Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,564

АЛГОРИТМ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННОЙ ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Аширбаев Б.Ы. 1 Алтымышова Ж.А. 1
1 Кыргызский государственный университет строительства
В данной статье построен алгоритм приближенного решения линейной стационарной сингулярно-возмущенной дискретной задачи оптимального управления. Так как движения рассмотренной системы являются разнотемповыми, то для построения решений исходной задачи необходимо выбрать управляющую функцию, в которой подсистемы, описывающие медленные и быстрые движения, решались бы независимо друг от друга. В работе такой подход осуществляется с помощью замены переменных в исходной системе. Однако в этом случае вытекает необходимость нахождения решений матричных уравнений Риккати и Ляпунова, которые в работе определяются с помощью степенных рядов путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра. Полученная система полностью заменяет исходную систему, выполняет условия управляемости и зависит от решений уравнений Риккати и Ляпунова, которые появились в процессе разделения данной системы. Построения оптимального управления производятся в медленной и быстрой подсистемах независимо друг от друга, с учетом соблюдения условия, указанного в работе, то есть исходное оптимальное управление выражается через обратную матрицу и возникает требование ее существования при построении алгоритма решений задачи. Этот факт также подтверждается рассмотренным в работе примером. Предложенный алгоритм решений линейной сингулярно-возмущенной дискретной задачи оптимального управления может эффективно применяться при исследовании задач оптимального управления с дискретными и цифровыми системами управления, такие свойства, как управляемость, наблюдаемость и стабилизируемость системы, а также при построении приближенного решения алгебраических матричных уравнений Риккати и Ляпунова.
управляемость системы
разнотемповые движения системы
цифровые системы управления
с уравнения Риккати и Ляпунова
обственные значения матрицы
матрицы простой структуры
1. Сазанова Л.А. Дискретная модель управления запасами как задача оптимального управления // Вестник ВГУ. Серия: Экономика и управление. 2017. № 3. С. 184–187.
2. Малтугуева Н.С. Методы решения задач оптимального управления непрерывно-дискретными системами и их связь с необходимыми условиями оптимальности // Программные системы: теория и приложения. 2012. Т. 3. Выпуск 5. С. 93–101.
3. Бортаковский А.С., Коновалова А.А. Синтез оптимальных дискретных систем автоматного типа при мгновенных многократных переключениях // Известия РАН. Теория и системы управления. 2014. № 5. С. 38–70.
4. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Математическая теория автоматического управления: учебное пособие. М.: ЛЕНАНД, 2019. 500 с.
5. Муромцев Д.Ю., Яшин Е.Н. Анализ и синтез дискретных систем: учебное пособие. Тамбов: Издательство ФГБОУ ВПО ТГТУ, 2011. 108 с.
6. Глизер В.Я. Асимптотика решения некоторых дискретных задач оптимального управления с малым шагом // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 9. С. 1681–1691.
7. Глизер В.Я. Об одной разностной задаче оптимального управления с малым шагом // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. № 8. С. 1440–1442.
8. Иманалиев З.К., Аширбаев Б.Ы. Асимптотическое решение сингулярно-возмущенной задачи оптимального управления с минимальной энергией // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2020. № 3. С. 89–97.
9. Соболев В.А., Осинцев М.С. Метод интегральных многообразий в задачах оптимального управления сингулярно-возмущенными системами // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014, ИПУ РАН. 2014. С. 769–779.
10. Аширбаев Б.Ы., Апышова Г.Ж. Асимптотическое решение линейной сингулярно-возмущенной задачи оптимального быстродействия // Наука, новые технологии и инновации. Бишкек. 2021. № 7. С. 3–9.
11. Воропаева Н.В. Декомпозиция разнотемповых динамических систем со слабой диссипацией // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2013. Вып. 9/2 (110). С. 5–10.
12. Воропаева Н.В. Декомпозиция задач управления разнотемповых систем с дискретным временем // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. ИПУ РАН. 2014. С. 842–848.
13. Аширбаев Б.Ы. Декомпозиция и алгоритм решения задач оптимального управления с малым шагом // Известия КГТУ им. И. Раззакова. Бишкек. 2016. № 3 (39). С. 25–31.
14. Аширбаев Б.Ы. Декомпозиция дискретной задачи оптимального управления с малым шагом на интегральных многообразиях // Проблемы современной науки и образования. 2017. № 6 (88). С. 6–9.
15. Иманалиев З.К., Кадыров Ч.А., Алымбаева Ж.А. Решение дискретной задачи оптимального управления с малым периодом квантования // Вестник КГУСТА им. Н. Исанова. Бишкек. 2015. № 4 (50). С. 187–190.

Дискретные динамические модели образуются при моделировании дискретных процессов [1] или при дискретизации непрерывных моделей [2], а также при моделировании многих технических, экономических задач и задач автоматического управления, в которых используются дискретные модели оптимального управления [3–5].

Такая необходимость вытекает из всеобщей цифровизации общества. Это означает, что цифровые устройства, информацию получают или передают в дискретные моменты времени. В связи со сложностью построения аналитических решений дискретных задач оптимального управления, широко используется асимптотический метод построения решений таких задач [6, 7].

Цель данной работы состоит в построении асимптотического алгоритма решений линейной сингулярно-возмущенной дискретной задачи оптимального управления с малым шагом. Сингулярно-возмущенные системы дифференциальных уравнений в настоящее время активно развиваются и применяются для решения широкого круга задач в различных отраслях науки [8–10]. Такие системы появляются естественным образом в процессе моделирования и исследования объектов различной природы, способных одновременно совершать быстрые и медленные движения [8–10]. В связи с этим актуальной является задача разделения медленных и быстрых движений системы. Построению оптимальных решений в задачах с разнотемповыми динамическими системами с разделением движений посвящено множество работ, а именно в сингулярно-возмущенных системах [8–11] и в дискретных задачах оптимального управления [12–14]. Данная работа является продолжением исследований дискретной задачи оптимального управления.

1. Алгоритм решений задачи

В этом разделе вводим разностное сингулярно-возмущенное уравнение с –постоянными матрицами. Сначала формулируется условие, необходимое для выполнения исследуемой системы.

1.1. Постановка задачи

Объект управления описывается разностным уравнением

missing image file (1)

где

missing image file, missing image file векторы переменных состояния,

missing image file

missing image file missing image file missing image file missing image file missing image file постоянные матрицы, missing image file вектор управления, missing image filemissing image file малый шаг, 0 ≤ Т ≤ 1, μ – малый параметр, 0 < μ < 1, штрих обозначает транспонирование.

Систему (1) перепишем в виде

missing image file (2)

missing image file

Для системы (1) заданы начальные и конечные состояния:

missing image file(3)

missing image file

missing image file (4)

Предположим выполнения для системы (1).

Условие 1. Собственные значения матрицы А4 удовлетворяют неравенству

missing image file

где γ – некоторая постоянная.

При выполнении условия (1), рассмотрим задачу минимизации функционала

missing image file (5)

при ограничениях (2)–(4).

Как показано в [10, 13, 14], используя замены

missing image file (6)

missing image file (7)

из системы (2) получаем

missing image file (8)

missing image file (9)

где

missing image file (10)

missing image file

Матрицы H и N имеют размерности m × n и n × m соответственно и удовлетворяют следующим матричным уравнениям Риккати и Ляпунова [8, 10, 14]:

missing image file (11)

missing image file (12)

Уравнения (11), (12) имеют решения в виде равномерно сходящихся степенных рядов [8, 10, 14]:

missing image file (13)

Матрицы Hi(μ) и Nk(μ) (i,k = 0,1,…) определяются путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях μ в уравнениях (11), (12). В результате имеем [8, 10, 14]:

missing image file missing image file (14)

missing image file

missing image file missing image file (15)

missing image file missing image file

Граничные условия системы (8) и (9) определяются соотношениями

missing image file (16)

missing image file (17)

где

missing image file (18)

missing image file

missing image file (19)

В результате получили систему, состоящую из двух уравнений (8) и (9), которые решаются независимо друг от друга.

1.2. Вывод формулы задачи

Теперь рассмотрим задачу (5), (8)–(10), (16)–(19). Для системы (8), (9) предположим выполнение следующих условий:

Условие 2. Матрицы missing image file и missing image file являются матрицами простой структуры и не имеют нулевых собственных значений λs missing image file γk missing image file соответственно.

Условие 3. Для собственных значений λs missing image file γk missing image file матрицы missing image file и missing image file выполняются следующие ограничения:

missing image file

По второму условию матрицы missing image file и missing image file не имеют нулевых собственных значений, тогда собственные значения матрицы missing image file missing image file соответственно равны missing image file missing image file а соответствующие их собственные векторы совпадают с собственными векторами

missing image file и missing image file

Решения системы (8), (9) с начальными условиями (16), (18) представим в виде

missing image file (20)

missing image file (21)

C учетом конечных условий (17), (19) из (20) и (21) имеем

missing image file

missing image file (22)

missing image file

missing image file (23)

На основании теории проблемы моментов [8, 15] соотношения (22) и (23) выражают необходимые и достаточные условия, которые должны удовлетворять функция missing image file чтобы системы (8), (9) переводились из заданного начального состояния (16) в заданное конечное состояние (17) [8, 15]. Кроме того, функция u(kT) должна доставлять минимум функционалу (5). Однако движения системы (8) и (9) являются разнотемповыми. В связи с этим совместное решение уравнений (22) и (23) не является возможным [8, 15]. Так как для того, чтобы быструю подсистему (9) переводить из заданного начального состояния (16) в конечное состояние (17), необходимо найти функцию u(kT), удовлетворяющую уравнению (23), а также найденная функция u(kT) выражается через обратную матрицу и возникает требование ее существования при missing image file [8, 15].

Поэтому для подпространства переменных состояния missing image file и missing image file необходимо выбрать оптимальное управление, в котором каждое уравнение (22) и (23) решается независимо друг от друга относительно неизвестных параметров.

Исходя из этих требований оптимальное управление будем искать в виде

missing image file (24)

Подставляя (24) в (22) и (23), получаем уравнения

missing image file (25)

missing image file (26)

где

missing image file

missing image file (27)

Матрицы W1 и W2 положительно определенные [8, 10], следовательно, оптимальные управления и соответствующие оптимальные траектории для системы (8) и (9) определяются в формах

missing image file (28)

missing image file (29)

missing image file(30)

missing image file

missing image file (31)

1.3. Алгоритм решений задачи

Исходя из полученных формул алгоритм решений задачи (1)–(5) состоит в следующем:

1) вводится массив исходных данных системы (1): матрицы missing image fileначальные и конечные условия x0, xM, z0, zM период квантования T, количество шагов M, μ – малый шаг;

2) проверяется выполнения условий 1. Если условие 1 выполняется переход осуществляется к пункту 3, иначе к пункту 1;

3) по формулам (13)–(15) определяются матрицы H и N;

4) проверяются подстановкой матриц H и N в уравнения (11) и (12) соответственно. Если матрицы H и N удовлетворяют уравнения (11) и (12), то переход осуществляется к пункту 5, иначе к пункту 3;

5) по формулам (10) определяются матрицы: missing image fileи missing image file;

6) проверяется выполнения условий 3 для матрицы missing image file и missing image file Если условие 3 выполняется, переход осуществляется к пункту 7, иначе к пункту 3;

7) по формулам (18), (19) определяются начальные missing image file missing image file и конечные условия missing image file missing image file missing image file;

8) по формулам (22) и (23) определяются матрицы: missing image file и missing image file;

9) по формулам (27) определяются матрицы: missing image file, missing image file, missing image file;

10) по формулам (28) и (29) определяются оптимальные управления missing image file и missing image file;

11) по формулам (30) и (31) определяются оптимальные траектории missing image file и missing image file

2. Численное моделирование

В этом разделе рассмотрим задачу (1)–(5) для конкретных значений параметров системы (1), где матрицы A и B имеют вид:

missing image file

missing image file,

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file missing image file малый параметр – missing image file

начальные и конечные условия – missing image file

Далее по алгоритму решений задачи (п. 1.3) производятся численные расчеты:

1. Вычисление собственных значений матрицы A4 показывает, что условие 1 выполняется:

(missing image filemissing image file

2. Для определения матрицы H и N находим

missing image file

По формулам (14) последовательно вычисляем: H0, H1, … H7 . В результате из (13) при μ = 0.0003 имеем

missing image file

Проверка показала, что матрица H(μ) с точностью O(μ7) удовлетворяет уравнению (11):

missing image filemissing image file

Далее аналогично, по формулам (15) последовательно вычисляем: N0, N1, … N7 и в результате из (13) имеем

missing image file

Подставляя N(μ) в (12), убеждаемся, что она удовлетворяет уравнению (12) с точностью O(μ7).

missing image file

Итак, получаем разделенные переменных состояния системы (8) и (9), где

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

Граничные условия системы (8) и (9) имеют вид

missing image file,

missing image file (1.0177e-35; -5.4987e-35; -3.7077e-34; -1.5220e-35; -8.5145e-35; 1.1790e-33)’.

missing image file

missing image file missing image file.

Согласно пункту 6 проверка условий (3) показывает, что она выполняется:

eigmissing image file

missing image file

eig missing image file

missing image file.

Согласно пункту 8 по формулам (22) и (23) определяются матрицы: missing image file и missing image file:

missing image file (1.0e+09) *(-0.0111; -0.2371; -0.0694; -0.3620; 6.1360),

missing image file (-0.0990; -0.0394; -0.0633; 0.4662; -0.1671; -0.5998).

Согласно пункту 9 по формулам (27) определяются матрицы: missing image file, missing image file, missing image file:

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

Результаты численных расчетов задачи (1)–(5) приведены на рис. 1–4.

missing image file

Рис. 1. Результат расчета missing image file по формуле (28)

missing image file

Рис. 2. Результат расчета missing image file по формуле (29)

missing image file

Рис. 3. Результат расчета missing image file по формуле (30)

missing image file

Рис. 4. Результат расчета missing image file по формуле (31)

Заключение

Полученный алгоритм решений линейной сингулярно-возмущенной дискретной задачи оптимального управления с малым шагом на основе разделения переменных состояния системы [13, 14] позволяет существенно понизить порядок исследуемой системы. Полученная при этом эквивалентная система обладает всеми свойствами управляемости и стабилизируемости исходной системы, причем они связаны только управляющей функцией.

Предложенный способ может эффективно применяться при исследовании теории оптимальных цифровых систем управления и при построении приближенного решения алгебраических матричных уравнений Риккати и Ляпунова.


Библиографическая ссылка

Аширбаев Б.Ы., Алтымышова Ж.А. АЛГОРИТМ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННОЙ ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2022. – № 4. – С. 30-38;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=13375 (дата обращения: 25.06.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074