Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Файлы

Потетюнко Э.М. Хартиев С.М.

Статья в формате PDF

3148 KB

Изучим влияние турбулентной вязкости и диффузии плотности на параметры нарастающих во времени (неустойчивых) внутренних волн, распространяющихся в течениях с вертикальным сдвигом скорости. Аналогичные исследования в рамках модели идеальной жидкости проведены в работе [1]. Методы исследования устойчивости волновых возмущений в непрерывно стратифици­рованных турбулентных потоках изложены в [2,3].

Рассмотрим безграничный в горизонтальных направлениях слой непрерывно стратифицирован­ной несжимаемой вязкой жидкости постоянной глубины H. Выберем начало прямоугольной сис­темы координат xyz на дне, ось z направим верти­кально вверх. Исследуем устойчивость волнового процесса с вектором скорости

происходящего на фоне стационарного плоскопа­раллельного  течения,  имеющего  вертикальный сдвиг скорости

Запишем линеаризованные уравнения гидро­динамики и граничные условия в виде [2,3]:

Здесь

 

и - коэффициенты горизонтальной и вертикальной турбулентной вязкости - коэффициент горизонтальной диффузии плотности (А>0); g - ускорение

свободного падения; ρ₀(z) - стационарная плотность; ρ и ρ - динамические добавки давления и плотности.

Предполагается, что возмущение полей скорости, давления и плотности вызывается только внутренними волнами. Это позволяет в краевой задаче для волновых флуктуаций заменить кинематическое и динамическое граничные условия одним граничным условием, которое «отфильтровывает» поверхностные волны [4,5].

Введем безразмерные переменные и функции

где ρ₁ - некоторое среднее постоянное значение плотности. Неизвестные функции u, v, ω, р, ρ будем разыскивать в форме

Переходя в (1)-(8) к безразмерным переменным и подставляя (9), получим после несложных преобразований однородную задачу относительно (штрихами обозначены производные по ):

Здесь

к, m - безразмерные волновые числа - безразмерная фазовая скорость безразмерная частота Вяйсяля-Брента; - глобальное число Рейнольдса. Глобальное число Ричардсона в данном случае выбрано равным единице . При (ν - кинематический коэффициент вязкости) уравнение (12) совпадает с уравнением Орра-Зоммерфельда [6].

Предполагая функции и значения величин m, к, δ, r, α заданными, выберем в качестве параметра однородной краевой задачи (10)-( 13) безразмерную фазовую скорость с.

Докажем, что все собственные значения однородной задачи (10), (11) лежат в полу полосе

где с = с_а + ic₁  Умножим уравнение (10) на комплексно сопряженную с W₁ функцию W₁^* и проинтегрируем по z от 0 до 1. Тогда, учитывая (11), имеем

Полагая в (15) U₁´ = 0 и выделяя затем действительную и мнимую части, находим (черту при z далее опускаем)

Используя неравенство Коши-Буняковского и учитывая граничные условия (11), (13) в точке z = 0, получаем:

Из (16) и первого неравенства (17) следует, что собственных значений однородной задачи (10), (11) вне области (14) не существует.

Рассмотрим теперь краевую задачу (12), (13). Представим уравнение (13) в виде:

где Если обозначить к

то уравнение (18) и граничные условия (13) совпадают с краевой задачей, которая описывает двумерные возмущения (т.е. возмущения, у которых m = 0, V = 0). Таким образом, в силу оценки (14) будет справедливо утверждение о том, что трехмерная задача (10)-( 13) имеет дополнительный спектр собственных значений c, не содержащийся в двумерной задаче, но он соответствует устойчивым возмущениям, с] < 0 (аналог теоремы Романова [7]). На основании данного утверждения можно сделать вывод, что все собственные значения задачи (10)-(13), соответствующие неустойчивым возмущениям, содержатся в спектре однородной краевой задачи (12),  (13).  Следовательно, если существует неустойчивое трехмерное возмущение с фазовой скоростью с, то существует и неустойчивое двумерное возмущение с такой же фазовой скоростью, но (см.(19)) уже при меньшем значении числа Рейнольдса и большем значении числа Ричардсона (аналог теоремы Сквайра).  Это позволяет при изучении неустойчивых волновых возмущений свести исследование исходной краевой задачи (10)-(13) к анализу более простой спектральной задачи (12)-(13). Умножим уравнение (12) на комплексно сопряженную с W функцию W и проинтегрируем по z от 0 до 1. Тогда, учитывая (13), запишем мнимую часть полученного равенства в виде:

где 9 - угол набегания волны на поток

Равенство (20) выполняется тождественно, когда с = c₀ + tc₁ является собственным значением однородной краевой задачи (12), (13). Используя обобщенную теорему о среднем и соотношения (17), получаем, что в случае неустойчивых волновых возмущений (c₁ > 0) равенство (20) нарушается при

где

Принимая во внимание очевидные соотношения (см. (21), (17)):

находим из (22) неравенство

которое обеспечивает реализацию условия (22). Следовательно, для существования неустойчивых волновых возмущений (с₁ > О) необходима перемена знака в неравенстве (23). Умножая обе части неравенства (23) на l и меняя его знак на противоположный, получаем для величины экспоненциального показателя роста амплитуд волновых возмущений (инкремента внутренних волн) такую оценку:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1.  Маков Ю.Н., Степанянц Ю.А. О влиянии кри­визны профиля скорости на параметры нарастающих волн в сдвиговых потоках // Океанология. - 1984. -24, вып. 4. - С. 578-585.

2.  Хартиев С.М., Черкесов Л.В. Влияние вязко­сти жидкости и силы Кориолиса на устойчивость внутренних волн // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1983. -№3. - С. 61-65.

3.  Букатов А.Е., Власенко В.И., Пухтяр Л.Д. и др. Динамика поверхностных и внутренних волн. -Киев: Наук. думка, 1988. - 192 с.

4.  Черкесов Л. В., Иванов В. А., Хартиев С. М. Введение в гидродинамику и теорию волн. - Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1992. - 264 с.

5.  Потетюнко Э.Н., Черкесов Л.В., Шубин Д.С., Щербак Е.Н. Свободные колебания и обратные спек­тральные задачи. Волновые движения неоднородной жидкости. - М.: Вузов. книга, 2001. - 288 с.

6.  Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродина­мической устойчивости. - М.: Мир, 1971. - 350 с.

7.  Дикий Л. А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы.  - Л.: Гидрометеоиздат, 1976. - 108 с.

Библиографическая ссылка