Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,578

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ С ОПЕРАТОРОМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, ГДЕ ВЫРОЖДАЕТСЯ НЕКОРРЕКТНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА

Алыбаев А.М. 1
1 Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына
Важность исследуемой работы основана на изучении некорректных задач абстрактного моделирования, поскольку многие процессы нашей окружающей среды зачастую описываются подобными дифференциальными уравнениями. Изучение же обратных задач приводит нас к операторным и интегральным уравнениям, методы решения которых заслуживают особого внимания. В работе исследуется многомерная обратная задача с оператором гиперболического типа, вырождающаяся в уравнения Вольтерра первого рода с особым решением. На основе разработанного алгоритма асимптотического характера, где содержится сингулярная функция относительно малого параметра, доказаны вопросы регуляризируемости в обобщенном смысле и единственности решения исходной задачи во введенном пространстве. Отметим, что изучаемое дифференциальное уравнение в частных производных в исследуемой некорректной обратной задаче обобщает уравнения, моделирующие движение жидкости в трещиноватых породах, влагопереноса в почвогрунтах и др. В связи с этим результаты данной работы могут быть использованы и применены к указанным прикладным задачам для доказательства регуляризируемости в обобщенном смысле, в чем и заключается актуальность данной статьи. Таким образом, построение приближенного решения методами регуляризации, нахождение достаточного решения поставленной задачи посредством применения методов интегрализации и вспомогательной функции имеют место в данной работе.
дифференциальные уравнения
метод регуляризации
метод вспомогательной функции
обратная задача
особое решение
некорректная задача
интегральные уравнения Вольтерра первого рода
1. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 4. С. 689–699.
2. Омуров Т.Д. Методы регуляризации интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода. Бишкек: Илим, 2003. 162 с.
3. Омуров Т.Д., Джумагулов К.Р., Омуров М.Т. Регуляризация обратных задач, где вырождается уравнение Вольтерра первого рода с особым решением // Естественные и математические науки в современном мире: сборник статей по материалам XLII международной научно-практической конференции № 5 (40). Новосибирск: СибАК, 2016. С. 98–110.
4. Омуров Т.Д., Алыбаев А.М., Джумагулов К.Р. Обратно-нелокальная задача в неограниченной области, где вырождается неклассическое интегральное уравнение Вольтерра третьего рода // Наука, техника и образование. 2017. № 1 (31). С. 10–15.
5. Джумагулов К.Р. Решение обратной задачи с гиперболическим оператором, где вырождается неклассическое уравнение Вольтерра третьего рода // Вестник КНУ им. Ж. Баласагына. 2018. № 4 (96). С. 17–23.
6. Джумагулов К.Р. Регуляризация обратно-нелокальной задачи с гиперболическим оператором, где вырождается уравнение Вольтерра третьего рода // Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета. 2020. Т. 20. № 8. С. 3–10.
7. Чекиров К., Джумагулов К.Р. Получение приближенных оптимальных решений задач, описываемых линейными операторными уравнениями // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2019. № 6. С. 164–167.
8. Omurov T.D. and Alybaev A.M. Regularization of a system of the first kind Volterra incorrect two-dimensional equations. Advances in Differential Equations and Control Processes. 2022. V. 27. P. 149–162. DOI: 10.17654/0974324322018.

В теории дифференциальных уравнений в частных производных исследованы различные прямые и обратные задачи, и для решения этих задач рассмотрены различные методы, связанные с функциями Римана, Грина, с преобразованиями Лапласа, Фурье и др., которые встречаются в работах [1–3] и т.д.

Большое значение в этой области имеют обратные задачи [4–6] и др., где вырождаются нелинейные интегральные уравнения первого или третьего рода с особыми решениями [3], так как их исследования еще не завершены, т.е. не имеют общих методов решения. В некоторых случаях разработаны способы исследований, связанные с методами регуляризации, имеющие сингулярности относительно малого параметра [2].

В связи с этим в настоящей статье изучается многомерная коэффициентная обратная задача с дифференциальным оператором гиперболического типа, вырождающее двумерное интегральное уравнение первого рода с особым решением. Чтобы доказать регуляризируемость исследуемой обратной задачи в введенном пространстве, применяются: метод вспомогательной функции, метод регуляризации операторных уравнений и элементы математического и функционального анализов [7, 8].

Основной целью данного исследования является получение достаточного решения обратной задачи, вырожденной в интегральное уравнение первого рода посредством нахождения соответствующего регуляризирующего решения. Наряду с этим построение алгоритма асимптотического характера, где содержится сингулярная функция относительно малого параметра, также доказательство регуляризируемости в обобщенном смысле и единственности решения исходной задачи во введенном пространстве.

Материалы и методы исследования

В данной работе показаны материалы для важной отрасли высшей математики, такой как теория обратных задач, где применены методы исследования дифференциальных и интегральных-операторных уравнений, методы вспомогательной функции, методы интегрализации, а также методы регуляризации и элементы математического и функционального анализов. Использованы понятия построения регуляризирующего алгоритма получения достаточного решения и оценки их погрешностей.

Результаты исследования и их обсуждение

Пусть задается обратная задача вида

missing image file (1)

missing image file (2)

missing image file (3)

где

missing image file (4)

missing image file – известные функции. Тогда при указанных условиях требуется найти вектор-функцию: missing image file с двумя компонентами из missing image file с нормой:

missing image file

здесь [8]: missing image file– пространство, элементами которого являются все суммируемые с квадратом функции из missing image file, а также обобщенные функции z(x, y) сосредоточенные в начале координат отрезка [0, X] по переменной х с условием

missing image file

Чтобы исследовать исходную обратную задачу, сперва эту задачу приводим к интегральному виду. С этой целью введем вспомогательную функцию V по правилу:

missing image file (5)

где V – новая искомая функция с условиями

missing image file (6)

Тогда из формулы (5) следует

missing image file (7)

Применяя формулы (5), (7) относительно (1) получим

missing image file (8)

Далее, интегрируя (8) по y, имеем

missing image file

или

missing image file (9)

Поэтому, допуская

missing image file (10)

с условием

missing image file (11)

получим

missing image file (12)

Вследствие этого, так как имеет место (10), (12), из (9) следует интегральное уравнение вида

missing image file (13)

missing image file

Из (13) видно, что неизвестными являются (W, θ). Значит, на основе (11) из (13) вытекает

missing image file (14)

missing image file

Тогда на основе (13) и (14) получим

missing image file (15)

где (13) является интегральным уравнением второго рода по переменным x.

Лемма 1. При наложении исходных условий относительно известных функций missing image file и

missing image file (16)

уравнение (15) разрешимо в missing image file и решение строится по правилу Пикара:

missing image file missing image file (17)

с оценкой погрешности

missing image file (18)

где W0 – начальное приближение, а 0 < LP – коэффициент Липщица оператора P. Тогда с учетом (12) и функция V определяется единственным образом в missing image file Поэтому на основе (7) и существует единственная функция missing image file

Доказательство. Выше сказано, что (15) является интегральным уравнением второго рода и при условии (16) относительно оператора P реализуются условия Банаха. Поэтому уравнение (15) разрешимо в missing image file причем решение можно найти по правилу (17). Тогда, на основе выводов этого метода, имеем, что последовательность функций missing image file сходится к решению missing image file уравнения (15) missing image file с оценкой (18), где

missing image file

С другой стороны, учитывая (10), (12), получим, что функции missing image file ограничены missing image file так как ограничено W, missing image file А это означает, что V определена единственным образом в классе missing image file по правилу

missing image file (19)

Кроме того, так как функция u определяется единственным образом по формуле (7) в missing image file и все частные производные от функции u ограничены missing image file (здесь все частные производные функции u выражаются через функцию V), то имеет место

missing image file (20)

Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Как выше отмечено, при выполнении условий леммы 1, с учетом (7) функция u однозначно определяется в missing image file Следовательно, на основе теоремы вложения К. Фридрихса альтернативно можем считать, что функция u единственным образом определяется и в пространстве missing image file, т.е.:

missing image file

При выполнении условий леммы 1 из соотношения (14), с учетом дифферен-цирования по у, имеем интегральное уравнение первого рода:

missing image file (21)

где

missing image file (22)

missing image file

Известно, что при условии (22) интегральное уравнение первого рода (21) некорректно поставленное, т.е. не имеет решения в missing image file Поэтому, чтобы доказать регуляризируемость (21) в обобщенном смысле, сперва проводим следующие математические преобразования.

Если допускаем

missing image file (23)

и выполнение условий (4), (22), а также

missing image file (24)

то уравнение (21) эквивалентно преобразуется к виду:

missing image file (25)

Далее, рассмотрим уравнение с малым параметром ε вида

missing image file (26)

с условием

missing image file (27)

При этом решение интегрального уравнения (26) ищем по правилу

missing image file (28)

причем относительно неизвестных функций имеют место

missing image file, (29)

missing image file (см. (24)) (30)

missing image file (31)

где:

а)missing image file – является решением (29), которое доопределяет особую функцию missing image file с условием

missing image file (*)

б) missing image file – решение видоизмененного вырожденного уравнения (30), где свободный член в начале отрезка missing image file обращается в нуль. При этом функция missing image file и доказывается, что система (30) регуляризируема в missing image file;

в) функция missing image file определяется единственным образом из (31), причем сходится к нулю в смысле missing image file когда малый параметр: missing image file.

1. В самом деле, во-первых, из (29) следует

missing image file (32)

Значит, получим (*).

2. Во-вторых, так как функция missing image file является решением уравнения (30), то, введя уравнение с малым параметром вида

missing image file (33)

можем доказать следующую лемму:

Лемма 2. Если выполняются условия леммы 1 и при этом уравнение (30) имеет решение с условиями (22), (24) и (28), то решение уравнения (33) равномерно сходится к решению (30) при missing image file.

Доказательство. В условиях леммы 2 уравнение (33) преобразуем к виду

missing image file (34)

и проводим оценки вида

missing image file

missing image file

а также

missing image file

Тогда имеет место

missing image file (35)

С другой стороны, с помощью подстановки: missing image file, для любого

missing image file,

получим

missing image file

или на основе резольвенты имеем

missing image file

(36)

где

missing image file (37)

Следовательно, учитывая оценки вида

missing image file

missing image file

из (36) имеем

missing image file (38)

А это означает, что

missing image file (39)

т.е. сходится в смысле missing image file Что и требовалось доказать.

3. Чтобы определить функцию missing image file, сперва (31) преобразуем к виду

missing image file (40)

где

missing image file (41)

missing image file

(см (37)).

Далее, для оценки (40) учитываем

missing image file

missing image file

и

missing image file

missing image file

здесь учтены

missing image file

missing image file

Поэтому из оценки (40) следует

missing image file (42)

Лемма 3. При условиях леммы 1 и (24), (27), (32), (41), (42) уравнение (31) разрешимо в missing image file, причем при ε→0 сходится к нулю в смысле missing image file

Заключение

А) Если выполняются условия лемм 1–3, то решение уравнения (26) единственным образом представимо в виде (28), при этом*** missing image file решение уравнения (26) сходится (неравномерная сходимость) при ε→0 к решению уравнения (30) с оценкой:

missing image file (43)

Б) А в случае: missing image file

Кроме того, имеет место (*). Поэтому, учитывая вышеуказанные дефекты, пока не можем сказать о близости решений уравнений (26) и (30) в определенном смысле.

Чтобы полноценно оценить близости решений уравнений (26), (30) в этом пространстве, докажем теорему.

Теорема 1. Пусть имеют место условия лемм 1–3 и имеет место (43). Тогда следуют

1) missing image file (44)

2) missing image file (45)

3) missing image file при missing image file

Доказательство. Рассматривая второе соотношение формулы (43) в смысле нормы пространства missing image file, получим

missing image file

т.е. действительно имеет место (44).

Кроме того, из первого соотношения формулы (43) на основе нормы missing image file и неравенства missing image file missing image file следует

missing image file

А это означает, что и выполняется неравенство (45).

С другой стороны, с учетом (см. (26))

missing image file

получим

missing image file

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. В условиях леммы 1 и теоремы 2 задача (1)–(3) регуляризируема в missing image file в обобщенном смысле.

Заключение

В данной работе рассмотрена многомерная коэффициентная обратная задача с оператором гиперболического типа, вырождающаяся в двумерное интегральное уравнение первого рода с особым решением в G2(Ω). Данная задача исследована с помощью метода вспомогательной функции и метода регуляризации, которые позволили выявить достаточные условия разрешимости этих задач и регуляризируемости в G2(Ω) в обобщенном смысле. Результаты работы могут быть использованы и в других задачах математической физики, где вырождаются нелинейные некорректные интегральные уравнения первого рода.


Библиографическая ссылка

Алыбаев А.М. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ С ОПЕРАТОРОМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, ГДЕ ВЫРОЖДАЕТСЯ НЕКОРРЕКТНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2022. – № 7. – С. 57-71;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=13414 (дата обращения: 03.02.2023).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.685