Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,686

НЕРАВЕНСТВА В РАЗНЫХ МЕТРИКАХ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ НАИЛУЧШИМИ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОРЕНЦА

Муратова Г.К. 1 Нурпейсова А.А. 1
1 Казахский агротехнический университет им. С. Сейфуллина
Одной из важных задач гармонического анализа является изучение взаимосвязи интегральных свойств функций и свойств суммируемости ее коэффициентов Фурье (преобразования Фурье). Пространство Лоренца Lpθ является средним интерполяционным пространством L1 и L∞, родственной с Лебеговым пространством Lp. Имеют большое применение в дифференциальных уравнениях, в теории рядов Фурье, в теории приближений, в теории функциональных пространств. Статья посвящена исследованию пространства Лоренца в теории тригонометрических рядов Фурье. В данной статье рассмотрена связь между тригонометрическими наилучшими приближениями в пространстве Лоренца в разных метриках и тригонометрических наилучших приближений и суммируемости коэффициентов и преобразования Фурье по общим ортонормированным системам в обобщенных пространствах Лоренца. Также доказаны неравенства в разных метриках между тригонометрическими наилучшими приближениями. Результаты работы носят теоретический характер и могут найти применение в различных разделах математики: теории интерполяции функциональных пространств, теории операторов, теоремах вложения функциональных пространств.
пространство Лоренца
тригонометрические коэффициенты Фурье
теория функций
тригонометрическое наилучшее приближение
тригонометрический многочлен
1. Иосида К. Функциональный анализ. – 3 изд. – М.: Изд. ЛКИ, 2010. – С. 86–92.
2. Смаилов Е.С., Такуадина А.И. О неулучшаемости предельной теоремы вложения разных метрик в пространствах Лоренца с весом Эрмитта // Уфимск. матем. журн. – 2011. – № 3 (3). – С. 140–151.
3. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Математический сборник. – 1970. – Т. 81, № 1. – С. 104–131.
4. Гольдман М.Л., Гусельникова О.М. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Часть 1 // Вестник РУДН, серия «Математика. Информатика. Физика». – 2011. – № 3. – С. 4–16.
5. Гольдман М.Л. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и Рисса // Доклады РАН. – 2009. – Т. 428, № 3. – С. 305–309.
6. Roginskaya M., Wojciechowski M. Singularity of vector valued measures in terms of Fourier transform // Journ. Fourier Anal. Appl. 2006. Vol. 12. no. 2. P. 213–223.

Статья посвящена исследованию пространства Лоренца в терминах теории тригонометрических рядов Фурье и тригонометрических наилучших приближений. В данной статье рассмотрена связь между тригонометрическими наилучшими приближениями в пространстве Лоренца в разных метриках. Связь между наилучшими приближениями в пространстве Lp[0; 2π] была установлена А.А. Конюшковым, П.Л. Ульяновым и М.Ф. Тиманом [1, c. 86–92].

Эти вопросы также доказаны Е.С. Смаиловым [2, c. 140–151].

Пусть f(x) – измеримая на [0, 2π] в смысле Лебега функция, f*(x) – невозрастающая перестановка функции murat01.wmf [3, с. 104–131]. Пусть murat02.wmf. Будем говорить, что функция f(x) принадлежит пространству Лоренца Lpθ, если

murat03.wmf

Пусть Tn(x) – тригонометрический многочлен порядка не выше, чем n∈N, f∈Lpθ[0; 2π], 1 < p < +?+∞, 1 ≤ θ ≤ +∞. Наилучшим приближением функции f в пространстве Lpθ[0; 2π] посредством тригонометрических полиномов порядка не выше, чем n, назовем величину

mur01.wmf

Пусть 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ θ < ∞. Пространства Лоренца Lpθ определяются следующим образом

mur02.wmf

Если θ < ∞,,

mur03.wmf.

Если θ = ∞,

mur04.wmf,

где f*(t) – невозрастающая перестановка функций mur05.wmf.

Пространства Лоренца Lpθ являются более тонкой шкалой пространств, чем шкала пространств Лебега, и имеют большое применение в теории рядов Фурье, в дифференциальных уравнениях, в теории функциональных пространств.

Пусть 1 ≤ p < ?. В случае, когда p = θ, пространства Лоренца Lpθ совпадают с пространствами Лебега Lp [4, с. 4–16].

Основными свойствами пространства Лоренца являются зависимости ее параметров, т.е. имеют место следующие свойства:

1. Если 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ θ < θ1 < ∞, тогда имеет место вложение

Lpθ↪mur06.wmfmur07.wmf.

2. Для любого ε > 0 иммет место следующее вложение пространств

Lpθ↪mur08.wmf.

Далее приведем необходимые вспомогательные предложения.

Лемма 1. Пусть mur09.wmf, mur10.wmf и Tn(x) – произвольный тригонометрический многочлен. Тогда справедливо следующее неравенство, называемое неравенством Бернштейна:

mur11.wmf,

где mur12.wmf не зависит от Tn.

Лемма 2. Пусть 1 < p < q < +∞, 0 < ? < +∞ и murat04.wmf – произвольная последовательность тригонометрических многочленов. Тогда murat05.wmf справедливо следующее неравенство:

murat06.wmf,

где murat07.wmf не зависит от murat08.wmf и murat09.wmf

Лемма 3. Пусть mur14.wmf, mur15.wmf и f∈Lpθ[0; 2π].

murat10.wmf – последовательность ее тригонометрических многочленов наилучшего приближения. Тогда murat11.wmf справедливо неравенство

murat12.wmf,

где murat13.wmf не зависит от f и n, m.

Применяя методику, предложенную в [5, с. 305–309], доработанную с учетом особенности пространства Лоренца, доказывается следующая вспомогательная теорема, которая сама по себе является важным утверждением. Для тригонометрических рядов также рассмотрено в [6, с. 213–223].

Теорема 1. Пусть 1 < p < q < +∞, 1 < θ < +∞ и

mur16.wmf, mur17.wmf,

тогда имеет место следующее неравенство:

mur18.wmfmur19.wmf

Теорема 2. Пусть mur20.wmf

Если для некоторого q: mur22.wmf ряд

mur23.wmf

сходится, то mur24.wmf и справедливы неравенства:

mur25.wmf,

mur26.wmf

гдеmur27.wmf – наилучшее приближение функций f∈Lpθ[0; 2π].

Доказательство. Пусть f∈Lpθ[0; 2π]. Tn(x) тригонометрический многочлен наилучшего приближения функций f

mur28.wmf

mur29.wmf при mur30.wmf, mur31.wmf

Пусть mur32.wmf.

mur33.wmf,

где Tn(x) – многочлен наилучшего приближения функций f∈Lpθ[0; 2π].

Тогда согласно теореме 1 при m < n имеем

mur34.wmfmur35.wmf

mur36.wmfmur37.wmf (1)

Так как ряды

mur38.wmf

сходятся или расходятся вместе, то в силу условия теоремы правая сторона последнего неравенства стремится к нулю при (m, n) > +∞.

mur39.wmf при min(m, n) > +∞.

Следовательно, последовательность mur40.wmf фундаментальна в метрике пространства Lpθ[0; 2π]. Так как пространство Lpθ[0; 2π] полно, то существует φ∈Lqθ[0; 2π] такая, что

mur41.wmf при v > +∞.

Следовательно, φ(x) симметрично к f(x) на [0; 2π]. Таким образом, f∈Lqθ[0; 2π].

Если же в (1) положим m = 2, n > +∞, тогда

mur43.wmfmur44.wmf

Теперь докажем второе неравенство.

mur45.wmf

mur46.wmf, (2)

mur47.wmf. (3)

Теперь рассмотрим, когда ∀k > n:

mur48.wmf. (4)

(3), (4) подставляем в (2):

mur49.wmf

mur50.wmf

Таким образом, мы получили неравенство

mur51.wmf, mur52.wmf

Теорема 3. Пусть 1 ≤ p < q < +∞, 1 ≤ θ < +∞ и f∈Lpθ[0; 2π]. Если для некоторого r∈N и murat15.wmf ряд

murat16.wmf

сходится, то существует производная murat17.wmf и имеют место неравенства

murat18.wmf

mur53.wmf murat19.wmf

Здесь константы murat20.wmf не зависят от f и murat21.wmf

Доказательство. По условию теоремы ряд

murat22.wmf

сходится. Поэтому

murat23.wmf

при murat24.wmf Тогда, согласно лемме 3, последовательность murat25.wmf фундаментальна в пространстве Lpθ[0; 2π]. Поэтому, в силу полноты пространства Lpθ[0; 2π], существует

murat26.wmf

при n > +∞ Так как из условий теоремы также следует, что murat27.wmf и

murat28.wmf при n > +∞,

то mur54.wmf – в смысле С.М. Никольского. В лемме 3 положим m = 1 и n > +∞ Тогда

murat29.wmf

murat30.wmfmurat31.wmf

≤ (лемма 1) murat33.wmf

Так как

murat34.wmf murat35.wmf

то

murat36.wmf

Теперь докажем второе неравенство:

mur55.wmf

mur56.wmf. (1)

murat37.wmf murat38.wmf (2)

Пусть k > n:

murat39.wmf (3)

Далее (2), (3) подставляем в (1):

murat40.wmf murat41.wmf

murat42.wmf

murat43.wmf

murat44.wmf

Таким образом, мы получили неравенство

mur57.wmf murat45.wmf

Теорема доказана.


Библиографическая ссылка

Муратова Г.К., Нурпейсова А.А. НЕРАВЕНСТВА В РАЗНЫХ МЕТРИКАХ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ НАИЛУЧШИМИ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОРЕНЦА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2018. – № 7. – С. 61-66;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12330 (дата обращения: 26.04.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252