Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ОТСУТСТВИЕ ВЫДЕЛЕННОГО НАПРАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Сенницкий В.Л. 1, 2
1 Новосибирский государственный университет
2 Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Поставлена и решена задача о движении вязкой жидкости в присутствии твердых тел – двух стенок и свободной тонкой проницаемой для жидкости пластины – при периодических по времени воздействиях. Постановка задачи включает в себя уравнение движения пластины, уравнения Навье – Стокса и неразрывности и условия на твердых границах жидкости (условия на границах твердых тел). Установлено наличие эффекта, состоящего в том, что гидромеханическая система, подвергающаяся периодическим по времени воздействиям, не имеющим выделенного направления в пространстве, производит однонаправленные отклики (реакции на воздействия), выражающиеся в том, что свободные части системы – в частности, жидкие слои – на фоне колебаний совершают однонаправленное, стационарное движение. Сформулирован обобщенный принцип среднего движения. Периодические по времени (колебательные, вибрационные) воздействия присутствуют практически повсеместно. Ввиду этого исследованиями динамики гидромеханических систем при периодических по времени воздействиях определяется одна из неизменно актуальных областей в механике жидкости. Уже проведенные к настоящему времени исследования позволили обнаружить ряд новых гидромеханических эффектов. Периодические по времени воздействия могут приводить к выполнению свободными частями гидромеханических систем заданного движения, могут использоваться как средство управления гидромеханическими системами. Результаты исследований в данной области представляют как самостоятельный интерес, так и существенный интерес в связи с возможностью применения их при разработке подходов к решению актуальных проблем прикладного характера. Результаты, полученные в настоящей работе, могут найти применение, в частности, в исследованиях нетривиальной динамики гидромеханических систем, использоваться при создании устройств, гидромеханических систем, обладающих заданными свойствами, например систем, заданным образом реагирующих на колебательные воздействия; полученные результаты могут служить теоретической основой для проведения направленных экспериментальных исследований движения жидкости в рассмотренных и аналогичных им гидромеханических условиях.
вязкая жидкость
периодические по времени воздействия
отсутствие выделенного направления в пространстве
однонаправленное стационарное движение
1. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: ГИТТЛ, 1955. 520 с.
2. Всероссийская конференция с международным участием «Современные проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Россия, Новосибирск, 4–8 сентября 2017). Тезисы докладов. Новосибирск: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2017. 298 с.
3. Международная конференция «Математика в приложениях» (Россия, Новосибирск, 4–10 августа 2019). Тезисы докладов. Новосибирск: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2019. 312 с.
4. Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Россия, Новосибирск, 7–11 сентября 2020). Тезисы докладов. Новосибирск: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2020. 262 с.
5. Sennitskiy V.L. Predominantly unidirectional rotation of a viscous liquid with a free boundary // Thermophysics and Aeromechanics. 2020. Vol. 27. No. 1. P. 157–160. DOI: 10.1134/S0869864320010175.
6. Сенницкий В.Л. О силовом взаимодействии шара и вязкой жидкости в присутствии стенки // Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т. 41. № 1. С. 57–62.

Изучение задач, связанных с движением вязкой жидкости в различных гидромеханических условиях, осуществляется на протяжении длительного времени с неизменным сохранением актуальности [1–3]. В частности, выполняются исследования, направленные на выявление эффектов среднего движения жидкости, подвергающейся периодическим по времени (колебательным, вибрационным) воздействиям ([4, 5] и представленная в этих источниках литература). В настоящей работе поставлена и решена новая задача о движении вязкой жидкости, обусловленной колебательными воздействиями на жидкость, характеризующимися отсутствием выделенного направления в пространстве. Жидкость контактирует с абсолютно твердыми стенками W1, W2 и пластиной Ξ. Стенки совершают заданные колебания вдоль оси Y инерциальной прямоугольной системы координат X, Y, Z. Стенка W1 ограничена плоскостью Y = A1, стенка W2 – плоскостью Y = A2. Толщина пластины пренебрежимо мала (равна нулю); пластина находится в плоскости Y = B (A1 < B < A2; B – постоянная). Промежутки между стенками и пластиной – области Ω1 : A1 < Y < B и Ω2 : B < Y < A2 (–∞ < X < ∞, –∞ < Z < ∞) – заполнены жидкостью. Расстояние между стенками L = A2 – A1 постоянно. Пластина проницаема для жидкости; пластина движется вдоль оси X под действием внешних колебательных сил и сил со стороны жидкости.

Целью работы является определение не зависящего от начальных данных периодического по времени t движения жидкости.

Постановка и решение задачи

Пусть T – период колебаний стенок W1, W2; τ = t / T; x = X / L; y = Y / L; z = Z / L; missing image file (missing image file – постоянная); missing image file; a1 = A1 / L; a2 = A2 / L; b = B/L; ξ – часть пластины Ξ длиной DX, «вписанная» между плоскостями Z = Z* и Z = Z* + DZ (Z*, DX > 0, DZ > 0 – постоянные); m – масса тела ξ; missing image file missing image file missing image file – скорость тела ξ (пластины Ξ); u = TU / L; ρ, ν, V = {VX, VY, 0} – соответственно плотность, кинематический коэффициент вязкости и скорость жидкости; v = TV/L (v = {vx, vy, 0} = v(y, τ)); P – давление в жидкости; missing image file; missing image file – число Рейнольдса; missing image file – внешняя сила, действующая на тело ξ в направлении оси X (missing image file, φ – постоянные); missing image file; missing image file – сила, действующая со стороны жидкости на тело ξ в направлении оси X; missing image file.

Постановка задачи включает в себя уравнение движения тела ξ (пластины Ξ), уравнения Навье – Стокса и неразрывности и условия, которые должны выполняться на границах тел W1, W2, Ξ:

missing image file; (1)

missing image file в Ω1, Ω2; (2)

missing image file в Ω1, Ω2; (3)

missing image file при missing image file (4)

missing image file при missing image file (5)

Из (3)–(5) следует

missing image file при missing image file (6)

Согласно (2), (4)–(6) имеем

missing image file при a1 < y < b,

missing image file при b < y < a2 (7)

(p', p" – функции τ);

missing image file в Ω1, Ω2; (8)

vx = 0 при y = a1, y = 1 + a1; (9)

vx = u при y = b – 0, y = b + 0. (10)

Будем рассматривать задачу (1), (8)–(10) при малых по сравнению с единицей значениях ε.

Предположим, что

missing image file при ε → 0. (11)

Пусть N = 0, 1 – номер приближения (степень ε).

Используя (1), (8)–(11), получим

missing image file (12)

missing image file в missing image file (13)

missing image file при y = 0, y = 1; (14)

missing image file при y = b – 0, y = b + 0. (15)

Здесь missing image file и missing image file – области соответственно 0 < y < b и b < y < 1

(missing image file);

missing image file

missing image file

Пусть N = 0.

Задача (12)–(15) имеет решение

missing image file (16)

missing image file;

missing image file при missing image file (17)

missing image file при missing image file (18)

где missing image file; missing image file.

Пусть N = 1.

Из (12)–(15) следует

missing image file (19)

missing image file в missing image file (20)

missing image file при missing image file (21)

missing image file при missing image file (22)

Здесь missing image file

Задача (12)–(15) имеет решение

missing image file

missing image file при missing image file

missing image file при missing image file (23)

где missing image file – постоянная; missing image file – функции y.

Используя (16)–(22), найдем

missing image file (24)

missing image file при missing image file (25)

missing image file при missing image file (26)

Формулами

missing image file (27)

и (6), (7), (16)–(18), (23)–(26) определяется приближенное решение задачи (1)–(5). Из этого решения, в частности, следует, что жидкость (на фоне колебаний) совершает стационарное, прямолинейное движение. Отметим, что при b = 1/2 пластина Ξ (на фоне колебаний) неподвижна.

Остановимся на вопросе о среднем по времени движении жидкости при малых по сравнению с единицей значениях Re.

Используя (6), (16)–(18), (23)–(27), получим

missing image file

missing image file при missing image file (28)

где missing image file.

Согласно (28) (на фоне колебаний, для Q ≠ 0) имеет место следующее. При b > 1/2 (b < 1) в области missing image file присутствуют два слоя, определяемые соотношениями 0 < y < 1 – b (слой l1) и 1 – b < y < b, в которых жидкость движется во взаимно противоположных направлениях, причем направление движения жидкости в слое l1 противоположно направлению движения пластины Ξ; в области missing image file (в слое b < y < 1) жидкость движется в одном направлении, которое совпадает с направлением движения пластины Ξ. Отметим, что толщина слоя l1 равна «толщине» области missing image file. При b < 1/2 (b > 0 в области missing image file присутствуют два слоя, определяемые соотношениями b < y < 1 – b и 1 – b < y < 1 (слой l2), в которых жидкость движется во взаимно противоположных направлениях, причем направление движения жидкости в слое l2 противоположно направлению движения пластины Ξ; в области missing image file (в слое 0 < y < b) жидкость движется в одном направлении, которое совпадает с направлением движения пластины Ξ. Отметим, что толщина слоя l2 равна «толщине» области missing image file. При b = 1/2 пластина Ξ неподвижна; жидкость в каждой из областей missing image file, missing image file движется в одном направлении, и эти направления взаимно противоположны.

Отметим, что (при Q ≠ 0) среднее по времени движение жидких слоев происходит при любом положении пластины между стенками.

Заключение

Представленное в настоящей работе свидетельствует о том, что жидкость в рассмотренных условиях совершает движение в выделенном направлении, вызываемое и поддерживаемое оказываемыми на жидкость воздействиями, не имеющими выделенного направления в пространстве. Происходит «порождение порядка из хаоса». Причина данного эффекта состоит в согласованности (друг с другом) оказываемых на жидкость воздействий, что находится в непосредственной связи с принципом среднего движения [6], который в обобщенном виде может быть сформулирован следующим образом.

Основополагающей причиной среднего по времени движения свободных частей гидромеханической системы (частей системы, движение которых не задано) при периодических по времени (колебательных, вибрационных) воздействиях на систему, не имеющих выделенного направления в пространстве, является возможность совершения свободными частями системы движения в различных направлениях в пространстве в неодинаковых условиях.

Результаты, полученные в настоящей работе, в частности, могут служить теоретической основой для проведения направленных экспериментальных исследований движения жидкости в рассмотренных и аналогичных им гидромеханических условиях.


Библиографическая ссылка

Сенницкий В.Л. О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ОТСУТСТВИЕ ВЫДЕЛЕННОГО НАПРАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2021. – № 2. – С. 67-71;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=13181 (дата обращения: 28.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674