Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

ПРОСТЫЕ И ГИБРИДНЫЕ ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЕ МОНОМОДУЛЯРНЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ

Иванов В.В. 1
1 АО «ОКТБ «ОРИОН»
Проанализированы классы детерминистических фрактальных структур на основе канторова множества и итерационной последовательности точек в 1D и 2D пространстве. Предложены варианты символьного описания точечных и некоторых производных от них мономодулярных фрактальных структур в 3D пространстве. Проведена первичная классификация структур и определены основополагающие соотношения между их фрактальными размерностями. Определены топологические характеристики мономодулярных фракталов (размерности пространства, в котором существует структура, структурного фрагмента, на котором задан генератор, и собственно генератора фрактала). Проанализирована возможность существования и размерности вероятных гибридных мономодулярных (точечных, линейчатых и из фрагментов поверхности) фрактальных структур в 3D пространстве. Также представлены результаты сравнительного анализа фрактальных размерностей и некоторых топологических характеристик для структур с тремя разными генераторами.
модуль
генератор
фрактальная структура
фрактальная размерность
модулярная структура
мономодулярный фрактал
гибридная фрактальная структура
1. Бурбаки Н. Теория множеств. – М.: Мир, 1965. – 455 с.
2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир. – 1976. – 400 с.
3. Иванов В.В. Общая характеристика возможных гибридных мономодулярных фрактальных структур// Соврем. наукоемкие технологии. 2013.- № 5. – С.29–31.
4. Иванов В.В. Формирование фрактальных структур на основе итерационной последовательности и канторова множества точек с заданными характеристиками в 1D пространстве // Успехи соврем. естествознания, 2013. – № 8. – С.136–137.
5. Иванов В.В. Анализ возможности получения новых точечных и квазиточечных фрактальных структур на основе итерационной последовательности и канторова множества// Успехи соврем. естествознания, 2013. – № 8. – С.129–130.
6. Иванов В.В. Формирование и символьное описание детерминистических гибридных фрактальных структур в 1D пространстве // Успехи современного естествознания, 2013. – № 11. – С.61–65.
7. Иванов В.В. Описание и классификация точечных мономодулярных фрактальных структур // Успехи соврем. естествознания, 2013. – № 8. – С.134–135.
8. Иванов В.В. Принципы формирования регулярных простых фрактальных структур // Междунар. науч.-иссл. журнал, 2013. – №7–1. – С.35–37.
9. Иванов В.В. Принципы формирования структурных состояний из фрактальных компонент с учетом полугрупповых свойств множества соответствующих 1D генераторов // Успехи соврем. естествознания, 2014. – №.7. – С.100–104.
10. Иванов В.В. Комбинаторное моделирование вероятных структур неорганических веществ. – Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2003. – 204 с.
11. Иванов В.В. Формирование и символьное описание детерминистических гибридных фрактальных структур в 2D пространстве // Соврем. наукоемкие технологии. – 2013. – № 9. – С.89–93.
12. Иванов В.В. Детерминистические фракталы на основе итерационной последовательности точек в 2D пространстве // Междунар. науч.-иссл. журнал, 2013. – №7–1. – С.28–30.
13. Иванов В.В. Детерминистические фракталы на основе канторова множества и итерационной последовательности точек в 2D пространстве // Междунар. науч.-иссл. журнал, 2013. – № 7–1. – С.31–33.
14. Иванов В.В. Возможные состояния модулярных структур кристаллических, наноразмерных и фрактальных объектов на поверхности антифрикционных композиционных покрытий // Соврем. наукоемкие технологии, 2015. – № 8. – С. 24–27.
15. Иванов В.В. Возможные состояния распределения модулярных структур кристаллических, наноразмерных и фрактальных объектов в объеме антифрикционных композиционных материалов // Соврем. наукоемкие технологии, 2015. – № 5. – С. 16–19.
16. Иванов В.В. Континуальные и дисконтинуальные состояния многокомпонентных детерминистических модулярных структур фрактального гибридного класса (FFF) // Междунар. журнал прикладных и фундаментальных исследований, 2016. – № 6 (часть 2). – С.235–242.
17. Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. Эволюционная модель формирования и анализ детерминистических фрактальных структур // Успехи соврем. естествознания, 2012. – № 4. – С.230–232.
18. Иванов В.В., Таланов В.М. Модулярное строение наноструктур: Информационные коды и комбинаторный дизайн // Наносистемы: Физика, Химия, Математика. 2010. – Т.1. – № 1. – С.72–107.
19. Иванов В.В., Таланов В.М. Разбиение и структурирование пространства, описание процесса формирования модульного кристалла // Успехи соврем. естествознания, 2012. – № 8. – С.75–77.
20. Иванов В.В., Таланов В.М. Разбиение структурированного 3D пространства на модулярные ячейки и моделирование невырожденных модулярных структур // Успехи соврем. естествознания, 2012. – №10. – С.78–80.
21. Иванов В.В., Таланов В.М. Формирование структурного модуля для модулярного дизайна в 3D пространстве // Успехи соврем. естествознания, 2012. – №9. – С.74–77.
22. Иванов В.В., Таланов В.М. Классификация структурных состояний локальной транзитивной области структурированного 3D пространства // Успехи соврем. естествознания, 2013. – №.12. – С.60–64.
23. Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн двумерных наноструктур и фрактальных решеток // Наносистемы: Физика, Химия, Математика, 2011. – Т.2. – № 3. – С.121–134.
24. Общая алгебра. В 2 т. / Под общ. ред. Л.А. Скорнякова. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.,1990. – Т.1. – 592 с.; 1991. – Т.2. – 480 с.
25. Федер Е. Фракталы. – M.: Мир, 1991. – 260 с.
26. Фракталы в физике. Под ред. Л. Пьетронеро и Э. Тозатти. – M.: Мир, 1988. 420 с.
27. Ivanov V.V., Derlugian P.D., Ivanova I.V., Popov S.V., Shishka V.G. Shcherbakov I.N. Fractal structures as a possible abstractions of the site and size-distributions of phases and a possible approximants of the interphase borders configurations onto surface of the composites // Eastern European Scientific Journal, 2016, 2 – pp. 203–206.
28. Ivanov V.V., Ivanova I.V. Structural states of the surface of compositional coatings with nano-dimensional and fractal components // Eastern European Scientific Journal, 2016, 1 – pp. 195–198.
29. Sander L.M. Fractal growth // Sci. Am. 1987. – V.256. – P.94–100.

Для формирования детерминистических модулярных структур, в том числе и фрактальных, необходимо структурированное (ячеистое) пространство [19 – 21]. Роль ячеистых 2D или 3D пространств могут выполнять 2D или 3D-решетки [23]. Принципы формирования структурных состояний из фрактальных компонент с учетом полугрупповых свойств множества соответствующих 1D генераторов, а также алгоритмы формирования соответствующих фрактальных структур сформулированы в [8, 9].

Фракталами с конечным ветвлением и определенной симметрией являются, в частности, детерминистические фрактальные решетки, построенные из затравки в виде определенного фрагмента 2D решетки. Конструкция таких решеток полностью описывается заданием геометрического генератора и итерационной процедуры. Бесконечное повторение процедуры итерации дает полную фрактальную решетку [25, 26]. Геометрическим генератором фрактальных решеток может быть фрагмент 2D полигонных R{Pg}im-структур, в частности, тетрагонных R{4}im-структур, соответствующих 2D сетке 4444 или ее производным [10, 17–21, 23].

Известны фрактальные кривые, которые могут быть получены методом итераций, заданных соответствующим генератором, и в бесконечном повторении их имеют бесконечную длину и полностью заполняют 2D пространство [29]. Наряду с ними известны также замкнутые фрактальные кривые, полученные аналогичным итерационным методом, длина которых при бесконечном выполнении итерационного закона также становится бесконечной, а их площадь изменяется, принимая определенное конечное значение [25, 26].

Проанализируем возможности описания и классификации простых и гибридных мономодулярных структур из модулей с разными

Описание и классификация мономодулярных фрактальных структур

Фрактальный характер структуры может определяться как позиционным упорядочением одинаковых структурных элементов с постоянным изменением масштаба позиционирования, так и подобием строения структурных фрагментов на разных уровнях иерархии, достигаемого путем инъективных или сюръективных отображений. В соответствии с [8, 9] любое упорядоченное множество идентичных фрактальных структур, полученных инъективным способом в единичной ячейке структурированного пространства, представляет собою детерминистическую фрактальную структуру. Фрактал Fn, полученный инъективным способом, включает в себя множество предфракталов {F(i)} (i < n) и занимает с ними одну и ту же ячейку структурированного пространства. При итерировании генератора фрактала сюръективным способом фрактальная структура неограниченно эволюционирует из инициальной ячейки в окружающее ячеистое пространство в соответствии со своим коэффициентом подобия. При сюръективном итерировании генератора GenF(K)?F1(K) фрактальной структуры F(K), где K – коэффициент подобия, происходит «захват» новых пространственных ячеек таким образом, что «объем» каждого предфрактала n-го поколения с учетом лакунарного пространства возрастает по сравнению с «объемом» предфрактала предыдущего поколения в (1/K) раз. Общее количество пространственных ячеек, занятых предфрактальной структурой Fn(K): N(n) = K- (Dn/2) , где D – размерность пространства [8, 9].

Точечные фрактальные структуры – результат позиционного упорядочения простейших структурных элементов без внутренней структуры, т.е. точек, по определенным фрактальным законам. Классическими примерами подобных точечных структур в 1D пространстве являются итерационная последовательность точек и канторово множество точек [4, 5, 7, 12, 13].

По аналогии с [7] для точечных фрактальных структур введем следующее символьное обозначение

F(N){dsp, dfrag, dgen +(-)},

где F(N) – имя структуры и характеристики классификационной принадлежности; dsp, dfrag и dgen – топологические размерности пространства, в котором существует данная структура, структурного фрагмента, на котором задан генератор, и собственно генератора фрактала, соответственно.

Знак + или – указывает тенденцию изменения фрактальной размерности генератора Dim GenF(N) по сравнению с его топологической размерностью dgen. Формально возможны следующие значения топологических размерностей: dsp[1, 2, 3],dfrag[0, 1, 2], dgen[0, 1, 2]. Разные непротиворечивые сочетания этих значений для dsp, dfrag и dgen определяют разные классы фрактальных структур [7]. Перечислим эти 12 классов.

В 1D пространстве:

– классы структур с 0–мерными фрагментами: 1) F{1,0,0+}, 2) F{1,0,1–}.

В 2D пространстве:

– классы структур с 0–мерными фрагментами: 3) F{2,0,0+}, 4) F{2,0,1–},

– классы структур с 1–мерными фрагментами: 5) F{2,1,1+}, 6) F{2,1,2–},

а соответствующие свертки [1, 2] характеризуют связи между этими классами структур:

sv F{2,1,1+} = F{1,0,0+},

sv F{2,1,2–} = F{1,0,1–}.

В 3D пространстве:

– классы структур с 0–мерными фрагментами: 7) F{3,0,0+}, 8) F{3,0,1–},

– классы структур с 1-мерными фрагментами: 9) F{3,1,1+}, 10) F{3,1,2–},

соответствующие свертки:

sv F{3,1,1+} = F{2,0,0+},

sv F{3,1,2–} = F{2,0,0+},

– классы структур с 2–мерными фрагментами: 11) F{3,2,2+}, 12) F{3,2,3–},

соответствующие свертки [1, 2, 24]:

sv F{3,2,2+} = F{2,1,1+},

sv2 F{3,2,2+} = F{1,0,0+},

sv F{3,2,3–} = F{2,1,2–},

sv2 F{3,2,3–} = F{1,0,1–}.

Указанные выше непрерывные преобразования типа свертки в одном (sv) или двух (sv2) ортогональных направлениях для структур классов 5, 6, 9 – 12 показывают генетическую связь линейчатых структур и структур из фрагментов поверхности с собственно точечными структурами. Отметим, что линейчатые структуры и структуры из фрагментов поверхности могут быть получены путем применения к ней одного (или двух) из возможных преобразований непрерывной группы трансляций ty или tyz в направлениях, ортогональных к пространству существования анализируемой точечной структуры [24].

Учитывая, что при каждой свертке фрактальная размерность структуры изменяется на единицу, имеем следующие простые соотношения:

Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = = 1 + Dim sv F(N){dsp, dfrag, dgen},

Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = = 2+ Dim sv2 F(N){dsp, dfrag, dgen}.

Необходимо также учесть, что локальная размерность точечной фрактальной структуры определяется фрактальной размерностью ее генератора Gen F. Тогда имеем

Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = =Dim Gen F(N){dsp, dfrag, dgen}.

Локальная фрактальная размерность структуры, генератор которой задает определенный коэффициент ее самоподобия в виде отношения K = (b/a), может быть представлена следующим образом. Обозначим Gen F(N){dsp, dfrag, dgen} = Gen F(K).

Тогда для точечных фрактальных структур

Dim Gen F(K) = ln(Da)/lnb,

где D – мерность пространства, в котором существует фрактал.

В частности, имеем:

в 1D пространстве – Dim Gen F(K) = lna/lnb,

в 2D пространстве – Dim Gen F(K) = ln(2a)/lnb,

в 3D пространстве – Dim Gen F(K) = ln(3a)/lnb.

Таким образом, предложено символьное описание точечных и некоторых производных от них мономодулярных фрактальных структур в 3D пространстве, проведена их первичная классификация и определены основополагающие соотношения между их фрактальными размерностями.

Гибридные мономодулярные фрактальные структуры

В соответствии с [3, 6, 11, 22] для заданного множества любых структурно совместимых 1D генераторов {Gen(i)} реализуется три локальных транзитивных 2D области:

Tr[Gen(a),Gen(b)], Tr[Gen(a),Gen(c)] или Tr[Gen(b),Gen(c)]

и одна и только одна локальная транзитивная 3D область, а ее формирование не зависит от последовательности реализации трех возможных транзитивных 2D областей, т.е.

Tr[Gen(a),Gen(b), Gen(c)] = = Tr[Tr[Gen(a),Gen(b)], Gen(c)] = = Tr[Tr[Gen(a),Gen(c)], Gen(b)] = =Tr[Tr[Gen(b),Gen(c)], Gen(a)].

В общем случае гибридные фрактальные структуры, вложенные в единичный объем 3D пространства, могут быть образованы тремя разными генераторами [3, 6, 11]. Для символьного описания возможных классов мономодулярных гибридных фрактальных структур с тремя генераторами будем использовать следующие обозначения:

F(Gx, Gy, Gz){dsp, (dfrag, yz ,dfrag, xz ,dfrag, xy), (dgen, x ,dgen, y ,dgen, z )},

где F(Gx, Gy, Gz) – обозначение гибридного фрактала с указанием всех его генераторов; dsp , dfrag, yz , dfrag, xz и dfrag, xy – топологические размерности пространства существования фрактала и структурных фрагментов в соответствующих взаимно ортогональных 2D подпространствах; dgen, x , dgen, y и dgen,z – топологические размерности соответствующих генераторов. Области возможных значений: dfrag, yz (xz, xy) [0,1,2], dgen, x (y, z) [0,1,2].

Тогда в 3D пространстве могут быть 4 варианта точечных гибридных фрактальных структур с тремя разными генераторами Gx, Gy и Gz:

F(Gx, Gy, Gz){3, (0,0,0), (0,0,0)},

F(Gx, Gy, Gz){3, (0,0,0), (0,0,1)},

F(Gx, Gy, Gz){3, (0,0,0), (0,1,1)},

F(Gx, Gy, Gz){3, (0,0,0), (1,1,1)},

Формально возможные 3 варианта линейчатых гибридных фрактальных структур с двумя генераторами, например, Gx, и Gy, следующие:

F(Gx, Gy, Z){3, (0,1,1), (0,0, -)},

F(Gx, Gy, Z){3, (0,1,1), (0,1, -)},

F(Gx, Gy, Z){3, (0,1,1), (1,1, -)}.

Фрактальные структуры из упорядоченных по фрактальному закону фрагментов плоскости F(Gx,Y,Z){3,(1,2,2),(0,-,-)} и F(Gx,Y,Z){3,(1,2,2),(1,-,-)} не являются гибридными.

Три гибридные линейчатые структуры с тремя генераторами Gx, Gy и G*z, где G*z – генератор фрактальной линии, совместимый по свойствам с генератором Gx (Gy), могут быть следующие:

F(Gx, Gy, G*z){3,(0,1,1),(0,0,1)},

F(Gx, Gy, G*z){3,(0,1,1),(0,1,1)},

F(Gx, Gy, G*z){3,(0,1,1),(1,1,1)}.

Отметим, что под совместимостью линейного генератора G*z с одним из точечных Gx (или Gy) понимается изоморфизм его сечения плоскостью ZX (или ZY) с ним [24], т.е.

G*z|ZX(ZY) > G*x(y) - Gx(y).

Две гибридные структуры из фрактальных поверхностей, упорядоченных а единичном объеме 3D пространства по фрактальному закону Gx и совместимых с ним:

F(Gx, G*yz){3,(1,2,2),(0,2)},

F(Gx, G*yz){3,(1,2,2),(1,2)}.

Условие совместимости:

G*zy|ZX(ZY) > G*z - Gx.

В 2D пространстве имеем следующие возможные варианты точечных гибридных фрактальных структур с двумя генераторами, например, Gx, и Gy:

F(Gx,Gy){2,(0,1),(0,0)},

F(Gx,Gy){2,(0,1),(0,1)},

F(Gx,Gy){2,(0,0),(1,1)}.

Возможные линейчатые гибридные фрактальные структуры в 2D пространстве с двумя генераторами Gx, и G*z, где G*z – генератор фрактальной линии, совместимый по свойствам с генератором Gx:

F(Gx, G*z){2,(0,1),(0,1)}

Между точечными структурами 2D пространства и линейчатыми структурами 3D пространства существуют очевидные связи:

SvZ F(Gx, Gy, Z){3, (0,1,1), (0,0,-)} = =F(Gx, Gy){2, (0,0), (0,0)},

SvZ F(Gx, Gy, Z){3, (0,1,1), (0,1,-)} = F(Gx, Gy){2, (0,0), (0,1)},

SvZ F(Gx, Gy, Z){3, (0,1,1), (1,1,-)} = =F(Gx, Gy){2, (0,0), (1,1)}.

Между точечными структурами 1D пространства, линейчатыми структурами и структурами 3D пространства из фрагментов поверхности также существуют очевидные связи:

SvYZ F(Gx, Y, Z){3, (1,2,2), (0,-,-)} = =F(Gx){1, (0), (0)},

SvYZ F(Gx, Y, Z){3, (1,2,2), (1,-,-)} = =F(Gx){1, (0), (1)}.

Определим фрактальные размерности выведенных структур через размерности их генераторов. Тогда фрактальные размерности точечных, линейчатых структур и структур из фрагментов поверхности могут быть соответственно представлены следующим образом:

Dim F(Gx, Gy, Gz) = =Dim F1(Gx) + Dim F2(Gx) + Dim F3(Gx),

Dim F(Gx, Gy, Z) = 1 + Dim F(Gx, Gy) = =1 + Dim F1(Gx) + Dim F2(Gx).

Dim F(Gx, Y, Z) = 2 + Dim F(Gx).

Dim F(Gx, Gy, G*z) = =Dim F1(Gx) + Dim F2(Gx) + Dim F3(G*x),

Dim F(Gx, G*yz) = =Dim F(Gx) + Dim F(G*yz).

Таким образом, проанализирована возможность существования и определены размерности вероятных гибридных мономодулярных (точечных, линейчатых и из фрагментов поверхности) фрактальных структур в 3D пространстве.

Отметим, что детерминистические модулярные структуры, в том числе и фрактальные, могут быть охарактеризованы с помощью определенных модулярных структурных состояний на поверхности или в объеме различных функциональных материалов [14 – 16, 28]. В связи с этим детерминистические модулярные фрактальные структуры могут рассматриваться как абстракции для вероятных сайт- или сайз-распределений фаз или как возможные аппроксиманты для конфигураций межфазных границ на поверхности композиционных материалов [27].

Выводы

Проанализированы возможности формирования детерминистических фрактальных структур на основе канторова множества и итерационной последовательности точек в 1D и 2D пространстве. Предложены варианты символьного описания мономодулярных фрактальных структур в 3D пространстве. Проведена первичная классификация и определены фрактальные размерности и топологические характеристики вероятных гибридных мономодулярных фрактальных структур с тремя разными генераторами в 3D пространстве.


Библиографическая ссылка

Иванов В.В. ПРОСТЫЕ И ГИБРИДНЫЕ ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЕ МОНОМОДУЛЯРНЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 11-6. – С. 1124-1128;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=10736 (дата обращения: 28.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674