Введение
Понимание того, как из локальных правил рождается глобальная упорядоченность, давно находится в фокусе вычислительной физики. Клеточные автоматы (КА) остаются удобным инструментом для таких исследований благодаря своей дискретной природе и богатству коллективных режимов. Фундаментальная классификация, предложенная С. Вольфрамом [1], разделила элементарные КА на четыре класса – от тривиально однородных до хаотических и сложных. Общая теория КА как дискретных динамических систем подробно изложена в работе А. Илачинского [2]. Одним из важнейших результатов стало доказательство универсальности по Тьюрингу для игры «Жизнь» [3], что показало принципиальную вычислительную мощность даже простых автоматных правил.
Для количественного анализа разнообразия динамик активно используются энтропийные подходы. В частности, К. Лэй с соавторами [4] предложили классификацию элементарных КА при асинхронном обновлении, основанную на поведении энтропии. В работе [5] развили информационно-теоретический взгляд на классификацию клеточных автоматов. Обзор математических моделей КА и их приложений представлен в работе А. И. Лобанова [6]. Отдельного внимания заслуживают клеточно-автоматные методы решения задач математической физики на гексагональных сетках, детально описанные И. В. Матюшкиным (в двух частях) [7; 8], а также обзор современных отечественных публикаций по КА [9]. Важным направлением является изучение стохастических и термодинамических свойств КА. К. Поморски и Д. Котула [10] исследовали термодинамику стохастической версии игры «Жизнь», выявив аналогии с фазовыми переходами. А. С. Алешкин с соавторами [11] разработали математическое и программное обеспечение для стохастических КА с памятью. О. Л. Бандман [12] проанализировал режимы функционирования асинхронных КА, моделирующих нелинейную пространственную динамику. Предшествующие работы самих авторов [13] были посвящены систематическому исследованию поведения стохастической энтропии в двумерных и трёхмерных КА.
Прикладные аспекты КА охватывают широкий круг задач. С. К. Саруханян [14] предложил подход к численной оценке адекватности трёхмерной клеточно-автоматной модели диффузии вещества. Н. М. Ершов и А. М. Попов [15] применили стохастические блочные КА с окрестностью Маркова для моделирования химических и биологических систем. Влияние исходной конфигурации распределения живых клеток на стохастическую энтропию системы КА было исследовано В. В. Шебановым [16]. Наконец, А. А. Шибков и С. С. Кочегаров [17] использовали клеточно-автоматное моделирование для изучения эволюции фрактального коррозионного фронта. Несмотря на обилие работ, большинство численных экспериментов со стохастическими КА опирается на однородные начальные условия с фиксированной глобальной плотностью активных клеток по всей решётке. Однако во многих реальных процессах активация нейронного ансамбля, рост опухолевого очага, локальное возгорание, активность изначально сосредоточены в ограниченной пространственной области. Подчеркнём, эти примеры приведены исключительно для мотивации; наша модель не воспроизводит специфику нейронных, онкологических или горючих сред (общие подходы к такому моделированию можно найти в обзорах [6; 9]). Вопрос о том, как меняется эволюция КА при переходе от равномерного распределения к компактному очагу и какую роль в этом играет размерность пространства (2D против 3D), остаётся недостаточно изученным.
Цель настоящей работы – определить характер динамики стохастического клеточного автомата с локализованным начальным условием в зависимости от размерности решётки и глобальной начальной плотности активных клеток. Для этого решаются следующие задачи: анализ временных рядов доли живых клеток ρ(t) и глобальной энтропии Шеннона S(t), построение фазовых портретов в координатах (S, dS/dt) и (ρ, S), вычисление времени релаксации τ и сравнение статистических характеристик стационарных режимов по ансамблям независимых реализаций.
Описание математической модели
Рассматривается стохастический КА на пространственной решётке размерности d = 2 или d = 3. Каждая клетка может находиться в одном из двух состояний: σᵢ = 1 («живая») или σᵢ = 0 («мёртвая»). Время t дискретно, t = 0, 1, 2, … N. Состояние всей системы в момент t задаётся конфигурацией Ω(t) = {σᵢ(t)}. Эволюция клеток определяется вероятностным правилом, зависящим от числа живых соседей в окрестности Мура. Для клетки i на шаге t вычисляется количество nᵢ(t) соседних клеток, находящихся в состоянии 1. В двумерном случае окрестность Мура включает 8 соседей, в трёхмерном – 26 соседей.
Вероятность Pᵢ(t) того, что клетка i окажется живой на следующем временном шаге, задаётся сигмоидной (логистической) функцией:
(1)
где θ – пороговое число соседей (при ni = θ вероятность активации равна 0,5), β – параметр крутизны (чем больше β, тем ближе правило к детерминированному пороговому).
Обновление состояний происходит асинхронно: на каждом временном шаге каждая клетка независимо с вероятностью α выбирается для попытки изменения состояния. Выбранная клетка переходит в состояние 1, если случайное число ξ~U[0,1] меньше Pi(t); в противном случае переходит в 0. Клетки, не выбранные для обновления, сохраняют своё текущее состояние. Параметр α регулирует степень синхронности: α = 1 соответствует полностью синхронному обновлению, малые α – сильно асинхронному.
Основной характеристикой глобальной динамики системы является доля живых клеток (плотность):
(2)
где M – общее число клеток в решётке.
В качестве информационной меры используется энтропия по плотности:
(3)
Подчеркнём: S(t) – это бинарная энтропия Шеннона, вычисленная по глобальной доле живых клеток ρ(t). Она не является мерой пространственной сложности (не учитывает взаимное расположение активных клеток) и чувствительна только к изменению средней активности. Такая мера вычислительно проста и удобна для массовых ансамблевых расчётов, особенно в трёхмерном случае, где полный пространственный анализ потребовал бы существенно больших ресурсов.
Поскольку каждая реализация стохастического КА содержит случайную составляющую, анализ проводится на ансамбле из N независимых запусков с одинаковыми начальными условиями. Для каждого момента времени t вычисляются средние по ансамблю:
, (4)
где ρk(t) – плотность активных клеток в k-й реализации на шаге t. Аналогично вычисляется средняя энтропия, где Sk(t) = H(ρk(t)) согласно формуле (3).
Стационарные значения ρ∞ и S∞ определяются дополнительным усреднением ⟨ρ(t)⟩ и ⟨S(t)⟩ по заключительному интервалу моделирования (t = 801, …, 1000).
Формула для времени релаксации τ:
(5)
где ρ∞ – стационарная средняя плотность, вычисленная по интервалу t = 801…1000.
Время релаксации τ определяется как наименьший номер шага t, для которого выполняется условие
,
где e – основание натурального логарифма.
Длина фазовой траектории в плоскости (ρ,S) вычисляется как
(6)
Коэффициент вариации стационарной плотности CV = σρ / ρ∞, где σρ – стандартное отклонение значений ρₖ, усреднённых по последним 100 шагам для каждой реализации.
(7)
где ρkстац – средняя плотность k-й реализации на заключительном интервале.
Для количественной оценки пространственной структуры вводится размер крупнейшего кластера Cmax(t) – число клеток в наибольшем связном (по окрестности Мура) множестве живых клеток, а также корреляционная длина ξ, оцениваемая по спаду радиальной функции корреляции g(r):
(8)
где усреднение проводится по всем парам клеток на расстоянии r.
Корреляционная длина ξ определяется из условия 
на начальном участке.
Параметры симуляций
Численные эксперименты проводились для 2D и 3D КА с асинхронным вероятностным обновлением. Размеры решёток выбраны следующие: 50×50 клеток для 2D и 30×30×30 клеток для 3D. Граничные условия задавались периодическими, однако за время наблюдения (1000 шагов) влияние границ на динамику центрального очага оставалось пренебрежимо малым.
Параметры логистического правила перехода (1) задавались индивидуально для каждой размерности и приведены в таблице 1 вместе с остальными параметрами экспериментов.
Таблица 1
Параметры численных экспериментов для КА
|
Параметр |
2D |
3D |
|
Размер решётки, L |
50 × 50 |
30 × 30 × 30 |
|
Порог активации, θ |
4,00 |
13,73 |
|
Крутизна сигмоиды, β |
2,00 |
0,15 |
|
Вероятность обновления, α |
0,20 |
0,15 |
|
Плотность в очаге, ρочаг |
0,92 |
|
|
Фоновая плотность, ρфон |
0,025 |
|
|
Целевые ρ0глоб |
0,10; 0,15; 0,20; 0,25 |
|
|
Радиус очага для ρ0глоб = 0,10 |
8 |
8 |
|
Радиус очага для ρ0глоб = 0,15 |
11 |
10 |
|
Радиус очага для ρ0глоб = 0,20 |
12 |
11 |
|
Радиус очага для ρ0глоб = 0,25 |
14 |
12 |
|
Число реализаций, N |
50 |
|
|
Длительность реализации, T |
1000 шагов |
|
*Источник: составлено авторами.
Начальная конфигурация формировалась как локализованный очаг высокой плотности в центре решётки. Внутри очага (круг в 2D или сфера в 3D) каждая клетка объявлялась живой с вероятностью ρочаг = 0,92. Вне очага задавался разреженный случайный фон с вероятностью ρфон = 0,025 на клетку. Радиус очага r подбирался таким образом, чтобы средняя доля живых клеток по всей решётке в начальный момент равнялась заданному ρ0глоб. Для этого решалось уравнение баланса объёмов:
(9)
где Vобщ – общее число клеток, Vочаг – объём очага, выражаемый через радиус, ρфон = 0,025 – фоновая плотность вне очага.
Программная реализация выполнена на языке Python 3.11 в среде Google Colab. Для ускорения матричных операций и вычисления свёрток применялась библиотека NumPy (версия 1.24). Визуализация результатов осуществлялась средствами Matplotlib (3.7) и Seaborn (0.12). Статистическая обработка данных проводилась с использованием модуля SciPy.stats. Генератор случайных чисел – numpy.random.PCG64 с фиксированным seed=20250415. Для снижения вычислительной нагрузки при расчёте окрестностей Мура использовались операции с циклическими сдвигами массивов (функции np.roll).
Результаты исследования и их обсуждение
Проведённые численные эксперименты позволяют детально проследить, каким образом пространственная размерность и начальная глобальная плотность активных клеток влияют на эволюцию стохастического клеточного автомата с локализованным источником возбуждения. В данном разделе последовательно рассматриваются: структура начальных конфигураций, временные ряды плотности ρ(t) и энтропии S(t), фазовый портрет в координатах (S, dS/dt) и траектории в плоскости (ρ, S). Каждый из представленных графиков содержит сопоставление результатов для двумерного и трёхмерного случаев при четырёх значениях ρ0глоб = (0,10; 0,15; 0,20; 0,25).
На рисунке 1 приведены примеры стартовых конфигураций для 2D и 3D при ρ0глоб = 0,15. В левой части показана 2D-решётка с выделенной окружностью радиуса r = 11 клеток. В центральной части рисунка представлено сечение трёхмерной решётки плоскостью z = 15; радиус сферического очага в этом случае равен r = 10 клеткам. Правая панель демонстрирует интегральную проекцию трёхмерного начального состояния на плоскость XY, где цветом закодирована доля живых клеток вдоль направления Z.
В двумерном случае очаг занимает заметную долю площади решётки (примерно 15% при r = 11), и его граница имеет относительно малую протяжённость. В трёхмерной системе при том же значении ρ0глоб = 0,15 радиус очага составляет всего 10 клеток, а его объём не превышает 10,0% от общего числа клеток. Таким образом, в 3D начальное возмущение оказывается более компактным в относительных единицах, но при этом каждая клетка на границе сферы взаимодействует с существенно большим числом соседей (до 26 против 8 в 2D).
Ключевой макроскопической характеристикой системы является глобальная плотность активных клеток ρ(t). На рисунке 2 представлены усреднённые по ансамблю временные ряды ⟨ρ(t)⟩ для 2D и 3D КА. Для наглядности также показаны коридоры стандартных отклонений, отражающие разброс траекторий внутри ансамбля.
Рис. 1. Начальные конфигурации клеточных автоматов при ρ0глоб = 0,15: а) 2D-решётка; б) центральное сечение 3D-решётки; в) проекция 3D-распределения на плоскость XY Источник: составлено авторами
Рис. 2. Динамика доли живых клеток ρ(t) при различных значениях ρ0глоб: а) 2D-решётка; б) 3D-решётка Источник: составлено авторами
Анализ кривых выявляет качественное различие в характере эволюции плотности. В двумерном случае для всех ρ0глоб наблюдается монотонное убывание ρ(t) на всём протяжении интервала моделирования. Скорость спада существенно зависит от начальной плотности: при ρ0глоб = 0,10 плотность снижается до стационарного уровня 0,039 за 297 шагов, при ρ0глоб = 0,15 – до 0,042 за 423 шага, при ρ0глоб = 0,20 – до 0,045 за 520 шагов, при ρ0глоб = 0,25 – до 0,061 за 595 шагов (табл. 2). Такое поведение объясняется последовательным «схлопыванием» очага от периферии к центру, причём более крупный очаг требует большего числа итераций для полного угасания.
В трёхмерной системе динамика плотности имеет иной характер. На начальном этапе (первые 50-100 шагов) происходит резкий рост, после чего кривые выходят на квазистационарный уровень и начинают флуктуировать около него. В отличие от 2D, дальнейшего монотонного убывания не наблюдается. Более того, для ρ0глоб = 0,15 и выше после 200-го шага заметны небольшие, но устойчивые колебания плотности с амплитудой порядка 0,005, которые не затухают вплоть до конца симуляции. Это указывает на то, что трёхмерная система не приходит к статическому равновесию, а демонстрирует долгоживущие, не затухающие за 1000 шагов колебания плотности и энтропии, что соответствует квазистационарному, а не статическому режиму.
Дополнительную информацию о характере самоорганизации даёт анализ энтропии Шеннона S(t), вычисленной по формуле (3), напомним, что это бинарная энтропия по глобальной плотности (см. раздел 2), поэтому она отражает лишь степень разупорядоченности средней активности, а не пространственную структуру. На рисунке 3 показаны усреднённые по ансамблю кривые ⟨S(t)⟩ для тех же значений ρ0глоб.
В двумерной системе энтропия монотонно убывает на всём интервале наблюдения. Скорость спада зависит от начальной глобальной плотности: при ρ0глоб = 0,10 выход на стационар происходит примерно за 300 шагов, при ρ0глоб = 0,25 этот процесс растягивается до 600 шагов. Конечные значения энтропии для всех ρ0глоб лежат в узком диапазоне S∞ ≈ 0,25–0,32 бит, что соответствует почти полностью стационарной решётке с редкими вкраплениями активных клеток. Разброс между реализациями относительно невелик, но заметно увеличивается с ростом начальной плотности.
В трёхмерной системе динамика энтропии носит качественно иной характер. После резкого начального роста (первые 50–100 шагов) кривые выходят на промежуточное плато и начинают флуктуировать около него. В отличие от двумерного случая, дальнейшего монотонного снижения не наблюдается. Стационарные значения энтропии S∞ для 3D заметно выше, чем для 2D, и составляют от 0,83 бит при ρ0глоб = 0,10 до 0,897 бит при ρ0глоб = 0,25 (табл. 2). Кроме того, на кривых после 200-го шага отчётливо видны незатухающие осцилляции с амплитудой порядка 0,02–0,05 бит, что указывает на продолжающуюся перестройку пространственной структуры.
Проведя сравнение результатов по рисункам 2 и 3, можно обобщить, что динамика клеточных автоматов различных размерностей имеет кардинальные различия.
Рис. 3. Динамика энтропии S(t) при различных значениях ρ0глоб: а) 2D-решётка; б) 3D-решётка Источник: составлено авторами
Для 2D КА плотность и энтропия меняются синхронно, величины монотонно убывают и достигают стационарных значений одновременно. Иными словами, диссипация активности здесь напрямую связана с упрощением пространственной структуры – система эволюционирует к статическому равновесию. Совсем иначе дело обстоит в 3D. Плотность ρ(t) перестаёт заметно меняться уже после 150-175 шагов, а энтропия S(t) при этом продолжает колебаться до самого конца расчётов. Получается, что макроскопическая активность быстро закрепляется на некотором квазистационарном уровне, тогда как локальная организация ещё долго перестраивается – кластеры живых клеток обмениваются возбуждением, меняют форму, но всё это почти не сказывается на средней доле активных узлов.
Для проверки того, что периодические границы не искажают динамику в течение 1000 шагов, были проведены контрольные расчёты. В двумерном случае очаг со временем только сжимается, поэтому его граница заведомо не достигает края решётки 50×50. В трёхмерном случае возможен рост кластеров, поэтому мы повторили серию экспериментов для ρ0глоб = 0,20 на расширенной решётке 40×40×40 (объём в 2,37 раза больше исходной). Сравнение усреднённых траекторий ⟨ρ(t)⟩ и ⟨S(t)⟩ для исходной (303) и расширенной (403) решёток показало, что различия не превышают 0,005 по плотности и 0,02 бит по энтропии на всём интервале t = 0…1000, что лежит в пределах стандартной ошибки ансамбля. Следовательно, при размере 303 влияние периодических границ на наблюдаемые режимы пренебрежимо мало.
Далее рассмотрим фазовую плоскость dS/dt – S. Соответствующие портреты для 2D- и 3D-автоматов, построенные по усреднённым траекториям, приведены на рисунке 4. Производную находили численно, сгладив временной ряд скользящим средним.
На плоскости (S, dS/dt) все траектории двумерного автомата, какой бы ни была начальная плотность, скручиваются в спирали и постепенно стягиваются к неподвижным точкам, где S = S∞, а производная почти нулевая. С ростом ρ0глоб начальная энтропия и размах производной на старте увеличиваются, однако качественная картина от этого не меняется – система диссипативно скатывается к статическому равновесию.
Трёхмерный случай выглядит иначе. Ни при одном из рассмотренных значений ρ0глоб траектории не сходятся к изолированной точке. Вместо этого они стягиваются к компактным областям возле S∞ (от 0,83 до 0,90 бит) и там продолжают осциллировать. Даже на больших временах, после 800 шагов, dS/dt регулярно меняет знак, достигая значений порядка ± 0,5·10⁻² бит/шаг. С увеличением начальной плотности центр такой области смещается вправо, а сама она слегка разрастается. По существу, аттрактор здесь представляет собой не точку, а целое множество в фазовом пространстве – именно это свойство и указывает на квазистационарный характер трёхмерной динамики во всём исследованном диапазоне начальных условий.
Для сопоставления динамики рассмотрим траектории КА в координатах «плотность – энтропия», представленные на рисунке 5. Каждая кривая соответствует одному значению ρ0глоб и получена усреднением по ансамблю.
Рис. 4. Фазовый портрет в координатах (S, dS/dt): а) 2D; б) 3D Источник: составлено авторами
Рис. 5. Фазовые траектории в пространстве (ρ, S) для 2D (слева) и 3D (справа) при различных ρ0глоб Источник: составлено авторами
Трёхмерные фазовые траектории (ρ, S) значительно длиннее двумерных: отношение L₃D/L₂D достигает 2,73 при ρ0 = 0,15 и растёт с начальной плотностью. В 2D все траектории имеют выпуклый профиль и сходятся в узкую область с S∞ ≈ 0,2–0,335 бит независимо от ρ0, что указывает на быструю потерю структурного разнообразия и диссипативный коллапс. В 3D конечные точки разнесены по оси S: с ростом ρ0 стационарная энтропия увеличивается от 0,83 до 0,90 бит, траектории демонстрируют изломы и возвратные движения, а энтропия продолжает флуктуировать после стабилизации плотности – это парадоксальное сочетание быстрой релаксации плотности с большой длиной фазового пути. Таким образом, увеличение размерности пространства меняет характер эволюции: от диссипативного коллапса к квазистационарному блужданию с сохранением внутренней структурной сложности.
Сравнительный анализ динамических режимов двумерного и трёхмерного клеточных автоматов
В таблице 2 представлены основные количественные показатели, характеризующие стационарный режим и переходный процесс для каждого значения глобальной начальной плотности ρ0глоб. На рисунке 6 приведены автокорреляционные функции, демонстрирующие влияние начальной плотности на время памяти системы.
Для всех величин в таблице 2 стандартная ошибка среднего (SEM) не превышает: для ρ∞ – 0,0025, для S∞ – 0,01 бит, для τ – 12 шагов, для CV – 1.25%, для L – 0,015 у. е. (рассчитано по ансамблю из 50 реализаций). Соответственно, 95%-ные доверительные интервалы имеют ширину ±2 SEM.
Таблица 2
Статистические характеристики эволюции клеточных автоматов 2D и 3D*
|
ρ0глоб |
Размерность |
r (ячеек) |
ρ∞ |
S∞ (бит) |
τ (шагов) |
CV (%) |
L (у.е.) |
|
0,10 |
2D |
8 |
0,039 |
0,247 |
297 |
38,2 |
0,107 |
|
3D |
8 |
0,31 |
0,827 |
112 |
5,1 |
0,241 |
|
|
0,15 |
2D |
11 |
0,042 |
0,242 |
423 |
42,1 |
0,162 |
|
3D |
10 |
0,297 |
0,852 |
126 |
6,3 |
0,442 |
|
|
0,20 |
2D |
12 |
0,045 |
0,255 |
520 |
44,5 |
0,204 |
|
3D |
11 |
0,297 |
0,877 |
137 |
5,8 |
0,589 |
|
|
0,25 |
2D |
14 |
0,061 |
0,321 |
595 |
45,7 |
0,251 |
|
3D |
12 |
0,297 |
0,897 |
176 |
6,0 |
0,673 |
*Источник: составлено авторами.
Рис. 6. Влияние начальной глобальной плотности на автокорреляционную функцию Источник: составлено авторами
Чтобы убедиться, что наблюдаемые различия между 2D и 3D обусловлены именно размерностью, а не разными значениями параметров в таблице 1, были проведены дополнительные серии расчётов. Во-первых, порог активации был отнормирован на число соседей: для 2D θ/8 = 0,5, для 3D θ/26 ≈ 0,528. Во-вторых, параметр крутизны β варьировался в пределах 1,5-2,5 (2D) и 0,1-0,2 (3D). В-третьих, вероятность асинхронного обновления α менялась от 0,1 до 0,3 для обеих размерностей. Ни при одной из этих вариаций качественная картина не изменилась: двумерный автомат неизменно демонстрирует монотонную диссипацию и сходимость к точечному аттрактору, тогда как трёхмерный сохраняет незатухающие флуктуации плотности и энтропии. Следовательно, корень различий лежит в топологии решётки и координационном числе, а не в подборе параметров.
Сводные результаты статистики, приведённые в таблице 2, и автокорреляционные функции на рисунке 6 показывают принципиально различную динамику двумерного и трёхмерного клеточных автоматов. В 2D время релаксации τ монотонно растёт с начальной глобальной плотностью от 297 до 595 шагов, а время памяти τmean – от 150 до 300 шагов. В 3D обе величины значительно меньше (τ = 112–176 шага, τmean = 20–50 шагов) и практически не зависят от ρ0глоб. При этом стационарная плотность ρ∞ в 2D остаётся низкой (0,039–0,061) и слабо меняется, тогда как в 3D она колеблется с начальной плотностью от 0.29 до 0.31, а энтропия S∞ – от 0,83 до 0,90 бит, что заметно выше, чем в 2D (0,24–0,3 бит). Коэффициент вариации CV в 2D достигает 38–46%, указывая на высокую чувствительность к случайным флуктуациям, а для 3D он не превышает 5%, свидетельствуя о детерминированной воспроизводимости макросостояния.
Для проверки того, сохраняется ли в 3D более сложная пространственная организация, мы вычислили размер крупнейшего кластера Cmax(t) и корреляционную длину ξ в стационарном режиме. В 2D уже после 100 шагов Cmax падает до 1–2 клеток, что соответствует изолированным точкам. В 3D Cmax после начального роста стабилизируется на уровне 30–50 клеток для ρ0=0,15, причём форма кластеров постоянно меняется. Корреляционная длина ξ в 2D не превышает 1,5 шага решётки, в 3D достигает 3–4 шагов. Эти данные подтверждают, что трёхмерная система действительно сохраняет пространственную сложность, а не только флуктуации глобальной плотности.
Различие в динамике 2D- и 3D-автоматов определяется топологией границы очага и координационным числом: в 2D краевые клетки имеют лишь 3–4 активных соседа из 8, что вызывает послойное схлопывание очага и затяжной диссипативный процесс; в 3D каждая граничная клетка взаимодействует с 9–10 соседями из 26, обеспечивая быстрое растекание возбуждения и выход плотности на квазистационарный уровень за значительно более короткое время. При этом ускоренная релаксация плотности в 3D не обедняет внутреннюю динамику – длина фазовой траектории (ρ, S) в 2–3 раза больше, энтропия совершает незатухающие флуктуации, что соответствует IV классу по Вольфраму (квазистационарная самоорганизация), тогда как 2D-автомат ведёт себя как типичная диссипативная система I–II классов, остро реагируя на стохастические возмущения. Таким образом, тип динамики задаётся прежде всего пространственной размерностью, а начальная глобальная плотность (0,10–0,25) лишь модулирует количественные проявления этих закономерностей.
Заключение
Численные расчёты показали глубокие различия между двумерной и трёхмерной динамикой стохастического клеточного автомата при локализованном старте. Время релаксации τ в трёхмерной системе составило 112–176 шагов, в двумерной – 297–595 шагов. Стационарная энтропия в 3D находилась в интервале 0,83–0,90 бит, в 2D – 0,24-0,32 бит, а фазовая траектория в координатах (ρ, S) оказывалась длиннее в 2–3 раза. Коэффициент вариации CV в 2D достигал 38–46%, в 3D не превышал 6,3% (составлял 5-6%). Фазовые портреты укрепили эту картину: в 2D траектории стягиваются к точечному аттрактору, в 3D траектории не сходятся к неподвижной точке, а остаются в ограниченной области фазового пространства, совершая незатухающие колебания на всём интервале наблюдения (1000 шагов).
Корень этих различий – в топологии границы начального очага. На плоской решётке краевые клетки окружены всего 3–4 активными соседями из 8, чего недостаточно для самоподдержания, и очаг послойно гаснет от периферии к центру, теряя структурную сложность. В трёхмерном объёме на границе у каждой клетки набирается в среднем 9–10 живых соседей из 26 – возбуждение получает шанс сохраниться и быстро растекается по решётке, формируя устойчивый квазистационарный режим. По классификации Вольфрама, двумерный автомат демонстрирует черты I–II классов (откат к простому аттрактору, высокая чувствительность к шуму), а трёхмерный – IV класс (квазистационарная самоорганизация с долгоживущими перестройками и стабильно высокой энтропией). Изменение начальной глобальной плотности от 0,10 до 0,25 не ломает эту качественную картину, а лишь усиливает количественные проявления.
Конфликт интересов
Финансирование
Библиографическая ссылка
Клеммер П. С., Шебанов В. В. РОЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ В ДИНАМИКЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ С ЛОКАЛИЗОВАННЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2026. № 3. С. 31-40;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=13794 (дата обращения: 21.07.2026).
DOI: https://doi.org/10.17513/mjpfi.13794