Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Нахушева Ф.М. 1 Куважукова Р.Х. 1 Максидова З.Т. 1

---

1 ФГБОУ ВО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»

Работа посвящена рассмотрению уравнения влагопереноса с краевыми условиями третьего рода, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. Подобные условия возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью, при решении задачи об установлении температуры в ограниченной среде при наличии нагревателя, трактуемого как сосредоточенная теплоёмкость. Аналогичные условия возникают также в практике регулирования солевого режима почв, когда рассоление верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности затопленного на некоторое время участка. Известно, что уравнение Аллера и другие уравнения переноса влаги, основанные на диффузионной модели, предполагают бесконечную скорость распространения возмущения. Уравнение Лыкова учитывает его конечную скорость. Оно выведено из принципов необратимой термодинамики на основании анализа релаксационных процессов, а не исходя из молекулярных представлений капиллярности. Поэтому уравнение Лыкова характеризуется определённой общностью. Для рассматриваемой задачи получена априорная оценка в дифференциальной трактовке с помощью метода энергетических неравенств, из которой следует устойчивость решения задачи по входным данным. Построена соответствующая разностная схема второго порядка точности по пространственному и временному шагу.

Статья в формате PDF

1726 KB

уравнение влагопереноса

сосредоточенная теплоемкость

априорная оценка

разностная схема

1. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 407 с.

2. Нахушева Ф.М., Водахова В.А., Кудаева Ф.Х., Абаева З.В. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоёмкостью // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2. – С. 763.

3. Нахушева Ф.М., Кудаева Ф.Х., Кайгермазов А.А., Кармоков М.М. Разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоёмкостью // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2–2. – С. 839.

4. Нахушева Ф.М. Об устойчивости разностных схем для уравнения влагопереноса Лыкова // Известия КБНЦ РАН, № 5(31). – 2009. – № 5(31). – С. 98–103.

5. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. 616 с.

6. Шхануков-Лафишев М.Х., Нахушева Ф.М., Лафишева М.М., Мамбетова М.М. // Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью. Владикавказский математический журнал. – 2013. – Т. 15(4). – С. 59–65.

Уравнение Лыкова учитывает, в отличие от уравнения Аллера, конечную скорость распространения возмущения. Оно выведено из принципов необратимой теплодинамики на основе анализа релаксационных процессов, а не исходя из молекулярных представлений капиллярности. В работе [4] для уравнения влагопереноса Лыкова с краевыми условиями первого рода получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Получены экономичные факторизованные схемы в многомерной области, устойчивость которых доказана с использованием общей теории устойчивости схем. В работе [6] проведено исследование локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью. В работе [3] выведена априорная оценка решения уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью, построена схема и получена соответствующая априорная оценка в равномерной метрике. В работе [2] был рассмотрен случай многомерной задачи для уравнения диффузии дробного порядка, когда на границе области по каждому направлению помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины.

Постановка задачи. Устойчивость

В области рассматривается задача для уравнения влагопереноса с переменными коэффициентами с сосредоточенной теплоемкостью вида:

(1)

(2)

(3)

Для коэффициентов требуем выполнения условий , , , , , , , . Здесь – класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными третьего порядка по x и первого порядка по t в .

Доказательство устойчивости решения задачи (1)–(3) проводим с помощью метода энергетических неравенств [5]. Для чего умножаем уравнение (1) скалярно на и приходим к энергетическому тождеству:

(4)

где скалярное произведение , норма . Для первого и второго скалярных произведений в (4) имеем:

, (5)

(6)

Для третьего скалярного произведения в (4) применяем интегрирование по частям. Учитывая условия (2), будем иметь:

. (7)

Используя равенство , можем записать . Тогда для интеграла в (7) будем иметь:

.

Теперь (7) с учётом последнего можем переписать:

. (8)

С учётом условий на k(x, t) и kt(x, t) для интегралов в правой части (8) запишем:

, . (9)

Для четвёртого интеграла в (4), учитывая условие на q(x, t), можем записать:

. (10)

Для последнего скалярного произведения в тождестве (4) также запишем:

. (11)

С учётом (5)–(11) и условий на , используя лемму ([1], стр.152), из (4) будем иметь

.

Учтём условия , и, пренебрегая положительными слагаемыми, отчего неравенство только усилится, последнее неравенство перепишем:

. (12)

где m1, m2, m3, m4 – положительные постоянные величины.

Неравенство (12) проинтегрируем теперь по τ в пределах от 0 до и, учитывая начальные условия (3), имеем интегралы:

,

,

,

, , , .

Учитывая вышеизложенное, перепишем неравенство (12):

или с учётом того, что , перепишем неравенство

, (13)

где M1, M2 – положительные величины. Введем далее обозначение:

.

Тогда неравенство (13), пренебрегая положительными слагаемыми , в левой части (отчего неравенство только усилится) перепишем в виде

. (14)

Введем обозначение: , тогда . С учетом принятых обозначений неравенство (14) можем переписать:

. (15)

Применяя известную лемму [1], из неравенства (15) запишем: . С учётом последнего и вышесделанных обозначений имеем:

.

Из (13), учитывая последнее, получаем неравенство

.

Поскольку , окончательно получим неравенство

. (16)

Здесь положительная величина M(t) зависит от коэффициентов уравнения и размеров области QT. Из априорной оценки (16) заключаем устойчивость решения задачи (1)–(3) по входным данным.

Разностная схема

В строим сетку , где , h – шаг сетки, N – число разбиений; , h – шаг сетки, j0 – число разбиений. Через обозначается значение сеточной функции y в узле (xi, tj), определенной на сетке [5]. Дифференциальному уравнению (1) ставится в соответствие параметрическое разностное уравнение вида

, (17)

σ1, σ2 – вещественные параметры, , , , , , , , . Разностное уравнение (17) аппроксимирует уравнение (1) с точностью . Следуя [5], получим аппроксимацию краевых условий (2) с точностью . Для ku' при x = 0 запишем:

.

Тогда для краевого условия (2) при x = 0 имеем

(18)

Здесь , , . Также для – ku' в (2) при x = l запишем:

.

Тогда аппроксимируется второе граничное условие (2) при x = l в виде

(19)

Здесь , .

Первому начальному условию (3) ставим в соответствие разностное условие вида

. (20)

Второе начальное условие в (3) выражением аппроксимируется только с точностью O(τ). Получим аппроксимацию второго порядка по τ. Используя формулу Тейлора, с учётом запишем:

. (21)

Выразив из уравнения (1) и учитывая, и перенося влево и разделив на τ, из (21) получим

,

откуда

. (22)

Итак, получена аппроксимация начального условия с точностью O(τ2).

Таким образом, разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу (1)–(3) с точностью имеет вид

(23)

(24)

(25)

(26)

где .

Для реализации на ЭВМ (23)–(26) приводится к системе уравнений с трёхдиагональной матрицей, которая решается методом прогонки на каждом временном слое.

Библиографическая ссылка