Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,564

Математическое моделирование волнового движения трехфазной среды, инициируемого бегущей по ее границе сверхзвуковой нагрузкой

Кубанова А.К. Кубанова Л.Б.

Многофазные среды часто встречаются в при­роде и в различных областях человеческой дея­тельности. В с вязи с этим, актуальным является исследование механизма воздействия динамиче­ских нагрузок на многофазные массивы, кинетика и динамика волновых процессов, возникающих в них, как реакция на эти воздействия.

1. Рассмотрим среду, состоящую из трех фаз, которая занимает нижнее полупространство. Возь­мем начало координат на свободной поверхности, ось у направим внутрь среды, а ось х по границе среды вправо. Пусть на границе среды приложена постоянная по величине нагрузка, передний фронт которой бежит с постоянной скоростью D0 вдоль границы.

Исследуем волновое движение трехфазной среды, возбужденное таким источником.

Решение этой задачи проводится на основе взаимопроникающих движений сжимающей жид­кости [1] и односкоростной теории трехфазной среды [2]. Следуя [3, 4], введем обозначения.

Приведенную плотность i - ой фазы (i = 1, 2, 3) обозначим ρi, а ее истинную плотность через ρi° тогда плотность трехфазной среды выразится

ρ=ρ123


Объемные доли фаз среды определяются

Для каждой фазы среды примем закон независимой сжимаемости фаз и давление всех фаз считаем совпадающими и равными давлению Р среды.

Припишем индекс "0" параметрам смеси в некотором начальном состоянии, тогда

При распространении ударной волны в трехфазной среде примем для газовой фазы среды адиаба­ту Гюгонио, а для жидкой и твердой фаз используем уравнение сжатия

где γ - показатель адиабаты воздуха, Ki - модуль объемного сжатия соотвествующей фазы.

Пусть v - скорость частиц среды на ударной волне, движущейся со скоростью D1 трехфазной сре­де (перед волной среда покоится). На ударной волне имеем

Кроме уравнения сохранения массы и количества движения запишем уравнение энергии для трех­фазной среды

E1, E2, E3- приращение внутренних энергий единицы массы соответствующих фаз, которые имеют вид

Из соотношений (5) - (10) получим уравнение состояния трехфазной среды,

а затем определим скорость фронта ударной волны в среде и скорость частиц среды на ней в начальной точке 0.

Скорость звука в трехфазной среде выразится:

Задавая величину бегущей нагрузки получим ее скорость на границе и угол наклона фронта в точке локализации внешнего воздействия

Зная угол наклона ударной волны к границе, можно определить составляющие скорости частиц по осям координат

2. Рассмотрим задачу о двумерном движении трехфазной среды (типа смеси воздух-вода-кварц), которая инициируется бегущей вдоль плоской границы волновой нагрузкой переменного профиля. Вид профиля нагрузки неизвестен. Область возмущенного движения среды ограничена ударной волной, форму которой задаем уравнением.

 

где а, b- коэффициенты, зависящие от содержания фаз в среде и давления среды. Действительно

при x = y = 0 значении в = во начальному углу наклона a = ctg β0.

Предположим, что изменение угла наклона касательной к ударной волне в среде на a при y = y да­ется выражением

 

Такое определение гарантирует нам реальные значения коэффициентов. Обращаем внимание, что оп­ределение угла в было дано в первой части. Угол изменяется от начального значения в зависимости от чис­ла "шагов" вдоль ударной волны в среде.

где n - число шагов, а - величина шага по углу. Число шагов определяется из условия, что скорость фронта ударной волны в среде должна быть больше, чем местная скорость звука со стороны невозмущен­ной области.

Давление со стороны невозмущенной области определяется по формуле:

где y - глубина полупространства среды, g - ускорение свободного падения

y - глубина полупространства среды по ударной волне.

Изменение плотности среды ρy с глубиной учитывается, исходя из уравнения состояния трехфаз­ной среды.

ρ  - плотность среды при атмосферном давлении.

По изложенной в первой части методике определяем все параметры на ударной волне (сделав n -шагов).

После формирования параметров на ударной волне, приступаем к решению искомой задачи - опре­делению закона изменения бегущей нагрузки на границе среды и параметров возмущенного движения среды, вызванное этой нагрузкой переменного профиля, значение которой известно только в начальной точке 0. Решается обратная задача. В неподвижной координатной системе (x0,y0) движение будет неустановившимся. Введем координатную систему (x,y) связанную с движущимся фронтом нагрузки, тогда движение среды в этой системе будет установившимся. Уравнения движения и неразрывности в подвиж­ной системе координат принимают вид:

Рассматривается случай вихревого движения, поэтому вводим функцию тока и вихрь

Для трехфазной среды имеем уравнение состояния среды, полученное в первой части

Граничные условия

Расчет в области возмущения проводится методом характеристик. Условия на характеристиках запишутся так:

где A, B - коэффициенты, которые определяются ниже.

Пусть λ - характеристическое направление, определяемое зависимостью

Тогда

 

Верхний знак (+) в (25) соответствует характеристикам первого семейства, а нижний (-) - второго семейства.

Очевидно, для случая (U + D0)2 + V2 < C2 характеристические направления отсутствуют.

Зная в точке 0 угол β0 , давление р и скорость фронта ударной волны D1 в трехфазной среде оп­ределим все параметры на ударной волне. Принимая эти параметры за начальные ("нулевой" слой), формируем первый слой.

Рассмотрим две точки, лежащие на ударной волне. Обозначим их индексами (n - 1, m) и (n - 1, m +1); n - номер слоя, а m - номер точки на этом слое

Из точки (n - 1, m) проводим характеристику первого семейства, из (n - 1, m +1) - второго семей­ства. Точку (n, m) определим как пересечение характеристик плоскости x,y. Приняв во внимание, что линия тока делит угол между характеристиками пополам, определяем параметры точки (n, m ). Шаг на ударной волне задаем так, чтобы взятые точки находились достаточно близко и элемент кривой между ними можно было принять за прямую. Для определения U и V в узловой точке (n, m) имеем

Искомые значения подчеркнуты дважды, значения A1 2, B1 2 определяются в точках (n - 1, m) и (n - 1, m + 1) нижнего слоя. Координаты узла (n, m) определяются из соотношений

Вихрь выразим

 

Параметры в точке (n, m*) определим, исходя из соотношений

Аналогично находим параметры Vnm* Pnm* Рnm* Cnm*. Далее получим связь между скоростями U, V и давлением в узле (n, m).

Вдоль линии тока применительно к движению трехфазной среды получим уравнение

где интеграл представим через конечные разности

Исходя из уравнения состояния для трехфазной среды получим

Окончательно связь параметров в узлах (n, m) и (n, m*) принимает вид:

Откуда вычисляется Pnm , а затем из уравнения состояния вычисляется плотность трехфазной сре­ды в узле (n,m).

Из формулы полученной для скорости звука в трехфазной среде (в части первой) вычисляется ско­рость звука в точке (n,m).

Таким образом просчитываем все точки пер­вого "слоя", затем второго "слоя" и т. д. и выходим на границу y=0.

На основе вышеприведенной модели задача решена численно на ЭВМ. Показано, что размер возмущенной области при больших скоростях распространения значительно превышает длину бегущей нагрузки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Рахматулин Х. А. Основы газодинамики взаи­мопроникающих движений сжимаемых сред. ПММ, т.20, №2, 1956.

2.  Ляхов Г. М. Ударные волны в многокомпо­нентных средах. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, №1, 1959.

3.  Рахматулин Х. А. О распространении волн в многокомпонентных средах. ПММ, т.33, 1969.

4.  Рахматулин Х.А., Кубанова А.К. Проникание вглубь полупространства из трехкомпонентной сре­ды бегущей по его границе постоянного давления. В кн. "Гидродинамика одно- и двухфазных сред". Из-во ФАН, Ташкент 1982.


Библиографическая ссылка

Кубанова А.К., Кубанова Л.Б. Математическое моделирование волнового движения трехфазной среды, инициируемого бегущей по ее границе сверхзвуковой нагрузкой // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2009. – № 6. – С. 84-0;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=273 (дата обращения: 24.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074