Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,578

ДВИЖЕНИЕ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ НЕМОНОПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Сенницкий В.Л. 1, 2
1 ФГБУН Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
2 ФГАОУ ВО «Новосибирский государственный университет»
Выполненные ранее исследования динамики гидромеханических систем при периодических по времени (колебательных, вибрационных) воздействиях позволили получить ряд новых нетривиальных результатов. В частности, теоретически и экспериментально установлено существование явления преимущественно однонаправленного движения сжимаемых включений в колеблющейся жидкости (В.Л. Сенницкий, 1988, 1991, 1993, 2001). Найдено, что вибрационные воздействия могут приводить к гидромеханическому эффекту – аналогу «маятника Капицы» (П.Л. Капица, 1951), состоящему в том, что в присутствии поля силы тяжести находящееся в жидкости твердое тело совершает «перевернутые» колебания (В.Л. Сенницкий, 2009). Обнаружен эффект «левитации» жидкости (В.Л. Сенницкий, 2021, 2022). В рассматривавшихся до настоящего времени задачах все составляющие периодических воздействий на гидромеханическую систему имели один и тот же период, воздействия были монопериодическими. В данной работе поставлена и решена задача, в которой воздействия на систему характеризуются наличием более одного периода, воздействия являются немонопериодическими. В идеальной несжимаемой не ограниченной извне жидкости находится твердое включение (шар). Скорость жидкости на бесконечности и радиус включения периодически (с одним и тем же периодом или с различными периодами) изменяются со временем. Гидромеханическая система совершает движение, подлежащее определению. Принципиально важным является то, что оказываемые на систему воздействия, происходящие в системе заданные периодические изменения (колебания скорости жидкости вдали от включения, пульсации включения) не имеют выделенного направления в пространстве. Установлено, в частности, что при монопериодических воздействиях включение (центр включения) на фоне колебаний совершает однонаправленное движение; при немонопериодических воздействиях с близкими периодами включение (центр включения) на фоне «быстрых» колебаний совершает «медленные» колебания вдоль прямой линии с периодом, обратно пропорциональным разности периодов колебаний скорости жидкости на бесконечности и радиуса включения.
жидкость
включение
отсутствие выделенного направления в пространстве
монопериодические и немонопериодические воздействия
однонаправленное движение
медленные колебания
1. Международная конференция «Математика в приложениях». Тезисы докладов (Новосибирск, 4–10 августа 2019 г.). Новосибирск: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2019. 312 с.
2. Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 7–11 сентября 2020 г.). Тезисы докладов. Новосибирск: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2020. 262 с.
3. Евразийская конференция по прикладной математике: сборник тезисов (Новосибирск, 16–22 декабря 2021 г.). Новосибирск: Математический центр в Академгородке, 2021. 88 с.
4. Сенницкий В.Л. Преимущественно однонаправленное течение вязкой жидкости // Сибирский журнал индустриальной математики. 2021. Т. 24. № 2. С. 126–133. DOI: 10.33048/SIBJIM.2021.24.210.
5. Сенницкий В.Л. Об особенностях течения жидкости в поле силы тяжести // Сибирские электронные математические известия. 2022. Т. 19. № 1. С. 241–247. DOI: 10.33048/semi.2022.19.018 .
6. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. М.: Физматгиз, 1963. 584 с

Состояние современной гидромеханики в значительной мере характеризуется работами, нашедшими отражение в изданиях [1–3]. Часть данной научной области составлена исследованиями динамики гидромеханических систем при периодических по времени (колебательных, вибрационных) воздействиях, не имеющих выделенного направления в пространстве [4, 5]. В настоящей работе рассматривается новая задача о движении гидромеханической системы при воздействиях, не имеющих выделенного направления в пространстве. Система состоит из идеальной несжимаемой не ограниченной извне жидкости и находящегося в ней твердого тела Ξ (включения, шара) радиуса A. В начальный момент времени t, при t = 0 жидкость и тело Ξ покоятся относительно инерциальной прямоугольной системы координат X, Y, Z. В последующие моменты времени при t > 0 на гидромеханическую систему оказываются воздействия, наличие которых проявляется в том, что скорость жидкости на бесконечности V∞ = {V∞, 0, 0} и радиус включения периодически соответственно с периодами T и τ изменяются со временем. Центр инерции включения совпадает с центром включения. Течение жидкости является потенциальным [6]. Периоды T, τ могут совпадать друг с другом или быть различными.

Целью работы является определение движения гидромеханической системы (жидкости и включения).

Постановка и решение задачи

Пусть S – радиус-вектор центра тела Ξ (центра инерции тела Ξ); Φ – потенциал скорости жидкости; m – масса тела Ξ; ρ – плотность жидкости; Г – граница тела Ξ (сфера радиуса А с центром в центре тела Ξ); n – единичный вектор внешней нормали к Γ; P – давление в жидкости; I – функция t;

missing image file,

– сила, действующая со стороны жидкости на тело Ξ.

Уравнение движения тела Ξ (центра инерции тела Ξ), уравнение неразрывности, интеграл Коши–Лагранжа, граничные и начальные условия имеют следующий вид:

missing image file (1)

ΔФ = 0; (2)

missing image file (3)

missing image file на Г; (4)

∇Ф →V∞ при X2 + Y2 + Z2 → ∞ (5)

Ф = 0, S = 0, dS / dt = 0 при t = 0 (6)

(функции A = A(t), V∞ = V∞(t) являются заданными; A = Â, dA / dt = 0, V∞ = 0 при t = 0 (Â > 0 – постоянная)).

Предположим, что

missing image file для t > 0 (7)

то есть при всех t > 0 центр тела Ξ находится на оси X (S = 0, dS / dt = 0 при t = 0). Отметим, что для выполнения (7) необходимо и достаточно, чтобы были удовлетворены условия

FY = 0, FZ = 0 для t > 0. (8)

Зафиксируем (произвольный) момент времени t > 0. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат X1, X2, X3, неподвижную относительно системы X, Y, Z, такую что начало координат X1, X2, X3 совпадает с центром тела Ξ , ось X1 лежит на оси X, и направления осей X2, X3 совпадают соответственно с направлениями осей Y, Z. Будем использовать сферические координаты R, θ, φ, связанные с координатами X1, X2, X3 соотношениями

missing image file missing image file

missing image file

Преобразуем задачу (2), (4), (5) к виду

missing image file (9)

missing image file (10)

missing image file (11)

Задача (9)–(11) имеет решение

missing image file (12)

Отметим, что согласно (3), (12)

missing image file

то есть условия (8) являются выполненными.

Используя (1), (3), (6), (12), получим

missing image file (13)

Формулами (3), (12), (13) определяется точное решение задачи (1)–(6).

Пусть

missing image file (14)

(ε ≥ 0 – параметр; missing image file – постоянная).

Отметим, что согласно (14)

missing image file (14)

Остановимся на вопросе о движении тела Ξ (центра тела Ξ) при малых по сравнению с единицей значениях ε.

Пусть

τ = T. (15)

Используя (12)–(15), получим

missing image file, при ε → 0, (16)

где

missing image file

Согласно (16) тело Ξ на фоне колебаний совершает однонаправленное движение со скоростью

missing image file (17)

Пусть

τ ≠ T. (18)

Подчиним периоды τ, T условию

missing image file (19)

где missing image file – постоянная.

Используя (13), (14), (18), (19), получим

missing image file (20)

Согласно (20) тело Ξ совершает колебания. В частности, при периодах τ, T, близких друг к другу, тело Ξ на фоне «быстрых» колебаний совершает «медленные» колебания со скоростью

missing image file (21)

Амплитуда «медленных» колебаний тела Ξ (центра тела Ξ) составляет

missing image file (22)

Отметим, что согласно (16), (20) предел U2 при стремлении к нулю τ – T равен U1.

Заключение

Проведенное рассмотрение позволило обнаружить, что монопериодические и немонопериодические воздействия на гидромеханическую систему, не имеющие выделенного направления в пространстве, могут приводить к качественно различной динамике системы ((16), (17), (20)–(22)). В частности, в настоящей работе найдено, что при монопериодических воздействиях включение в жидкости на фоне колебаний совершает однонаправленное движение; при немонопериодических воздействиях с близкими периодами включение в жидкости на фоне «быстрых» колебаний совершает «медленные» колебания вдоль прямой линии с периодом, обратно пропорциональным разности периодов, и амплитудой, обратно пропорциональной квадрату разности периодов происходящих в гидромеханической системе заданных периодических изменений – колебаний скорости жидкости на бесконечности и радиуса включения.


Библиографическая ссылка

Сенницкий В.Л. ДВИЖЕНИЕ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ НЕМОНОПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2022. – № 8. – С. 72-75;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=13429 (дата обращения: 08.12.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074