружный контур AFGH трубы свободен от напряжений, кроме точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью. В точке G контакта трубы и основания приняты условия непрерывности перемещений. Контур KJGI свободен от нагрузок, кроме точек G и J, которые находятся в упругой полуплоскости.

4. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом шестьдесят градусов к горизонту на наземный нефтепровод (рис. 5).

От точки J под углом шестьдесят градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение , которое при () изменяется линейно от 0 до P, а при равно P(, кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при . Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при . Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. Наружный контур EFGH трубы свободен от напряжений, кроме точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью. В точке G контакта трубы и основания приняты условия непрерывности перемещений. Контур KJGI свободен от нагрузок, кроме точек G и J, которые находятся в упругой полуплоскости.

Рис. 4. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом семьдесят градусов к горизонту на надземный нефтепровод

Рис. 5. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом шестьдесят градусов к горизонту на надземный нефтепровод

Библиографическая ссылка