Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,564

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ТЕПЛОЁМКОСТЬЮ

Нахушева Ф.М. 1 Джанкулаева М.А. 1 Нахушева Д.А. 1
1 ФГБОУ ВО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»
В работе рассмотрено уравнение теплопроводности с дробной производной по времени, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. Необходимость изучения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной связана с тем, что многие проблемы теории фильтрации жидкости в сильнопористой среде приводят к дифференциальным уравнениям с дробной производной. Дробные производные применяются при описании физических процессов стохастического переноса, при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов. В связи с этим возникает необходимость исследования краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными и разработки методов их решений. Рассмотренные в работе условия возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью, при решении задачи об установлении температуры в ограниченной среде при наличии нагревателя, трактуемого как сосредоточенная теплоёмкость. Аналогичные условия возникают также в практике регулирования солевого режима почв, когда рассоление верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности затопленного на некоторое время участка. В работе получена априорная оценка решения задачи с помощью метода энергетических неравенств, из которой следует устойчивость решения задачи по входным данным. Построена соответствующая разностная схема, проведено доказательство устойчивости разностной схемы с помощью принципа максимума.
производная дробного порядка
устойчивость решения
априорная оценка
устойчивость разностной схемы
принцип максимума
1. Бегли Р.Л., Торвик П.Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка – новый подход к расчёту конструкций с вязкоупругим демпфированием // Аэрокосмическая техника. – 1984. – Т. 2, № 2. С. 84–93.
2. Елеев В.А., Кумыкова С.К. О некоторых краевых задачах со смещением на характеристиках для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа // Украинский математический журнал. – 2000. – Т. 52, № 5. – С. 707–716.
3. Кочубей А.Ю. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения. – 1990. – Т. 26. – С. 660–670.
4. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 407 с.
5. Нахушева Ф.М. Об одном классе нелокальных краевых задач для уравнения теплопроводности // Доклады А(Ч)МАН. – Нальчик, 1995. – Т. 1, № 2. – С. 23–25.
6. Нахушева Ф.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Об устойчивости локально-одномерной схемы для уравнения диффузии дробного порядка в многомерной области // Доклады А(Ч)МАН. – Нальчик, 1997. – Т. 1, № 2. – С. 23–26.
7. Нигматуллин Р.Р. Решение обобщенного уравнения переноса в среде с фрактальной геометрией // Phs. stat. Sol. b. 133, 1986. (The realization of generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Status solidi. B. 1986. V 133. P. 425–430).
8. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 616 с.
9. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные. – ЖЭТФ. – 1995. – Т. 108. – Вып. 5(11). – С. 1875–1884.
10. Шхануков-Лафишев М.Х., Нахушева Ф.М. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка в р-мерном параллелепипеде // Известия КБНЦ РАН. – 1999. – Т. 1, № 2. – С. 35–41.

Теория фракталов применяется при описании структуры неупорядоченных сред, например пористых сред, и описании протекающих в таких средах процессов. Движение примеси в потоке однородной жидкости описывается с использованием дифференциального уравнения дробного порядка [7]. Язык дробных производных применен при описании физических процессов стохастического переноса [9], при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов [1]. Диффузии дробного порядка посвящена работа [3]. Методам численного решения многомерного уравнения диффузии дробного порядка посвящены работы [5, 6, 10]. Задачи с сосредоточенной теплоёмкостью определённой величины на границе изучены в [8].

В данной работе рассматривается уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами с дробной производной по времени с сосредоточенной теплоёмкостью определённой величины.

Постановка задачи. Устойчивость

В области nah01.wmf будем рассматривать уравнение теплопроводности с дробной производной по времени с сосредоточенной теплоемкостью вида

nah02.wmf,

nah03.wmf, (1)

nah04.wmf (2)

nah05.wmf, x ≥ 0, (3)

где nah07.wmf – регуляризованная дробная производная порядка α, где nah09.wmf. Коэффициенты удовлетворяют условиям: nah10.wmf, nah11.wmf nah12.wmf. Устойчивость решения задачи (1)–(3) будем доказывать с помощью известного метода энергетических неравенств [8]. Для чего уравнение (1) умножаем на u(x, t) скалярно и получим тождество

nah13.wmf (4)

В (4) скалярное произведение определено по формуле nah14.wmf и норма через него nah15.wmf. Первое и второе слагаемые в (4) нам дадут

nah16.wmf

nah17.wmf. (5)

Для третьего слагаемого в (4) применяем интегрирование по частям:

nah19.wmf.

Принимая во внимание граничные условия (2), из последнего можем записать:

nah21.wmf

nah23.wmf. (6)

В (6) к слагаемым nah24.wmf, nah25.wmf, nah26.wmf, nah27.wmf применяется известное неравенство из [4, с. 172]. Первое и четвертое выражения в правой части (6) перепишем в виде

nah28.wmf, nah29.wmf.

Интеграл в правой части (6), четвёртый и пятый интегралы в тождестве (4) равны соответственно

nah30.wmf, nah31.wmf,

nah32.wmf. (7)

Поскольку интеграл nah33.wmf, то, пренебрегая им в левой части (4) (неравенство только усилится), с учётом (5)–(7) получаем

nah34.wmf

nah35.wmf. (8)

Полученное неравенство (8) теперь будем интегрировать по τ от 0 до t. С учетом начального значения (3) получаем для первого слагаемого:

nah36.wmf. (9)

Для третьего и четвёртого выражений получим:

nah37.wmf,

nah38.wmf. (10)

К выражениям nah39.wmf, nah40.wmf также будем применять неравенство из [4, с. 172], а с учетом условия (3) запишем: nah41.wmf, nah42.wmf. Для пятого, шестого и седьмого интегралов имеем

nah43.wmf, nah44.wmf, nah45.wmf. (11)

Учитывая (9)–(11) из (8) имеем

nah46.wmf

nah47.wmf

nah48.wmf. (12)

Сделаем обозначение в последнем неравенстве: nah49.wmf и потребуем, чтобы выполнялось неравенство nah50.wmf. Также заметим, что nah51.wmf, nah52.wmf ввиду условий nah53.wmf, nah54.wmf, nah55.wmf. С учетом этого, сократив неравенство на 1/2, из (12) будем иметь

nah56.wmf

nah57.wmf. (13)

В (13) обозначим

nah58.wmf.

Тогда из (13) можем записать

nah59.wmf. (14)

Введем в (14) обозначение: nah60.wmf, с учетом которого неравенство (14) перепишется в виде nah61.wmf. Далее, применяя лемму 1.1 для нестационарных задач ([4], стр.152), из последнего неравенства можем иметь неравенство: nah62.wmf. Теперь, учитывая последнее неравенство и введённые выше обозначения, записываем:

nah63.wmf. (15)

Учитывая (15), из неравенства (13) получаем неравенство:

nah64.wmf, (16)

здесь M(t) – величина положительная, которая зависит от коэффициентов уравнения (1) и размеров области QT. Из полученной априорной оценки (16) можем сделать вывод, что решение задачи (1)–(3) устойчиво по начальному значению, граничным данным и правой части.

Разностная схема

Будем предполагать в дальнейшем, что решение задачи обладает требуемой по ходу изложения гладкостью. В замкнутой области nah65.wmf строится сетка

nah66.wmf,

где nah67.wmf, nah68.wmf, nah69.wmf – шаг сетки nah70.wmf по переменной x, N – число разбиений по x, nah71.wmf – шаг сетки nah72.wmf по переменной t, j0 – число разбиений по t. Для уравнения (1) запишем разностное уравнение с параметром в виде

nah73.wmf (17)

где σ – параметр, nah74.wmf, nah75.wmf, nah76.wmf, nah77.wmf, nah78.wmf, nah79.wmf – дискретный аналог дробной производной, nah80.wmf. В классе достаточно гладких функций u(x, t) справедливо равенство: nah81.wmf (Шхануков М.Х. Доклады РАН. – 1996. – Т. 348. С. 746–748). Разностное уравнение (17) аппроксимирует уравнение (1) с точностью O(h2 + τ).

Аппроксимацию при x = 0 краевого условия (2) nah82.wmf, дающую точность O(h + τ), повышаем, следуя [8], до порядка O(h2 + τ). Получаем

nah83.wmf,

где nah84.wmf, nah85.wmf. Аналогично, для (2) при x = l получаем

nah86.wmf,

где nah87.wmf, nah88.wmf.

Итак, разностный аналог задачи (1)–(3), дающий точность O(h2 + τ), запишется в виде

nah89.wmf, (18)

nah90.wmf, (19)

nah91.wmf, (20)

nah92.wmf, nah93.wmf, (21)

где nah94.wmf, nah95.wmf, nah96.wmf, nah97.wmf, nah98.wmf.

Для достижения порядка аппроксимации nah99.wmf при построении разностной схемы потребовалась достаточно высокая гладкость решения nah100.wmf, для чего необходимо nah101.wmf.

Устойчивость разностной схемы

Для доказательства устойчивости построенной разностной схемы будем пользоваться принципом максимума. Для этого разностную схему (18)–(21) приведем к каноническому виду [8, с. 228]:

nah102.wmf (22)

где ω – сетка связная; Ш′(Р) – окрестность узла P, не содержащая сам узел P, F(P) – известная правая часть. Для коэффициентов (22) должны выполняться условия: A(P) > 0 для всех P∈ω; B(P, Q) > 0 для всех P, Q∈ω; nah103.wmf Р∈ω. Рассмотрим случай σ = 1. Тогда (22) имеет вид: nah104.wmf. Расписав в индексной форме с учётом того, что nah105.wmf, nah106.wmf, имеем

nah107.wmf

nah109.wmf.

Здесь коэффициенты:

nah110.wmf,

nah111.wmf, nah112.wmf.

Выполняются условия:

A(P) > 0, B(P, Q) > 0, nah113.wmf. (23)

В точке nah114.wmf для (23) будем иметь

nah115.wmf

nah116.wmf.

Здесь коэффициенты равны

nah117.wmf,

nah118.wmf, nah119.wmf.

С учетом неравенств nah120.wmf, nah121.wmf имеем выполнение условий на коэффициенты:

A(P) > 0, B(P, Q) > 0, nah122.wmf. (24)

Аналогично, в точке nah123.wmf для граничного условия (20) имеем

nah124.wmf

nah125.wmf.

Здесь коэффициенты имеют вид

nah126.wmf,

nah127.wmf, nah128.wmf.

С учетом условий nah129.wmf, nah130.wmf имеем выполнение условий:

A(P) > 0, B(P, Q) > 0, nah131.wmf. (25)

Из неравенств (23)–(25) на основании теоремы 3 [8, с. 228], для разностной задачи (18)–(21) следует справедливость оценки в норме пространства С: nah132.wmf, откуда следует устойчивость решения разностной схемы в равномерной метрике.


Библиографическая ссылка

Нахушева Ф.М., Джанкулаева М.А., Нахушева Д.А. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ТЕПЛОЁМКОСТЬЮ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2017. – № 8-1. – С. 22-27;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=11752 (дата обращения: 24.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074