Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

О «ЛЕВИТАЦИИ» ЖИДКОСТИ

Сенницкий В.Л. 1, 2
1 Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
2 Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SB RAS
В работе рассмотрена новая задача о течении вязкой жидкости в поле силы тяжести. Жидкость контактирует с двумя вертикальными твердыми стенками. Границы стенок проницаемы для жидкости. На жидкость оказываются периодические по времени воздействия, не имеющие выделенного направления в пространстве. Постановка задачи включает в себя уравнение Навье–Стокса, уравнение неразрывности и условия на твердых границах жидкости (на границах стенок). Установлено наличие ряда новых эффектов необычного, парадоксального поведения жидкости. В частности, обнаружен эффект «левитации» жидкости, состоящий в том, что находящаяся в поле силы тяжести жидкость (в отсутствие какой-либо опоры, на фоне колебаний) неподвижна, находится в состоянии покоя. Представленным в работе характеризуется развитие систематически ведущегося изучения необычной, парадоксальной динамики гидромеханических систем при периодических по времени воздействиях. Выполненные в данном направлении исследования позволили достичь существенного прогресса в понимании особенностей динамики гидромеханических систем, в выявлении новых гидромеханических эффектов. К настоящему времени, в частности, обнаружены эффекты парадоксального поведения твердого включения в вибрирующей жидкости, «самопроизвольного» перехода твердого включения в колеблющейся жидкости в положение с заданной ориентацией в пространстве, преимущественно однонаправленного вращения жидкости со свободной границей; определены содержательные различия в колебаниях жидкости (произведено разделение колебаний жидкости на однородные и неоднородные, введены коэффициенты неоднородности колебаний жидкости); теоретически и экспериментально доказано существование явления преимущественно однонаправленного движения сжимаемых включений в вибрирующей жидкости. Представленное в работе может служить основой для проведения исследований, направленных на экспериментальное обнаружение выявленных теоретически новых гидромеханических эффектов, в частности, эффекта «левитации» жидкости.
вязкая жидкость
поле силы тяжести
периодические по времени воздействия не имеющие выделенного направления в пространстве
новые гидромеханические эффекты
1. Валуева Е.П., Пурдин М.С. Пульсирующее ламинарное течение в прямоугольном канале // Теплофизика и аэромеханика. 2015. Т. 22, № 6. С. 761-773.
2. Норкин М.В. Образование каверны при наклонном отрывном ударе кругового цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Сибирский журнал индустриальной математики. 2016. Т. 19, № 4. С. 81-92.
3. Георгиевский Д.В., Тлюстангелов Г.С. Оценки развития малых возмущений при радиальном растекании (стоке) вязкого кольца // Прикладная механика и техническая физика. 2017. Т. 58, № 4. С. 46 – 55.
4. Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Россия, Новосибирск, 7–11 сентября 2020). Тезисы докладов. Новосибирск: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2020. 262 с.
5. Сенницкий В.Л. О движении кругового цилиндра в вибрирующей жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1985. № 5. С. 19-23.
6. Луговцов Б.А., Сенницкий В.Л. О движении тела в вибрирующей жидкости // Доклады АН СССР. 1986. Т. 289, № 2. С. 314-317.

Среди многочисленных направлений в современной механике жидкости [1-3] присутствует успешно развивающееся актуальное направление, образованное исследованиями необычной, парадоксальной динамики гидромеханических систем [4]. Примером неординарного поведения гидромеханической системы может служить эффект, состоящий в том, что в поле силы тяжести твердое включение в жидкости, плотность которого отлична от плотности жидкости, при периодических по времени (колебательных, вибрационных) воздействиях, в среднем по времени (на фоне колебаний), не всплывает и не тонет – «левитирует», находится в состоянии «левитации» [5, 6]. В настоящей работе выявлены новые гидромеханические эффекты, в частности, обнаружен эффект «левитации» жидкости. Предметом изучения является новая задача о течении вязкой жидкости в поле силы тяжести при периодических по времени воздействиях. Жидкость контактирует с вертикальными твердыми стенками Ξ1, Ξ2. Границы стенок проницаемы для жидкости. Стенка Ξ1 совершает заданные периодические поступательные колебания вдоль осей X, Y, стенка Ξ2 – вдоль оси Y инерциальной прямоугольной системы координат X, Y, Z. Стенка Ξ1 ограничена плоскостью X = A, стенка Ξ2 – плоскостью X = L (L > A – постоянная). Жидкость заполняет область Ω (A < X < L , – ∞ < Y < ∞ , – ∞ < Z < ∞), втекает в область Ω и вытекает из нее через границы стенок.

Целью работы является определение движения жидкости.

Постановка и решение задачи

Пусть t – время; T – период колебаний стенок Ξ1 , Ξ2 ; τ = t / T; x = X / L; y = Y / L; z = Z / L; A = Ãsin2πτ (Ã > 0 – постоянная); a = A / L; ε = Ã / L; ex = {1, 0, 0}; ey = {0, 1, 0}; (dA / dt)ex + U1ey – скорость стенки (границы стенки) Ξ1; u1 = TU1 / L = ũ1sin(2πτ + α1) (ũ1 ≥ 0, α1 – параметры); U2ey – скорость стенки (границы стенки) Ξ2; u2 = TU2 / L = ũ2sin(2πτ + α2) (ũ2 ≥ 0, α2 – параметры); Qex + U1ey – скорость жидкости на границе стенки Ξ1; Qex + U2ey – скорость жидкости на границе стенки Ξ2; q = TQ / L = εSen01.wmf sin(2πτ + φ) (Sen01.wmf ≥ 0, φ – параметры); g = – g ey – ускорение свободного падения (g > 0 – постоянная); ϰ = gT2 / Ã; ρ, ν, V – соответственно плотность, кинематический коэффициент вязкости и скорость жидкости; v = TV / L = = vx(x,τ)ex + vy(x,τ)ey; P – давление в жидкости;

P = T2P / (ρL2) = p(x,τ); Re = L2 / (vT) – число Рейнольдса.

Постановка задачи включает в себя уравнение Навье–Стокса, уравнение неразрывности и условия, которые должны выполняться на границах стенок Ξ1, Ξ2:

Sen03.wmf εϰey в Ω; (1)

∇ · v = 0 в Ω; (2)

v = qex + u1ey при х = а; (3)

v = qex + u2ey при х = 1. (4)

Из (2) – (4) следует

vх = q для а ≤ х ≤ 1. (5)

Согласно (1), (3) – (5) имеем

Р = –2πεSen04.wmf[cos(2πτ + φ)]x + p' в Ω; (6)

(p' – функция τ)

Sen05.wmf εϰ в Ω; (7)

vy = u1 при х = а; (8)

vy = u2 при х = 1; (9)

Будем рассматривать задачу (7) – (9) при малых по сравнению с единицей значениях ε. Предположим, что

vy ~ v0 + εv1 при ε → 0. (10)

Используя (7) – (10), в εN – приближении (N = 0, 1) получим

Sen06.wmf Nϰ в Ω; (11)

Sen07.wmf при х = 0; (12)

vN = (1 – N)u2 при х = 1, (13)

где Ω – область 0 < х < 1, – ∞ < y < ∞, – ∞ < z < ∞.

Пусть N = 0. Задача (11) – (13) имеет решение

Sen08.wmfдля 0 ≤ х ≤ 1. (14)

Здесь Sen09.wmf.

Пусть N = 1. Из (11) – (13) следует

Sen10.wmf ϰ в Ω; (15)

Sen11.wmf при х = 0; (16)

v = 0 при х = 1, (17)

где Sen12.wmf.

Задача (11) – (13) имеет решение

Sen13.wmf (18)

(ṽ– функция x).

Используя (14) – (17), найдем

Sen14.wmf ϰ Re x(1–x) +

Sen15.wmf

Sen16.wmf

Sen17.wmf для 0 ≤ х ≤ 1 (19)

Формулами

vy = v0 + εv1 (20)

и (5), (6), (14), (18), (19) определяется приближенное решение задачи (1) – (4). Это решение свидетельствует о наличии ряда необычных, качественно различных (происходящих на фоне колебаний) стационарных течений жидкости. В частности, согласно (19) при Sen01.wmf = 0, Sen19.wmf = 0;

Sen20.wmf (21)

u1.pdf

(Ψ = λ cth λ) для 0 ≤ х < 1 имеем

v > 0. (22)

Соотношение (22) означает, что жидкость ведет себя парадоксально – на фоне колебаний совершает стационарное движение в направлении, противоположном направлению ускорения свободного падения (то есть «снизу вверх»).

Отметим, что условие (21) для любого значения Re > 0 выполняется, например, при α1 = π / 4 – arg Ψ.

Обратимся к вопросу о среднем по времени течении жидкости при малых по сравнению с единицей значениях Re.

Пусть

Sen22.wmf (23)

Используя (5), (14), (18) – (20), (23), получим

Sen23.wmf

при Re → 0. (24)

Согласно (24) (на фоне колебаний) жидкость в области Ω

при Sen22.wmf < 0 движется «сверху вниз»,

при Sen22.wmf > 0 движется «снизу вверх».

Пусть

Sen22.wmf= 0. (25)

Используя (5), (14), (18) – (20), (25), получим

Sen25.wmf

при Re → 0. (26)

Здесь

Sen27.wmf

Sen28.wmfϰ.

Согласно (26) (на фоне колебаний) имеет место следующее. При A ≤ 0, B < 0 и A < 0, B ≤ 0 жидкость в области Ω движется «сверху вниз»; при A ≥ 0, B > 0 и A > 0, B ≥ 0 жидкость в области Ω движется «снизу вверх»; при A > 0, B < 0 и –A / B < 1 жидкость, занимающая слой 0 < x < A / B,  – ∞ < y < ∞ , – ∞ < z < ∞ движется «снизу вверх», а жидкость, занимающая слой –A / B < x < 1, – ∞ < y < ∞ , – ∞ < z < ∞ – «сверху вниз»; при A > 0, B < 0 и –A / B ≥ 1 жидкость в области Ω движется «снизу вверх»; при A < 0, B > 0 и –A / B < 1 жидкость, занимающая слой 0 < x < –A / B, – ∞ < y < ∞ , – ∞ < z < ∞, движется «сверху вниз», а жидкость, занимающая слой –A / B < x < 1, – ∞ < y < ∞ , – ∞ < z < ∞ – «снизу вверх»; при A < 0, B > 0 и –A / B ≥ 1 жидкость в области Ω движестся «сверху вниз»; при

A = 0, B = 0 (27)

жидкость в области Ω пребывает в состоянии «левитации» – находясь в поле силы тяжести, (на фоне колебаний) покоится. Отметим, что условия (25), (27) для любого значения ϰ > 0 выполняются, например, при

Sen30.wmf = 2π, φ = π / 2, ũ1 = ϰ / (3π),

ũ2 = 2ϰ / (3π), α1 = π / 2, α2 = 3π / 2.

Заключение

Изучение представленной в настоящей работе новой задачи о течении вязкой жидкости в поле силы тяжести позволило выявить ряд новых эффектов необычного, парадоксального поведения жидкости. Данные эффекты имеют место при периодических по времени воздействиях, характеризующихся отсутствием выделенного направления в пространстве. Среди выявленных эффектов заслуживает быть отмеченным весьма «тонкий» эффект «левитации» жидкости, состоящий в том, что находящаяся в поле силы тяжести жидкость (без какой-либо опоры, на фоне колебаний) покоится, «левитирует».

Изложенное в настоящей работе может служить основой для проведения исследований, направленных на экспериментальное обнаружение выявленных теоретически новых гидромеханических эффектов, в частности, эффекта «левитации» жидкости.


Библиографическая ссылка

Сенницкий В.Л. О «ЛЕВИТАЦИИ» ЖИДКОСТИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2021. – № 6. – С. 87-90;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=13236 (дата обращения: 28.05.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674